突破2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、考情分析
二、考点梳理
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
2判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5写解集.根据图象写出不等式的解集.
2. 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2.
3.已知以a,b,c为参数的不等式如ax2+bx+c>0的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
1根据解集来判断二次项系数的符号;
2根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
3约去 a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.4.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
5.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
6.(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
三、题型突破
(一) 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
2.三个“二次”的关系
例1.(1)(2020·吉林省实验高一期中)不等式的解集为______
(2)..
(3).(3);
(4).(2020·江苏省震泽中学高二月考)已知函数.则不等式的解集为________.
【变式训练1-1】.求下列不等式的解集.
(1); (2);
(3); (4);
(5).
(二) 含有参数的一元二次不等式的解法
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为,则。
例2.(1)(2020·江苏省震泽中学高二月考)已知不等式的解集为,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·浙江省高一期末)若关于的不等式的解集是,则________,_______.
(3).(2020·吴县中学高二月考)(多选题)当,若不等式恒城立,则a的值可能为( )
A. B. C. D.
【变式训练2-1】.(2021·浙江高一单元测试)(多选题)已知关于的不等式的解集为或,则下列说法正确的是( )
A.
B.不等式的解集为
C.不等式的解集为或
D.
【变式训练2-2】.(2021·江西丰城九中高一月考)若关于的不等式在内有解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练2-3】.(2020·江苏省南京市第十二中学高一月考)设为实数,若关于的一元二次方程没有实数根,则的取值范围是___________.
(三) 分式不等式的解法
1.分式不等式:形如eq \f(ax+b,cx+d)>0(<0)(其中a,b,c,d为常数)
例3.(1)不等式的解集是 ( )
A. B. C. D.
(2).(2020·江苏省高邮中学高二月考)不等式的解集为________.
【变式训练3-1】.(2021·全国高一课时练习)求不等式的解集.
【变式训练3-2】.(2021·全国高一专题练习)不等式的解集为( )
A.或 B. C.或 D.
(四)二次不等式综合问题
例4.(1)(2020·上饶中学高二期末(文))已知,若,满足,则( )
A. B.
C. D.
(2).(2020·江苏省南京市第十二中学高一月考)已知关于的一元二次不等式的解集为,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【变式训练4-1】.(2020·宁阳县第四中学高二期末)不等式对恒成立,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【变式训练4-2】.(2020·调兵山市第一高级中学高二月考)已知函数,(),若任意,且都有,则实数a的取值范围( )
A. B. C. D.
例5.(2021·全国高一课时练习)已知函数.
(1)若的解集是,求不等式的解集;
(2)若,,解关于x的不等式.
【变式训练5-1】.(2021·全国高一单元测试)已知不等式.
(1)若对于所有的实数不等式恒成立,求的取值范围;
(2)设不等式对于满足的一切的值都成立,求的取值范围.
不等式ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0a=0b=0,c>0b=0,c<0a≠0eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))设二次函数
y=ax2+bx+c若ax2+bx+c≤k恒成立⇔ymax≤k若ax2+bx+c≥k恒成立⇔ymin≥k设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac判别式Δ>0Δ=0Δ<0解不等式y>0或y<0的步骤求方程y=0的解有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-eq \f(b,2a)没有
实数根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象不等式解集y>0{x|x<x1_或x>x2}eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠-\f(b,2a)))))Ry<0{x|x1<x<x2}∅∅