人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法优秀一课一练

第二十一章　一元二次方程

21．2　解一元二次方程

21．2.2　公式法

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__          ___时，x＝，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__      ___．

2．式子__    __叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__         ___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__       __；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__          _．

知识点1：根的判别式

1．下列关于x的方程有实数根的是(    )

A．x2－x＋1＝0　　　　　　　

B．x2＋x＋1＝0

C．(x－1)(x＋2)＝0 

D．(x－1)2＋1＝0

2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是(     )

A．b2－4ac＝0  B．b2－4ac＞0

C．b2－4ac＜0  D．b2－4ac≥0

3．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是(    )

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

4．利用判别式判断下列方程的根的情况：

(1)9x2－6x＋1＝0；

    (2)8x2＋4x＝－3；

(3)2(x2－1)＋5x＝0.

知识点2：用公式法解一元二次方程

5．方程5x＝2x2－3中，a＝__ ___，b＝__  ___，c＝__  __，b2－4ac＝__  ___．

6．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__  ___，可得x1＝__  __，x2＝__ ___．

7．方程x2－x－1＝0的一个根是(    )

A．1－      B.

C．－1＋    D.

8．用公式法解下列方程：

(1)x2－3x－2＝0；

(2)8x2－8x＋1＝0；

(3)2x2－2x＝5.

9．关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(    )

A．m＞     B．m＜

C．m＝    D．m＜－

10．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是(     )

A．k＞－1         B．k＜1且k≠0

C．k≥－1且k≠0  D．k＞－1且k≠0

11．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__ ___．

12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__      __．

13．用公式法解下列方程：

(1)x(2x－4)＝5－8x；

(2)(3y－1)(y＋2)＝11y－4.

14．当x满足条件

时，求出方程x2－2x－4＝0的根．

15．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.

(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

16．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．

(1)求a的最大整数值；

(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．

17．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

21．2.2　公式法

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0___时，x＝，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式___．

2．式子__b2－4ac___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根___．

知识点1：根的判别式

1．下列关于x的方程有实数根的是( C  )

A．x2－x＋1＝0　　　　　　　

B．x2＋x＋1＝0

C．(x－1)(x＋2)＝0 

D．(x－1)2＋1＝0

2．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B  )

A．b2－4ac＝0  B．b2－4ac＞0

C．b2－4ac＜0  D．b2－4ac≥0

3．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D  )

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

4．利用判别式判断下列方程的根的情况：

(1)9x2－6x＋1＝0；

解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根

(2)8x2＋4x＝－3；

解：化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根

(3)2(x2－1)＋5x＝0.

解：化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根

知识点2：用公式法解一元二次方程

5．方程5x＝2x2－3中，a＝__2___，b＝__－5___，c＝__－3___，b2－4ac＝__49___．

6．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__25___，可得x1＝__3___，x2＝__－2___．

7．方程x2－x－1＝0的一个根是( B  )

A．1－  B.

C．－1＋  D.

8．用公式法解下列方程：

(1)x2－3x－2＝0；

解：x1＝，x2＝

(2)8x2－8x＋1＝0；

解：x1＝，x2＝

(3)2x2－2x＝5.

解：x1＝，x2＝

9．(2014·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B  )

A．m＞  B．m＜

C．m＝  D．m＜－

10．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是( C  )

A．k＞－1  B．k＜1且k≠0

C．k≥－1且k≠0  D．k＞－1且k≠0

11．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．

12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__a≥－5___．

13．用公式法解下列方程：

(1)x(2x－4)＝5－8x；

解：x1＝，x2＝

(2)(3y－1)(y＋2)＝11y－4.

解：y1＝，y2＝

14．当x满足条件

时，求出方程x2－2x－4＝0的根．

解：解不等式组得2<x<4，解方程得x1＝1＋，x2＝1－，∴x＝1＋

15．(2014·梅州)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.

(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

解：(1)a＝，另一个根为x＝－

(2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根

16．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．

(1)求a的最大整数值；

(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．

解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤且a≠6，∴a的最大整数值为7　(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝＝4±，即x1＝4＋，x2＝4－

17．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形　(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形　(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1