2021届二轮复习 基本初等函数函数与方程 课时作业（全国通用） 练习

第2讲 基本初等函数、函数与方程

限时40分钟　满分80分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2020·云南检测)设a＝60.7，b＝log70.6，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c＞b＞a　　　　　　　　 B．b＞c＞a

C．c＞a＞b  D．a＞c＞b

解析：D　[因为a＝60.7＞1，b＝log70.6＜0,0＜c＝log0.60.7＜1，所以a＞c＞b.]

2．(北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据：lg 3≈0.48)

A．1033  B．1053

C．1073  D．1093

解析：D　[设＝x＝，两边取对数，lg x＝lg＝lg3361－lg1080＝361×lg 3－80＝93.28，所以x＝1093.28，即最接近1093，故选D.]

3．(2020·安徽皖中名校联考)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)  B．(－∞，a)和(a，b)

C．(b，c)和(c，＋∞)  D．(－∞，a)和(c，＋∞)

解析：A　[由题意可得f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，则由零点存在性定理可知，选A.]

4．(2020·铁人中学期中)函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当－1≤x≤1时，f(x)＝|x|.若y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象有且仅有四个交点，则a的取值集合为(　　)

A．{4,5}  B．{4,6}

C．{5}  D．{6}

解析：C　[函数f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，画出函数f(x)的图象(图略)，数形结合可知，当g(x)的图象过点(5,1)时，f(x)的图象与g(x)＝logax的图象仅有四个交点，则g(5)＝loga5＝1，得a＝5.故选C.]

5．(2020·广西三校)函数f(x)＝x2lg的图象(　　)

A．关于x轴对称  B．关于原点对称

C．关于直线y＝x对称  D．关于y轴对称

解析：B　[因为f(x)＝x2lg，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f(－x)＝x2lg＝－x2lg＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．]

6．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每次提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件(　　)

A．100元  B．110元

C．150元  D．190元

解析：D　[设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000＝－5(x－90)2＋60 500.故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．]

7．(2020·深圳模拟)已知函数f(x)＝ln x－2[x]＋3，其中[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f(x)的零点个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：B　[设g(x)＝ln x，h(x)＝2[x]－3，当0＜x＜1时，h(x)＝－3，作出图象，

两个函数图象有一个交点，即f(x)有一个零点；

当2≤x＜3时，h(x)＝1，ln 2≤g(x)＜ln 3.

此时两函数图象有一个交点，即f(x)有一个零点，

当x≥3以后，两函数图象无交点，

综上，共有两个零点．]

8．(2020·贵阳模拟)某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.若采用函数f(x)＝作为奖励函数模型，则最小的正整数a的值为(　　)

A．310  B．315

C．320  D．325

解析：B　[对于函数模型f(x)＝＝15－，a为正整数，函数在[50,500]上单调递增，f(x)min＝f(50)≥7，得a≤344，要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50,500]恒成立，所以a≥315.综上，最小的正整数a的值为315.]

9．(山东卷)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2 的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)

A．(0,1]∪[2，＋∞)  B．(0,1]∪[3，＋∞)

C．(0，]∪[2，＋∞)  D．(0，]∪[3，＋∞)

解析：B　[当0＜m≤1时，≥1，y＝(mx－1)2单调递减，且y＝(mx－1)2∈[(m－1)2,1]，y＝＋m单调递增，且y＝＋m∈[m,1＋m]，此时有且仅有一个交点；当m＞1时，0＜＜1，y＝(mx－1)2在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m－1)2≥1＋m⇒m≥3，选B.]

10．(2020·长春模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,1)  B．[0,2]

C．[－2,2)  D．[－1,2)

解析：D　[∵f(x)＝

∴g(x)＝f(x)－2x＝

而方程－x＋2＝0的解为2，方程x2＋3x＋2＝0的解为－1，－2；若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则解得－1≤a＜2，实数a的取值范围是[－1,2)．故选D.]

11．(2020·长春质量监测)已知函数f(x)＝与g(x)＝1－sin πx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2,6]上的所有零点的和为(　　)

A．4  B．8

C．12  D．16

解析：D　[令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝1＋与g(x)＝1－sin πx的图象，如图所示．f(x)，g(x)的图象都关于点(2,1)对称，结合图象可知f(x)与g(x)的图象在[－2,6]上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)＝f(x)－g(x)的零点，且这些交点关于直线x＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D.]

12．(2020·烟台模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝30.3·f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝·f，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c  B．c＞a＞b

C．c＞b＞a  D．a＞c＞b

解析：B　[因为当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，即[xf(x)]′＜0，

所以g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上是减函数．

又因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，

所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，

所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

所以g(x)＝xf(x)是定义在R上的偶函数，

所以g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函数．

又因为30.3＞1＞logπ3＞0＞log3＝－2，

2＝－log3＞30.3＞1＞logπ3＞0，

所以f＞30.3·f(30.3)＞(logπ3)·f(logπ3)，即f＞30.3·f(30.3)＞(logπ3)·f(logπ3)，即c＞a＞b，故选B.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2020·福建三明模拟)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：分)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，还需要________分钟．

解析：由已知可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，则40－24＝(88－24)×，解得h＝10.当咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，可得32－24＝(40－24)×，解得t＝10.故还需要10分钟．

答案：10

14．(2020·湖南省四校联考)已知函数f(x)＝lg x＋x－9在区间(n，n＋1)(n∈Z)上存在零点，则n＝________.

解析：易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域内单调递增，由零点存在性定理知，若函数f(x)在区间(n，n＋1)(n∈Z)上存在零点，则有又f(4)＝lg 4＋6－9＝lg 4－3＜0，f(5)＝lg 5＋－9＝lg 5－＜0，f(6)＝lg 6＋9－9＝lg 6＞0，所以函数f(x)在(5,6)上存在零点，所以n＝5.

答案：5

15．(2020·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．

解析：∵λ＝2，

∴f(x)＝

当x≥2时，x－4＜0得2≤x＜4.

当x＜2时，x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜2.

综上不等式的解集为1＜x＜4.

当y＝x2－4x＋3有2个零点时，λ＞4.

当y＝x2－4x＋3有1个零点时，y＝x－4有1个零点，1＜λ≤3.

∴1＜λ≤3或λ＞4.

答案：(1,4)；(1,3]∪(4，＋∞)

16．(2020·合肥调研)已知f(x)＝(其中a＜0，e为自然对数的底数)，若g(x)＝f[f(x)]在R上有三个不同的零点，则a的取值范围是____________．

解析：

令t＝f(x)，所以g(x)＝f(t)，g(x)＝f[f(x)]在R上要有三个不同的零点，则f(t)＝0必有两解，所以－2≤a＜0，所以f(x)的大致图象如图所示，又f(x)的零点为x1＝0，x2＝－2，所以y＝f(t)必有两个零点，t1＝－2和t2＝0，而x≤a时，f(x)min＝a2－4，所以要使y＝f(t)的两个零点都存在，则a2－4≤－2，否则t1＝－2这个零点就不存在，故a2≤2，所以－≤a＜0.

答案：[－，0)