2023届高考数学二轮复习讲义——第九讲导数与函数的单调性

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1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
2、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间,有解.
②已知在区间上存在单调减区间,有解.
（3）已知函数在区间上不单调，使得（为变号零点）
3、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
【典型题型讲解】
考点一：求函数的单调区间（不含参）
【典例例题】
例1.函数的单调递减区间是（ ）．
A．B．C．D．
例2.函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
函数单调区间的求法：解不等式法，列表格法
【变式训练】
1.函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
2.函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
3.已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0)B．(1,+∞)C．(-,1)D．(0,+∞)
4．函数的单调增区间是( )
A．B．C．D．
5．函数的单调递减区间为__________．
【典型题型讲解】
考点二：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
【典例例题】
例1.如果函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例2.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例3.函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
【变式训练】
1．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3]B．(-3，1)
C．[1，+∞)D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
考点三：含参问题讨论单调性
【典例例题】
例1.已知函数，其中.求函数的单调区间；
例题2．设函数，求的单调区间．
例3.已知函数.
讨论的单调性；
例4.已知函数，函数的导函数为．
讨论函数的单调性；
【方法技巧与总结】
1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3．利用草稿图像辅助说明．
【变式训练】
1.已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
2．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在上的函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)对于，若不等式恒成立，求a的取值范围．
3.已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
4．已知函数
讨论f（x）的单调性；
5.已知函数，记的导函数为
讨论的单调性；
6.（2022·广东深圳·一模）已知函数（）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：．
【巩固练习】
一、单选题
1．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．“函数在上是增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的单调递减区间为
C．的极大值为D．方程有两个不同的解
6．已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（ ）
A．B．1C．2D．3
三、填空题
7．写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
四、解答题
8．已知函数
(1)讨论函数在区间内的单调性；
(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围．
9.已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有一个零点，求a的值．
10．已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
11．已知函数.讨论的单调性；
12．已知函数.当时，判断的单调性；