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2020年广东深圳市中考数学一轮复习 二次函数补充练习解析版
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2020年深圳市中考数学一轮复习之二次函数补充练习解析版
一、选择题
1.将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）．
A. y=2(x+2)2+3 B. y=2(x-2)2+3 C. y=2(x-2)2-3 D. y=2(x+2)2-3
2.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（ ）
A. ac<0 B. b2−4ac>0 C. 2a−b=0 D. a−b+c=0
3.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是( )
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
4.已知抛物线 y=−x2+bx+4 经过 (−2,n) 和 (4,n) 两点，则n的值为（ ）
A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4
5.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（ ）
A. 直线x=2 B. 直线x=-2 C. 直线x=1 D. 直线x=-1.
6.若二次函数 y=ax2+bx+a2−2 （ a ， b 为常数）的图象如图，则 a 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. −2 D. -2
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论：①2a+b<0;②abc>0;③4a−2b+c>0;④a+c>0,其中正确结论的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.如图,函数 y=ax2−2x+1 和 y=ax−a ( a 是常数,且 a≠0 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 此抛物线的解析式是y=﹣ 15 x2+3.5 B. 篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C. 此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D. 篮球出手时离地面的高度是2m
10.关于二次函数 y=2x2+4x−1 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图像与 y 轴的交点坐标为 (0,1) B. 图像的对称轴在 y 轴的右侧
C. 当 x<0 时， y 的值随 x 值的增大而减小 D. y 的最小值为-3
11.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12.抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=−1 ，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：
① ab>0 且 c<0 ；② 4a−2b+c>0 ；③ 8a+c>0 ；④ c=3a−3b ；⑤直线 y=2x+2 与抛物线 y=ax2+bx+c 两个交点的横坐标分别为 x1、x2 ，则 x1+x2+x1⋅x2=−5 .其中正确的个数有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
13.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1 ， m），B（x2 ， m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 则﹣2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
14.如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于点 C ， OA=OC ，对称轴为直线 x=1 ，则下列结论：① abc<0 ；② a+12b+14c=0 ；③ ac−b+1=0 ；④ 2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（ 12 ，y1），点N（ 52 ，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣ 35 ＜a＜﹣ 25 ．其中正确结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
16.已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是________．
17.把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．
18.经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是________．
19.若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．
20.当x=________时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值________．
21.如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有________（填序号）
①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．
22.如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为________．
23.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是________．（只填写序号）
24.如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y= 9x 的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为________．
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
三、解答题
26.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为 (4,−3) ，该图象与 x 轴相交于点 A 、 B ，与 y 轴相交于点 C ，其中点 A 的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求 tan∠ABC ．
27.如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点 A(1,0) 、 B(5,0) 、 C(0,4) 三点.
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足 PA+PC 的值为最小的点 P 坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点 E ，使四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点 E 坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
28.某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间第t天之间的函数关系式为 y=2t+100 （ 1⩽t⩽80 ，t为整数），销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表：
（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式.
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
29. 2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示.每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示.
月份x
…
3
4
5
6
…
售价y1/元
…
12
14
16
18
…
（1）求y1与x之间的函数关系式.
（2）求y2与x之间的函数关系式.
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？
30.如图，抛物线 y=−12x2+bx+c 过点 A(3,2) ，且与直线 y=−x+72 交于B、C两点，点B的坐标为 (4,m) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线 BC 上方的一点，过点D作 DE⊥x 轴交直线 BC 于点E ， 点P为对称轴上一动点，当线段 DE 的长度最大时，求 PD+PA 的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q ， 使 ∠AQM=45° ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
31.如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(2，0)，且与y轴交于C点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点C关于x轴的对称点为C1 ， M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合)，ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由.
（3）已知点P是直线y＝ 12 x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标.
32.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；
（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值.
33.如图，抛物线与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C(0,−2) ，点 A 的坐标是 (2,0) ， P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D ，交直线 BC 于点 E ，抛物线的对称轴是直线 x=−1 .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 P 在第二象限内，且 PE=14OD ，求 ΔPBE 的面积．
（3）在（2）的条件下，若 M 为直线 BC 上一点，在 x 轴的下方，是否存在点 M ，使 ΔBDM 是以 BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
34.已知，如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点为 M(1,9) ，经过抛物线上的两点 A(−3,−7) 和 B(3,m) 的直线交抛物线的对称轴于点 C ．
（1）求抛物线的解析式和直线 AB 的解析式．
（2）在抛物线上 A,M 两点之间的部分（不包含 A,M 两点），是否存在点 D ，使得 SΔDAC=2SΔDCM ？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点 P 的坐标．
35.如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(−1,0) 和点 B(3,0) ，与 y 轴交于点 N ，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD ，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP ，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E ．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点 P 在线段 OB （点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点 M ，连接 MN、MB ．请问： ΔMBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
1.解：∵ 将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
∴平移后的抛物线的解析式为： y=2(x-2)2+3
故答案为：B
2.解：A、由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，因此ac＜0，故不符合题意；
B、由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，故不符合题意；
C、由对称轴为x=- b2a =1，得2a=-b，即2a+b=0，故符合题意；
D、由对称轴为x=1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（-1，0），所以a-b+c=0，故不符合题意。
故答案为：C。
3.①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故①符合题意；
②∵对称轴x＜﹣1，
∴ −b2a ＜﹣1，-2a＞0，
∴b＜2a，
∴b﹣2a＜0，故②符合题意；
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③不符合题意；
④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④不符合题意，
故答案为：A．
4.解：抛物线 y=−x2+bx+4 经过 (−2,n) 和 (4,n) 两点，
可知函数的对称轴 x=1 ，
∴b2=1 ，
∴b=2 ；
∴y=−x2+2x+4 ，
将点 (−2,n) 代入函数解析式，可得 n=-4 。
故答案为：B。
5.解： 抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是直线： x=-b2a=-62×-3=1。
故答案为：C。
6.由图可知，函数图象开口向下，
∴a＜0，
又∵函数图象经过坐标原点（0，0），
∴a2-2=0，
解得a1= 2 （舍去），a2=- 2 ，
故答案为：C．
7.①∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵−b2a<1，
∴2a+b<0，①正确；
②抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵−b2a>0，a<0，
∴b>0，
∴abc<0，②错误；
③当x=−2时，y<0，
∴4a−2b+c<0，③错误；
x=±1时，y>0，
∴a−b+c>0，a+b+c>0，
∴a+c>0，④正确，
故答案为：B
8.A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．不符合题意；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ −22a ＞0．符合题意；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ −22a ＞0，和x轴的正半轴相交．不符合题意；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．不符合题意．
故答案为：B．
9.解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ 15 ，
∴y=﹣ 15 x2+3.5．
符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
y=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
不符合题意．
故答案为：A．
10.解：A、当x=0时，y=-1，图像与 y 轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；
B、 对称轴为直线x=-1，对称轴在y轴的左侧，因此B不符合题意；
C、 当x＜-1时y的值随 x 值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；
D、 a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；
故答案为：D
11.解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），
∴- b2a =-1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=-3a，
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，
∵抛物线与x轴有交点，
∴b2-4ac＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（-3，0），
∴9a-3b+c=0，故③正确，
∵点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，
-0.5＞-2，
则y1＜y2；故④错误，
∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，
故答案为：B．
一判断。
12.解：∵对称轴在y轴左侧，图象与y轴交于y轴正半轴，
∴ab>0，c>0，故①错误，
∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1，
∴图象与x轴的另一个交点为（-3，0），
∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，
∵对称轴x= −b2a =-1，
∴b=2a，
∵x=1时，a+b+c=0，
∴3a+c=0，
∴8a+c=5a<0，故③错误，
∵3a+c=0，
∴c=-3a，
∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c，故④正确，
ax2+bx+c=2x+2，
整理得：ax2+(b-2)x+c-2=0，
∵直线 y=2x+2 与抛物线 y=ax2+bx+c 两个交点的横坐标分别为 x1、x2 ，
∴x1+x2+x1 ⋅ x2= −b−2a + c−2a = −2a+2+(−3a)−2a =-5，故⑤正确，
综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.
故答案为：C.
13.解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
−b2a>0
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故②错误；
③∵A（x1 ， m），B（x2 ， m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即 4ac−b24a≤−3 ，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴ 4a•(−8a)−(−2a)24a≤−3 ，
解得： a≥13 ，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1 ， x2 ，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2 ，
∴x1＜﹣2＜4＜x2 ， 故⑤错误；
故答案为：A.
14.解：∵抛物线开口向下，
∴ a<0 ，
∵抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1 ，
∴ b=−2a>0 ，
∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴ c>0 ，
∴ abc<0 ，所以①正确；
∵ b=−2a ，
∴ a+12b=a−a=0 ，
∵ c>0 ，
∴ a+12b+14c>0 ，所以②错误；
∵ C(0,c) ， OA=OC ，
∴ A(−c,0) ，
把 A(−c,0) 代入 y=ax2+bx+c 得 ac2−bc+c=0 ，
∴ ac−b+1=0 ，所以③正确；
∵ A(−c,0) ，对称轴为直线 x=1 ，
∴ B(2+c,0) ，
∴ 2+c 是关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根，所以④正确；
综上正确的有3个。
故答案为：C。
15.解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=− b2a ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于 12 ＜2＜ 52 ，
且（ 52 ，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（ 32 ，y2），
∵ 12 ＜ 32 ，
∴y1＜y2 ， 故③正确，
④∵− b2a =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴- 35 ＜a＜- 25 ，故④正确
故答案为：D．
二、填空题
16.∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上，
又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴抛物线y=x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△>0，即（-4）2-4k>0，
∴k＜4，
故答案为：k＜4.
17.解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
18.解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ 38 ，
则抛物线解析式为y=﹣ 38 （x+2）（x﹣4）=﹣ 38 x2+ 34 x+3，
故答案为y=﹣ 38 x2+ 34 x+3．
19.解：∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点， ∴△=b2﹣4ac＜0，
∴（﹣6）2﹣4×1•m＜0，
解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9．
故答案为：m＞9．
20.解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5， ∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
21.解：①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交于y轴负半轴，
∴a＞0，﹣ b2a ＞0，c＜0，
∴b＜0，abc＞0，①正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，②错误；
③当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，③正确；
④∵0＜﹣ b2a ＜1，
∴﹣2a＜b＜0，
∴2a+b＞0＞c，④正确．
故答案为：①③④．
22.
连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO= 22+22 =2 2 ，∠AOP=45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′=2 2 ×2=4 2 ，
∴AD=DO=sin45°•OA= 22 ×3= 322 ，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4 2 × 322 =12．
故答案为：12．
23.解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误． 观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1 ， 故④错误，
因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
24.解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a ≠ 0)与反比例函数y= 9x 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴ {a×32−4×3+c=3c=6
解得， {a=1c=6
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴ {2m+n=−23m+n=3,得{m=5n=−12
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x= 125 ,
故答案为：（ 125，0 ）
25.解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（- b2a ，- b2a ）．
∵抛物线y=ax2过点B，
∴- b2a =a（- b2a ）2 ，
解得：b1=0（舍去），b2=-2．
故答案为：-2．
三、解答题
26. （1）解：由题意可设抛物线解析式为： y=a(x−4)2−3(a≠0) ．
把 A(1,0) 代入，得 0=a(1−4)2−3 ，
解得 a=13 ．故该二次函数解析式为 y=13(x−4)2−3
（2）解：令 x=0 ，则 y=13(0−4)2−3=73 ．则 OC=73 ．
∵二次函数图象的顶点坐标为 (4,−3) ， A(1,0) ，则点 B 与点 A 关系直线 x=4 对称，
∴ B(7,0) ，∴ OB=7 ．
∴ tan∠ABC=OCOB=737=13 ，即 tan∠ABC=13
27. （1）解：将点 A 、 B 的坐标代入二次函数表达式得： y=a(x−1)(x−5)=a(x2−6x+5) ，
则 5a=4 ，解得： a=45 ，
抛物线的表达式为： y=45(x2−6x+5)=45x2−245x+4 ，
函数的对称轴为： x=3 ，
顶点坐标为 (3,−165)
（2）解：连接 B 、 C 交对称轴于点 P ，此时 PA+PC 的值为最小，
将点 B 、 C 的坐标代入一次函数表达式： y=kx+b 得： {0=5k+bb=4 ，
解得： {k=−45b=4 ，
直线 BC 的表达式为： y=−45x+4 ，
当 x=3 时， y=85 ，
故点 P(3,85)
（3）解：存在，理由：
四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为12的平行四边形，
则 S四边形OEBF=OB×yE=5×yE=12 ，
则 yE=125 ，将该坐标代入二次函数表达式得：
y=45(x2−6x+5)=125 ，
解得： x=3±7 ，
故点 E 的坐标为 (3−7 ， 125) 或 (3+7 ， 125) .
28. （1）解：设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为： p=kt+b ，
将 (1,49.5) ， (2,49) 代入得， {k+b=49.52k+b=49 ，
解得： {k=−12b=50 ，
∴销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为： p=−12t+50
（2）解：设每天获得的利润为w元，
由题意得， w=(2t+100)(50−0.5t)−6(2t+100)
=−t2+38t+4400=−(t−19)2+4761 ，
∵ a=−1<0
∴w有最大值，
当 t=19 时，w最大，此时， w最大=4761 ，
答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元.
29. （1）解：设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
将（3，12）（4，14）代入y1得， {3k+b=124k+b=14 ，
解得： {k=2b=6 ，
∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝2x+6
（2）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），
∴设y2与x之间的函数关系式为：y2＝a（x﹣3）2+9，
将（5，10）代入y2＝a（x﹣3）2+9得a（5﹣3）2+9＝10，
解得：a＝ 14 ，
∴y2＝ 14 （x﹣3）2+9＝ 14 x2﹣ 32 x+ 454
（3）解：由题意得，w＝y1﹣y2＝2x+6﹣ 14 x2+ 32 x﹣ 454 ＝﹣ 14 x2+ 72 x﹣ 214 ，
∵﹣ 14 ＜0，
∴w由最大值，
∴当x＝﹣ b2a ＝﹣ 722×(−14) ＝7时，w最大＝﹣ 14 ×72+ 72 ×7﹣ 214 ＝7.
30.（1）解：将点B的坐标为 (4,m) 代入 y=−x+72 ，
m=−4+72=−12 ，
∴B的坐标为 (4,−12) ，
将 A(3,2) ， B(4,−12) 代入 y=−12x2+bx+c ，
{−12×32+3b+c=2−12×42+4b+c=−12
解得 b=1 ， c=72 ，
∴抛物线的解析式 y=−12x2+x+72
（2）解：设 D(m,12m2+m+72) ，则 E(m,−m+72) ，
DE=(−12m2+m+72)−(−m+72)=−12m2+2π=−12(m−2)2+2 ，
∴当 m=2 时， DE 有最大值为2，
此时 D(2,72) ，
作点A关于对称轴的对称点 A′ ，连接 A′D ，与对称轴交于点P ．
PD+PA=PD+PA′=A′D ，此时 PD+PA 最小，
∵ A(3,2) ，
∴ A′(−1,2) ，
A′D=(−1−2)2+(2−72)2=325 ，
即 PD+PA 的最小值为 325
（3）解：作 AH⊥y 轴于点H ， 连接 AM 、 AQ 、 MQ 、 HA 、 HQ ，
∵抛物线的解析式 y=−12x2+x+72 ，
∴ M(1,4) ，
∵ A(3,2) ，
∴ AH=MH=2 ， H(1,2)
∵ ∠AQM=45° ，
∠AHM=90° ，
∴ ∠AQM=12∠AHM ，
可知 ΔAQM 外接圆的圆心为H ，
∴ QH=HA=HM=2
设 Q(0,t) ，
则 (0−1)2+(t−2)2=2 ，
t=2+3 或 2−3
∴正确的点Q的坐标： Q1(0,2−3) 、 Q2(0,2+3) ．
31.（1）解：将A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得 {a−b=14a+2b=1 ，解得： {a=12b=−12
∴该抛物线的表达式为： y=12x2−12x−1
（2）解：在 y=12x2−12x−1 中，令x＝0，y＝﹣1，∴C(0，﹣1)
∵点C关于x轴的对称点为C1 ，
∴C1(0，1)，设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B(2，0)，C1(0，1)分别代入得 {2k+b=0b=1 ，解得 {k=−12b=1 ，
∴直线C1B解析式为 y=−12x+1 ，设M(t， −12t+1 )，则 E(t，0)，F(0， −12t+1 )
∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t( −12t+1 )＝﹣ 12 (t﹣1)2+ 12 ，
∵﹣ 12 ＜0，
∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝ 12 ，此时，M(1， 12 )；即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大.
（3）解：由题意，C(0，﹣1)，C1(0，1)，以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：
①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P(m， 12 m+1)，Q(m， 12m2−12m−1 )，
∴|( 12m2−12m−1 )﹣( 12 m+1)|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0(舍)，
P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)；P3(2，2)，Q3(2，0)
②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为(0，0)，
∴PQ的中点为(0，0)，设P(m， 12 m+1)，则Q(﹣m， 12m2−12m−1 )
∴( 12 m+1)+( 12m2−12m−1 )＝0，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2，
∴P4(﹣2，0)，Q4(2，0)；
综上所述，点P和点Q的坐标为：P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0)
32.（1）解：∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴点B的坐标为（3，0），
代入y＝x2+bx+c，得：
{1−b+c=09+3b+c=0 ，
解得 {b=−2c=−3 ，
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）解：如图所示：
由抛物线解析式知C（0，﹣3），
则OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，
∴OP＝OBtan∠OBP＝3× 33 ＝ 3 ，
∴CP＝3﹣ 3 ；
若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，
∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3× 3 ＝3 3 ，
∴CP＝3 3 ﹣3；
综上，CP的长为3﹣ 3 或3 3 ﹣3
（3）解：若a+1＜1，即a＜0，
则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，
解得a＝1﹣ 5 （正值舍去）；
若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，
则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，
解得：a＝﹣2（舍去）；
若a＞1，
则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，
解得a＝2+ 7 （负值舍去）；
综上，a的值为1﹣ 5 或2+ 7
33.（1）解：点 A 的坐标是 (2,0) ，抛物线的对称轴是直线 x=−1 ，则点 B(−4,0) ，
所以设函数的表达式为： y=a(x−2)(x+4)=a(x2+2x−8) ，
将点C(0，-2)代入得： −8a=−2 ，解得： a=14 ，
故抛物线的表达式为： y=14x2+12x−2
（2）解：设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点 B (-4，0)、 C (0，-2)分别代入得 {−4m+n=0n=−2 ，
解得： {m=−12n=−2 ，
所以直线 BC 的表达式为： y=−12x−2 ，
设点 D(x,0) ，则OD=-x，点 P(x,14x2+12x−2) ，点 E(x,−12x−2) ，
∴PE= (14x2+12x−2)−(−12x−2)=14x2+x ，
∵ PE=14OD ，
∴ 14x2+x = −x4 ，
解得： x=0 或x=-5(舍去 x=0 )，
∴点 D(−5,0) ，
∴PE= 54 ，BD=-4-(-5)=1，
∴ SΔPBE=12×PE×BD =12×54×1=58
（3）解：由题意得：在x轴下方， ΔBDM 是以 BD 为腰的等腰三角形，只存在： BD=BM 的情况，
∴BM=BD=1，
∵ B (-4，0)、 C (0，-2)，
∴OB=4，OC=2，
∵∠BOC=90°，∴BC= OB2+OC2 = 5 ，
∴ sin∠ABC=OCBC=15=55 ，
设M的坐标为(xM ， yM)，
则 yM=−BMsin∠ABC=−1×55=−55 ，
则 xM=−20+255 ，
故点 M(−20+255,−55) .
34. （1）解：二次函数表达式为： y=a(x−1)2+9 ，
将点 A 的坐标代入上式并解得： a=−1 ，
故抛物线的表达式为： y=−x2+2x+8 …①，
则点 B(3,5) ，
将点 A,B 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 AB 的表达式为： y=2x−1
（2）解：存在，理由：
二次函数对称轴为： x=1 ，则点 C(1,1) ，
过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H ，
设点 D(x,−x2+2x+8) ，点 H(x,2x−1) ，
∵ SΔDAC=2SΔDCM ，
则 S△DAC=12DH(xC−xA)=12(−x2+2x+8−2x+1)(1+3)=12(9−1)(1−x)×2 ，
解得： x=−1 或5（舍去5），
故点 D(−1,5)
（3）解：设点 Q(m,0) 、点 P(s,t) ， t=−s2+2s+8 ，
①当 AM 是平行四边形的一条边时，
点 M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到 A ，
同理，点 Q(m,0) 向左平移4个单位向下平移16个单位为 (m−4,−16) ，即为点 P ，
即： m−4=s ， −6=t ，而 t=−s2+2s+8 ，
解得： s=6 或﹣4，
故点 P(6,−16) 或 (−4,−16) ；
②当 AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得： m+s=−2 ， t=2 ，而 t=−s2+2s+8 ，
解得： s=1±7 ，
故点 P(1+7,2) 或 (1−7,2) ；
综上，点 P(6,−16) 或 (−4,−16) 或 (1+7,2) 或 (1−7,2) ．
35. （1）解：∵抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(−1,0) ， B(3,0) ，
把 A、B 两点坐标代入上式， {1−b+c=09+3b+c=0 ，
解得： {b=−2c=−3 ，
故抛物线函数关系表达式为 y=x2−2x−3
（2）解：∵ A(−1,0) ，点 B(3,0) ，
∴ AB=OA+OB=1+3=4 ，
∵正方形 ABCD 中， ∠ABC=90°,PC⊥BE ，
∴ ∠OPE+∠CPB=90° ，
∠CPB+∠PCB=90° ，
∴ ∠OPE=∠PCB ，
又∵ ∠EOP=∠PBC=90° ，
∴ ΔPOE∼ΔCBP ，
∴ BCPB=OPOE ，
设 OP=x ，则 PB=3−x ，
∴ 43−x=xOE ，
∴ OE=14(−x2+3x)=−14(x−32)2+916 ，
∵ 0
即 OP=32 时，线段 OE 有最大值．最大值是 916
（3）解：存在．
如图，过点 M 作 MH∕∕y 轴交 BN 于点 H ，
∵抛物线的解析式为 y=x2−2x−3 ，
∴ x=0,y=−3 ，
∴ N 点坐标为 (0,−3) ，
设直线 BN 的解析式为 y=kx+b ，
∴ {3k+b=0b=−3 ，
∴ {k=1b=−3 ，
∴直线 BN 的解析式为 y=x−3 ，
设 M(a,a2−2a−3) ，则 H(a,a−3) ，
∴ MH=a−3−(a2−2a−3)=−a2+3a ，
∴ SΔMNB=SΔBMH+SΔMNH=12MH⋅OB=12×(−a2+3a)×3=−12(a−32)2+278 ，
∵ −12<0 ，
∴ a=32 时， ΔMBN 的面积有最大值，最大值是 278 ，此时 M 点的坐标为 (32,−154) ．
一、选择题
1.将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）．
A. y=2(x+2)2+3 B. y=2(x-2)2+3 C. y=2(x-2)2-3 D. y=2(x+2)2-3
2.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（ ）
A. ac<0 B. b2−4ac>0 C. 2a−b=0 D. a−b+c=0
3.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是( )
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
4.已知抛物线 y=−x2+bx+4 经过 (−2,n) 和 (4,n) 两点，则n的值为（ ）
A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4
5.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（ ）
A. 直线x=2 B. 直线x=-2 C. 直线x=1 D. 直线x=-1.
6.若二次函数 y=ax2+bx+a2−2 （ a ， b 为常数）的图象如图，则 a 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. −2 D. -2
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论：①2a+b<0;②abc>0;③4a−2b+c>0;④a+c>0,其中正确结论的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.如图,函数 y=ax2−2x+1 和 y=ax−a ( a 是常数,且 a≠0 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 此抛物线的解析式是y=﹣ 15 x2+3.5 B. 篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C. 此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D. 篮球出手时离地面的高度是2m
10.关于二次函数 y=2x2+4x−1 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图像与 y 轴的交点坐标为 (0,1) B. 图像的对称轴在 y 轴的右侧
C. 当 x<0 时， y 的值随 x 值的增大而减小 D. y 的最小值为-3
11.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12.抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=−1 ，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：
① ab>0 且 c<0 ；② 4a−2b+c>0 ；③ 8a+c>0 ；④ c=3a−3b ；⑤直线 y=2x+2 与抛物线 y=ax2+bx+c 两个交点的横坐标分别为 x1、x2 ，则 x1+x2+x1⋅x2=−5 .其中正确的个数有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
13.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1 ， m），B（x2 ， m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 则﹣2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
14.如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于点 C ， OA=OC ，对称轴为直线 x=1 ，则下列结论：① abc<0 ；② a+12b+14c=0 ；③ ac−b+1=0 ；④ 2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（ 12 ，y1），点N（ 52 ，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣ 35 ＜a＜﹣ 25 ．其中正确结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
16.已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是________．
17.把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．
18.经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是________．
19.若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．
20.当x=________时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值________．
21.如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有________（填序号）
①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．
22.如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为________．
23.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是________．（只填写序号）
24.如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y= 9x 的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为________．
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
三、解答题
26.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为 (4,−3) ，该图象与 x 轴相交于点 A 、 B ，与 y 轴相交于点 C ，其中点 A 的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求 tan∠ABC ．
27.如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点 A(1,0) 、 B(5,0) 、 C(0,4) 三点.
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足 PA+PC 的值为最小的点 P 坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点 E ，使四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点 E 坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
28.某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间第t天之间的函数关系式为 y=2t+100 （ 1⩽t⩽80 ，t为整数），销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表：
（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式.
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
29. 2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示.每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示.
月份x
…
3
4
5
6
…
售价y1/元
…
12
14
16
18
…
（1）求y1与x之间的函数关系式.
（2）求y2与x之间的函数关系式.
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？
30.如图，抛物线 y=−12x2+bx+c 过点 A(3,2) ，且与直线 y=−x+72 交于B、C两点，点B的坐标为 (4,m) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线 BC 上方的一点，过点D作 DE⊥x 轴交直线 BC 于点E ， 点P为对称轴上一动点，当线段 DE 的长度最大时，求 PD+PA 的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q ， 使 ∠AQM=45° ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
31.如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(2，0)，且与y轴交于C点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点C关于x轴的对称点为C1 ， M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合)，ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由.
（3）已知点P是直线y＝ 12 x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标.
32.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；
（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值.
33.如图，抛物线与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C(0,−2) ，点 A 的坐标是 (2,0) ， P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D ，交直线 BC 于点 E ，抛物线的对称轴是直线 x=−1 .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 P 在第二象限内，且 PE=14OD ，求 ΔPBE 的面积．
（3）在（2）的条件下，若 M 为直线 BC 上一点，在 x 轴的下方，是否存在点 M ，使 ΔBDM 是以 BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
34.已知，如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点为 M(1,9) ，经过抛物线上的两点 A(−3,−7) 和 B(3,m) 的直线交抛物线的对称轴于点 C ．
（1）求抛物线的解析式和直线 AB 的解析式．
（2）在抛物线上 A,M 两点之间的部分（不包含 A,M 两点），是否存在点 D ，使得 SΔDAC=2SΔDCM ？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点 P 的坐标．
35.如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(−1,0) 和点 B(3,0) ，与 y 轴交于点 N ，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD ，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP ，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E ．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点 P 在线段 OB （点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点 M ，连接 MN、MB ．请问： ΔMBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
1.解：∵ 将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
∴平移后的抛物线的解析式为： y=2(x-2)2+3
故答案为：B
2.解：A、由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，因此ac＜0，故不符合题意；
B、由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，故不符合题意；
C、由对称轴为x=- b2a =1，得2a=-b，即2a+b=0，故符合题意；
D、由对称轴为x=1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（-1，0），所以a-b+c=0，故不符合题意。
故答案为：C。
3.①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故①符合题意；
②∵对称轴x＜﹣1，
∴ −b2a ＜﹣1，-2a＞0，
∴b＜2a，
∴b﹣2a＜0，故②符合题意；
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③不符合题意；
④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④不符合题意，
故答案为：A．
4.解：抛物线 y=−x2+bx+4 经过 (−2,n) 和 (4,n) 两点，
可知函数的对称轴 x=1 ，
∴b2=1 ，
∴b=2 ；
∴y=−x2+2x+4 ，
将点 (−2,n) 代入函数解析式，可得 n=-4 。
故答案为：B。
5.解： 抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是直线： x=-b2a=-62×-3=1。
故答案为：C。
6.由图可知，函数图象开口向下，
∴a＜0，
又∵函数图象经过坐标原点（0，0），
∴a2-2=0，
解得a1= 2 （舍去），a2=- 2 ，
故答案为：C．
7.①∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵−b2a<1，
∴2a+b<0，①正确；
②抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵−b2a>0，a<0，
∴b>0，
∴abc<0，②错误；
③当x=−2时，y<0，
∴4a−2b+c<0，③错误；
x=±1时，y>0，
∴a−b+c>0，a+b+c>0，
∴a+c>0，④正确，
故答案为：B
8.A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．不符合题意；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ −22a ＞0．符合题意；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ −22a ＞0，和x轴的正半轴相交．不符合题意；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．不符合题意．
故答案为：B．
9.解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ 15 ，
∴y=﹣ 15 x2+3.5．
符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
y=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
不符合题意．
故答案为：A．
10.解：A、当x=0时，y=-1，图像与 y 轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；
B、 对称轴为直线x=-1，对称轴在y轴的左侧，因此B不符合题意；
C、 当x＜-1时y的值随 x 值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；
D、 a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；
故答案为：D
11.解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），
∴- b2a =-1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=-3a，
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，
∵抛物线与x轴有交点，
∴b2-4ac＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（-3，0），
∴9a-3b+c=0，故③正确，
∵点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，
-0.5＞-2，
则y1＜y2；故④错误，
∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，
故答案为：B．
一判断。
12.解：∵对称轴在y轴左侧，图象与y轴交于y轴正半轴，
∴ab>0，c>0，故①错误，
∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1，
∴图象与x轴的另一个交点为（-3，0），
∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，
∵对称轴x= −b2a =-1，
∴b=2a，
∵x=1时，a+b+c=0，
∴3a+c=0，
∴8a+c=5a<0，故③错误，
∵3a+c=0，
∴c=-3a，
∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c，故④正确，
ax2+bx+c=2x+2，
整理得：ax2+(b-2)x+c-2=0，
∵直线 y=2x+2 与抛物线 y=ax2+bx+c 两个交点的横坐标分别为 x1、x2 ，
∴x1+x2+x1 ⋅ x2= −b−2a + c−2a = −2a+2+(−3a)−2a =-5，故⑤正确，
综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.
故答案为：C.
13.解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
−b2a>0
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故②错误；
③∵A（x1 ， m），B（x2 ， m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即 4ac−b24a≤−3 ，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴ 4a•(−8a)−(−2a)24a≤−3 ，
解得： a≥13 ，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1 ， x2 ，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2 ，
∴x1＜﹣2＜4＜x2 ， 故⑤错误；
故答案为：A.
14.解：∵抛物线开口向下，
∴ a<0 ，
∵抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1 ，
∴ b=−2a>0 ，
∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴ c>0 ，
∴ abc<0 ，所以①正确；
∵ b=−2a ，
∴ a+12b=a−a=0 ，
∵ c>0 ，
∴ a+12b+14c>0 ，所以②错误；
∵ C(0,c) ， OA=OC ，
∴ A(−c,0) ，
把 A(−c,0) 代入 y=ax2+bx+c 得 ac2−bc+c=0 ，
∴ ac−b+1=0 ，所以③正确；
∵ A(−c,0) ，对称轴为直线 x=1 ，
∴ B(2+c,0) ，
∴ 2+c 是关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根，所以④正确；
综上正确的有3个。
故答案为：C。
15.解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=− b2a ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于 12 ＜2＜ 52 ，
且（ 52 ，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（ 32 ，y2），
∵ 12 ＜ 32 ，
∴y1＜y2 ， 故③正确，
④∵− b2a =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴- 35 ＜a＜- 25 ，故④正确
故答案为：D．
二、填空题
16.∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上，
又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴抛物线y=x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△>0，即（-4）2-4k>0，
∴k＜4，
故答案为：k＜4.
17.解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
18.解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ 38 ，
则抛物线解析式为y=﹣ 38 （x+2）（x﹣4）=﹣ 38 x2+ 34 x+3，
故答案为y=﹣ 38 x2+ 34 x+3．
19.解：∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点， ∴△=b2﹣4ac＜0，
∴（﹣6）2﹣4×1•m＜0，
解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9．
故答案为：m＞9．
20.解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5， ∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
21.解：①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交于y轴负半轴，
∴a＞0，﹣ b2a ＞0，c＜0，
∴b＜0，abc＞0，①正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，②错误；
③当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，③正确；
④∵0＜﹣ b2a ＜1，
∴﹣2a＜b＜0，
∴2a+b＞0＞c，④正确．
故答案为：①③④．
22.
连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO= 22+22 =2 2 ，∠AOP=45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′=2 2 ×2=4 2 ，
∴AD=DO=sin45°•OA= 22 ×3= 322 ，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4 2 × 322 =12．
故答案为：12．
23.解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误． 观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1 ， 故④错误，
因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
24.解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a ≠ 0)与反比例函数y= 9x 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴ {a×32−4×3+c=3c=6
解得， {a=1c=6
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴ {2m+n=−23m+n=3,得{m=5n=−12
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x= 125 ,
故答案为：（ 125，0 ）
25.解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（- b2a ，- b2a ）．
∵抛物线y=ax2过点B，
∴- b2a =a（- b2a ）2 ，
解得：b1=0（舍去），b2=-2．
故答案为：-2．
三、解答题
26. （1）解：由题意可设抛物线解析式为： y=a(x−4)2−3(a≠0) ．
把 A(1,0) 代入，得 0=a(1−4)2−3 ，
解得 a=13 ．故该二次函数解析式为 y=13(x−4)2−3
（2）解：令 x=0 ，则 y=13(0−4)2−3=73 ．则 OC=73 ．
∵二次函数图象的顶点坐标为 (4,−3) ， A(1,0) ，则点 B 与点 A 关系直线 x=4 对称，
∴ B(7,0) ，∴ OB=7 ．
∴ tan∠ABC=OCOB=737=13 ，即 tan∠ABC=13
27. （1）解：将点 A 、 B 的坐标代入二次函数表达式得： y=a(x−1)(x−5)=a(x2−6x+5) ，
则 5a=4 ，解得： a=45 ，
抛物线的表达式为： y=45(x2−6x+5)=45x2−245x+4 ，
函数的对称轴为： x=3 ，
顶点坐标为 (3,−165)
（2）解：连接 B 、 C 交对称轴于点 P ，此时 PA+PC 的值为最小，
将点 B 、 C 的坐标代入一次函数表达式： y=kx+b 得： {0=5k+bb=4 ，
解得： {k=−45b=4 ，
直线 BC 的表达式为： y=−45x+4 ，
当 x=3 时， y=85 ，
故点 P(3,85)
（3）解：存在，理由：
四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为12的平行四边形，
则 S四边形OEBF=OB×yE=5×yE=12 ，
则 yE=125 ，将该坐标代入二次函数表达式得：
y=45(x2−6x+5)=125 ，
解得： x=3±7 ，
故点 E 的坐标为 (3−7 ， 125) 或 (3+7 ， 125) .
28. （1）解：设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为： p=kt+b ，
将 (1,49.5) ， (2,49) 代入得， {k+b=49.52k+b=49 ，
解得： {k=−12b=50 ，
∴销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为： p=−12t+50
（2）解：设每天获得的利润为w元，
由题意得， w=(2t+100)(50−0.5t)−6(2t+100)
=−t2+38t+4400=−(t−19)2+4761 ，
∵ a=−1<0
∴w有最大值，
当 t=19 时，w最大，此时， w最大=4761 ，
答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元.
29. （1）解：设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
将（3，12）（4，14）代入y1得， {3k+b=124k+b=14 ，
解得： {k=2b=6 ，
∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝2x+6
（2）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），
∴设y2与x之间的函数关系式为：y2＝a（x﹣3）2+9，
将（5，10）代入y2＝a（x﹣3）2+9得a（5﹣3）2+9＝10，
解得：a＝ 14 ，
∴y2＝ 14 （x﹣3）2+9＝ 14 x2﹣ 32 x+ 454
（3）解：由题意得，w＝y1﹣y2＝2x+6﹣ 14 x2+ 32 x﹣ 454 ＝﹣ 14 x2+ 72 x﹣ 214 ，
∵﹣ 14 ＜0，
∴w由最大值，
∴当x＝﹣ b2a ＝﹣ 722×(−14) ＝7时，w最大＝﹣ 14 ×72+ 72 ×7﹣ 214 ＝7.
30.（1）解：将点B的坐标为 (4,m) 代入 y=−x+72 ，
m=−4+72=−12 ，
∴B的坐标为 (4,−12) ，
将 A(3,2) ， B(4,−12) 代入 y=−12x2+bx+c ，
{−12×32+3b+c=2−12×42+4b+c=−12
解得 b=1 ， c=72 ，
∴抛物线的解析式 y=−12x2+x+72
（2）解：设 D(m,12m2+m+72) ，则 E(m,−m+72) ，
DE=(−12m2+m+72)−(−m+72)=−12m2+2π=−12(m−2)2+2 ，
∴当 m=2 时， DE 有最大值为2，
此时 D(2,72) ，
作点A关于对称轴的对称点 A′ ，连接 A′D ，与对称轴交于点P ．
PD+PA=PD+PA′=A′D ，此时 PD+PA 最小，
∵ A(3,2) ，
∴ A′(−1,2) ，
A′D=(−1−2)2+(2−72)2=325 ，
即 PD+PA 的最小值为 325
（3）解：作 AH⊥y 轴于点H ， 连接 AM 、 AQ 、 MQ 、 HA 、 HQ ，
∵抛物线的解析式 y=−12x2+x+72 ，
∴ M(1,4) ，
∵ A(3,2) ，
∴ AH=MH=2 ， H(1,2)
∵ ∠AQM=45° ，
∠AHM=90° ，
∴ ∠AQM=12∠AHM ，
可知 ΔAQM 外接圆的圆心为H ，
∴ QH=HA=HM=2
设 Q(0,t) ，
则 (0−1)2+(t−2)2=2 ，
t=2+3 或 2−3
∴正确的点Q的坐标： Q1(0,2−3) 、 Q2(0,2+3) ．
31.（1）解：将A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得 {a−b=14a+2b=1 ，解得： {a=12b=−12
∴该抛物线的表达式为： y=12x2−12x−1
（2）解：在 y=12x2−12x−1 中，令x＝0，y＝﹣1，∴C(0，﹣1)
∵点C关于x轴的对称点为C1 ，
∴C1(0，1)，设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B(2，0)，C1(0，1)分别代入得 {2k+b=0b=1 ，解得 {k=−12b=1 ，
∴直线C1B解析式为 y=−12x+1 ，设M(t， −12t+1 )，则 E(t，0)，F(0， −12t+1 )
∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t( −12t+1 )＝﹣ 12 (t﹣1)2+ 12 ，
∵﹣ 12 ＜0，
∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝ 12 ，此时，M(1， 12 )；即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大.
（3）解：由题意，C(0，﹣1)，C1(0，1)，以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：
①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P(m， 12 m+1)，Q(m， 12m2−12m−1 )，
∴|( 12m2−12m−1 )﹣( 12 m+1)|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0(舍)，
P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)；P3(2，2)，Q3(2，0)
②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为(0，0)，
∴PQ的中点为(0，0)，设P(m， 12 m+1)，则Q(﹣m， 12m2−12m−1 )
∴( 12 m+1)+( 12m2−12m−1 )＝0，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2，
∴P4(﹣2，0)，Q4(2，0)；
综上所述，点P和点Q的坐标为：P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0)
32.（1）解：∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴点B的坐标为（3，0），
代入y＝x2+bx+c，得：
{1−b+c=09+3b+c=0 ，
解得 {b=−2c=−3 ，
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）解：如图所示：
由抛物线解析式知C（0，﹣3），
则OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，
∴OP＝OBtan∠OBP＝3× 33 ＝ 3 ，
∴CP＝3﹣ 3 ；
若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，
∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3× 3 ＝3 3 ，
∴CP＝3 3 ﹣3；
综上，CP的长为3﹣ 3 或3 3 ﹣3
（3）解：若a+1＜1，即a＜0，
则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，
解得a＝1﹣ 5 （正值舍去）；
若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，
则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，
解得：a＝﹣2（舍去）；
若a＞1，
则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，
解得a＝2+ 7 （负值舍去）；
综上，a的值为1﹣ 5 或2+ 7
33.（1）解：点 A 的坐标是 (2,0) ，抛物线的对称轴是直线 x=−1 ，则点 B(−4,0) ，
所以设函数的表达式为： y=a(x−2)(x+4)=a(x2+2x−8) ，
将点C(0，-2)代入得： −8a=−2 ，解得： a=14 ，
故抛物线的表达式为： y=14x2+12x−2
（2）解：设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点 B (-4，0)、 C (0，-2)分别代入得 {−4m+n=0n=−2 ，
解得： {m=−12n=−2 ，
所以直线 BC 的表达式为： y=−12x−2 ，
设点 D(x,0) ，则OD=-x，点 P(x,14x2+12x−2) ，点 E(x,−12x−2) ，
∴PE= (14x2+12x−2)−(−12x−2)=14x2+x ，
∵ PE=14OD ，
∴ 14x2+x = −x4 ，
解得： x=0 或x=-5(舍去 x=0 )，
∴点 D(−5,0) ，
∴PE= 54 ，BD=-4-(-5)=1，
∴ SΔPBE=12×PE×BD =12×54×1=58
（3）解：由题意得：在x轴下方， ΔBDM 是以 BD 为腰的等腰三角形，只存在： BD=BM 的情况，
∴BM=BD=1，
∵ B (-4，0)、 C (0，-2)，
∴OB=4，OC=2，
∵∠BOC=90°，∴BC= OB2+OC2 = 5 ，
∴ sin∠ABC=OCBC=15=55 ，
设M的坐标为(xM ， yM)，
则 yM=−BMsin∠ABC=−1×55=−55 ，
则 xM=−20+255 ，
故点 M(−20+255,−55) .
34. （1）解：二次函数表达式为： y=a(x−1)2+9 ，
将点 A 的坐标代入上式并解得： a=−1 ，
故抛物线的表达式为： y=−x2+2x+8 …①，
则点 B(3,5) ，
将点 A,B 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 AB 的表达式为： y=2x−1
（2）解：存在，理由：
二次函数对称轴为： x=1 ，则点 C(1,1) ，
过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H ，
设点 D(x,−x2+2x+8) ，点 H(x,2x−1) ，
∵ SΔDAC=2SΔDCM ，
则 S△DAC=12DH(xC−xA)=12(−x2+2x+8−2x+1)(1+3)=12(9−1)(1−x)×2 ，
解得： x=−1 或5（舍去5），
故点 D(−1,5)
（3）解：设点 Q(m,0) 、点 P(s,t) ， t=−s2+2s+8 ，
①当 AM 是平行四边形的一条边时，
点 M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到 A ，
同理，点 Q(m,0) 向左平移4个单位向下平移16个单位为 (m−4,−16) ，即为点 P ，
即： m−4=s ， −6=t ，而 t=−s2+2s+8 ，
解得： s=6 或﹣4，
故点 P(6,−16) 或 (−4,−16) ；
②当 AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得： m+s=−2 ， t=2 ，而 t=−s2+2s+8 ，
解得： s=1±7 ，
故点 P(1+7,2) 或 (1−7,2) ；
综上，点 P(6,−16) 或 (−4,−16) 或 (1+7,2) 或 (1−7,2) ．
35. （1）解：∵抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(−1,0) ， B(3,0) ，
把 A、B 两点坐标代入上式， {1−b+c=09+3b+c=0 ，
解得： {b=−2c=−3 ，
故抛物线函数关系表达式为 y=x2−2x−3
（2）解：∵ A(−1,0) ，点 B(3,0) ，
∴ AB=OA+OB=1+3=4 ，
∵正方形 ABCD 中， ∠ABC=90°,PC⊥BE ，
∴ ∠OPE+∠CPB=90° ，
∠CPB+∠PCB=90° ，
∴ ∠OPE=∠PCB ，
又∵ ∠EOP=∠PBC=90° ，
∴ ΔPOE∼ΔCBP ，
∴ BCPB=OPOE ，
设 OP=x ，则 PB=3−x ，
∴ 43−x=xOE ，
∴ OE=14(−x2+3x)=−14(x−32)2+916 ，
∵ 0
即 OP=32 时，线段 OE 有最大值．最大值是 916
（3）解：存在．
如图，过点 M 作 MH∕∕y 轴交 BN 于点 H ，
∵抛物线的解析式为 y=x2−2x−3 ，
∴ x=0,y=−3 ，
∴ N 点坐标为 (0,−3) ，
设直线 BN 的解析式为 y=kx+b ，
∴ {3k+b=0b=−3 ，
∴ {k=1b=−3 ，
∴直线 BN 的解析式为 y=x−3 ，
设 M(a,a2−2a−3) ，则 H(a,a−3) ，
∴ MH=a−3−(a2−2a−3)=−a2+3a ，
∴ SΔMNB=SΔBMH+SΔMNH=12MH⋅OB=12×(−a2+3a)×3=−12(a−32)2+278 ，
∵ −12<0 ，
∴ a=32 时， ΔMBN 的面积有最大值，最大值是 278 ，此时 M 点的坐标为 (32,−154) ．
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