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2020年广东深圳市中考数学一轮复习 尺规作图补充练习解析版
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2020年深圳市中考数学一轮复习之尺规作图补充练习解析版
一、选择题
1.通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，在 ▱ABCD 中， AB=2 ， BC=3 .以点 C 为圆心，适当长为半径画弧，交 BC 于点 P ，交 CD 于点 Q ，再分别以点 P ， Q 为圆心，大于 12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点 N ，射线 CN 交 BA 的延长线于点 E ，则 AE 的长是（ ）
A. 12 B. 1 C. 65 D. 32
3.如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
作法：
①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；
②分别以D，E为圆心，大于 12 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；
③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．
A. ASA B. SAS C. SSS D. AAS
4.如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
5.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED= 12 AB中，一定正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
6.观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A. PQ为∠APB的平分线 B. PA=PB C. 点A、B到PQ的距离不相等 D. ∠APQ=∠BPQ
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A. AD=BD B. BD=CD C. ∠A=∠BED D. ∠ECD=∠EDC
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9.如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于 12 BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF.下列结论中不一定成立的是（ ）
A. BE＝EF B. EF∥CD C. AE平分∠BEF D. AB＝AE
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于 12 BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E.若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 5
12.如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠DAE=∠B B. ∠EAC=∠C C. AE∥BC D. ∠DAE=∠EAC
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AC=1，分别以点A，B为圆心，大于 12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为( )
A. 1.5 B. 3 C. 2 D. 5
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于 12 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ACB=1：3．其中正确的有（ ）
A. 只有①②③ B. 只有①②④ C. 只有①③④ D. ①②③④
15.如图，已知锐角三角形ABC，以点A为圆心，AC为半径画弧与BC交于点E，分别以点E、C为圆心，以大于 12 EC的长为半径画弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D．若BC=5，AD=4，tan∠BAD= 34 ，则AC的长为（ ）
A. 3 B. 5 C. 5 D. 2 5
二、填空题
16.如图， ▱ABCD 中， AD>CD ，按下列步骤作图：①分别以点A、C为圆心，大于 12AC 的长为半径画弧，两弧的交点分别为点F、G；②过点F、G作直线FG，交边AD于点E，若 △CDE 的周长为11，则 ▱ABCD 的周长为________.
17.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于 12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝________.
18.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A、C为圆心，大于 12 AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交AC、BC于点D、E，连结AE，若AB＝3，AC＝5，则BE的长为________．
19.如图，在矩形ABCD中，AB=6，若AD=4，由作图痕迹可得GF=________．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，AC=12．分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF交AB于点D，连结CD．则CD的长为________．
21.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE．若AB=6，BC=8，则△ABE的周长为________．
22.如图， BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF ，使 BE＝BF ；分别以 E,F 为圆心，以大于 12EF 的长为半径作弧，两弧在 ∠ABD 内交于点 G ，作射线 BG 交 AD 于点 P ，若 AP=3 ，则点 P 到 BD 的距离为________.
23.如图，在 RtΔABC 中， ∠C=900 ，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB,BC 于点 M,N ，再分别以点 M,N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作射线 BP 交 AC 于点 D .若 ∠A=30∘ ，则 SΔBCDSΔABD= ________.
24.如图，在矩形 ABMN 中，按以下步骤作图：①分别以点 A 和 C 为圆心，以大于 12A 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N ；②作直线 MN 交 CD 于点 E .若 DE=2 ， CE=3 ，则矩形的对角线 AC 的长为________．
25.如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于 12 BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=________．
三、解答题
26.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：
①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
27.如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 12 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．
（Ⅰ）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 3 ，求∠C的大小．
28.如图， BD 是菱形 ABCD 的对角线， ∠CBD=75° ，
（1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF ，垂足为 E ，交 AD 于 F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 BF ，求 ∠DBF 的度数．
29.如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC。
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长。
30.如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3 ．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作 ∠ACB 的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
31.如图，四边形 ABCD 是矩形．
（1）用尺规作线段 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 E ，交 CD 于点 F （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 BC=4 ， ∠BAC=30° ，求 BE 的长．
32.实践操作
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；
（2）以O为圆心，OC为半径作圆．
（3）在你所作的图中，AB与⊙O的位置关系是________；（直接写出答案）
（4）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．
33.如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．
34.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母） ①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；
③连接DA、DC
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
35.已知等腰△ABC的顶角∠A=36°（如图）．
（1）作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加墨）；
（2）通过计算说明△ABD和△BDC都是等腰三角形．
答案
一、选择题
1.解：A.A图所作的是BC的垂直平分线，则D是BC的中点，故A符合题意；
B.B图所作的是AB的垂直平分线，则BD=AD，BD和CD不一定相等，故D不是BC的中点，故B不符合题意；
C.所作的是∠BAC的角平分线，故D不一定是BC的中点，故C不符合题意；
D.所作的是BC边的垂线，故D不符合题意。
故答案为：A
2.解：由射线CN的尺规作图的方法可知CN是∠BCD的平分线，则∠BCN=∠DCN．
在□ABCD中，AB∥CD，∴∠E=∠DCN=∠BCN，
∴BE=BC=3，
∴AE=BE-AB=3-2=1.
故答案为：B.
3.解：如图，连接EC、DC．
根据作图的过程知，
在△EOC与△DOC中，
{OE=ODOC=OCCE=CD ，
△EOC≌△DOC（SSS）．
故选：C．
4.解：∵分别以A和B为圆心，大于 12 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
5.解：根据作图过程可知：PB=CP，
∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，
∴①ED⊥BC正确；
∵∠ABC=90°，
∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，
∴EC=EA，
∵EB=EC，
∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED= 12 AB正确，
故正确的有①②④，
故选：B．
6.解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，
∴A，B，D正确；
∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB，
∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．
故选C．
7.解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠BDE=90°；
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD；
∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，
∴∠A=∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故选：D．
8.解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴BDCD=BEAE，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴63=BE4，
∴BE=8，
故选D．
9.连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=12BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO=AB2-OB2=52-32=4，
∴AE=2AO=8．
故选C．
10.解：由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA.
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故答案为：A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故答案为：B正确；
故答案为：D.
11.解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝ 32−22=5。
故答案为：D。
12.解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确， ∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B，
∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选：D．
13.解：由作图可知，MN垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠DAB=∠B=15°
∵∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°
在Rt△ADC中，∠ADC=30°
∴AD=2AC=2×1=2
故答案为：C
14.解：①根据作图过程可知AD是∠BAC的角平分线，①正确；②如图，在△ABC中，
∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝ 12 ∠CAB＝30°，∴∠3＝90°－∠2＝60°，即∠ADC＝60°，②正确；③∵∠1＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，③正确；④如图，
∵在直角△ACD中∠2＝30°，
∴CD＝ 12 AD，
∴BC＝CD＋BD＝ 12 AD＋AD＝ 32 AD，S△DAC＝ 12 AC∙CD＝ 14 AC∙AD.
∴S△ABC＝ 12 AC∙BC＝ 12 AC∙ 32 AD＝ 34 AC∙AD，
∴S△DAC：S△ABC＝ 14 AC∙AD： 34 AC∙AD＝1:3，④正确.
故答案为：D.
15.解：由作图知，AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，AD=4，tan∠BAD= BDAD = BD4 = 34 ，
∴BD=3，
∵BC=5，
∴CD=BC﹣BD=2，
在Rt△ADC中，AC= AD2+CD2 =2 5 ，
故选D．
二、填空题
16.∴AE=CE ，
∵△CDE 的周长为 11 ，
∴CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=11 ，
则▱ ABCD 的周长是 2×11=22 ，
故答案为：22.
17.过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴BC2+AC2=AB2 ，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO=OG= 3+4−52 =1，
∴CO= 2 ．
故答案为： 2 ．
18.解：∵AB＝3，AC＝5，∠B＝90°，
∴CB＝ 52−32 ＝4，
根据作图方法可得EM是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
设BE＝x，则AE＝4﹣x，
∵AB2+BE2＝AE2 ，
∴32+x2＝（4﹣x）2 ，
解得：x＝ 78 ，
故答案为： 78 ．
19.解：由作图可知：AH是∠DAB的平分线，EF是CB的垂直平分线．∵ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，∴∠DHA=∠HAB．∵AH是∠DAB的平分线，∴∠DAH=∠HAB，∴∠DAH=∠DHA，∴DH=AD=4．∵EF是CB的垂直平分线，∴EF∥DC，ED=AE，∴AG=GH，∴EG是△DAG的中位线，∴EG= 12 DH=2，∴EF∥DC，DE∥CF，∴DEFC是平行四边形，∴EF=DC=AB=6，∴GF=6－2=4．故答案为：4．
20.解：由作图可知，EF垂直平分AB，即DC是直角三角形ABC斜边上的中线，
故DC= 12 AB= 12BC2+AC2 = 12 ×15= 152 ．
故答案为： 152 ．
21.解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8， ∴AC= 62+82 =10．
∵由作法可知，PD是线段BC的垂直平分线，
∴PD⊥BC，
∴AB∥DE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴BE= 12 AC=5，
∴△ABE的周长=AE+BE+AB=5+5+6=16．
故答案为：16．
22.解：结合作图的过程知： BP 平分 ∠ABD ，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴ 点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为 3 。
故答案为： 3 。
23.解：由作法得 BD 平分 ∠ABC ，
∵ ∠C=90∘ ， ∠A=30∘ ，
∴ ∠ABC=60° ，
∴ ∠ABD=∠CBD=30° ，
∴ DA=DB ，
在 RtΔBCD 中， BD=2CD ，
∴ AD=2CD ，
∴ SΔBCDSΔABD=12 。
故答案为： 12。
24.连接AE，
根据题意可知MN垂直平分AC
∴AE=CE=3
在Rt△ADE中，AD2=AE2-DE2
AD2=9-4=5
∵AC2=AD2+DC2
AC2=5+25=30
∴AC=
25.解：由作法得AD⊥ON于F，
∴∠AOF=90°．∵OP平分∠MON，
∴∠EOF= 12 ∠MON= 12 ×60°=30°．
在Rt△OEF中，OF= 3 EF= 3 ．
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，
∴OA=2OF=2 3 ．
故答案为：2 3 ．
三、解答题
26.解：①如图所示，△A'B′C′即为所求；
②已知，如图，△ABC∽△A'B'C'， A′B′AB = B′C′BC = A′C′AC =k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
求证： C′D′CD =k．
证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD= 12 AB，A'D'= 12 A'B'，
∴= 12A′B′12AB = A′B′AB ，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴ A′B′AB = A′C′AC ，∠A'=∠A，
∵ A′D′AD = A′C′AC ，∠A'=∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴ C′D′CD = A′C′AC =k．
27.解：（Ⅰ）在△AEB和△AEF中，
{AB=AFBE=FEAE=AE ，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）如图，连结BF，交AE于G．
∵菱形ABEF的周长为16，AE=4 3 ，
∴AB=BE=EF=AF=4，AG= 12 AE=2 3 ，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．
在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，
∴cos∠BAG= AGAB = 234 = 32 ，
∴∠BAG=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAF=60°．
28. （1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC =12 ∠ABC＝75°，DC∥AB ， ∠A＝∠C ，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB ，
∴AF＝FB ，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°
29. （1）解：如图，线段CD即为所求．
（2）解：连接BD，OC交于点E，设OE=x．
∵ AB 是直径，
∴ ∠ACB=90° ，
∴ BC=AB2+AC2=102−82=6 ，
∵ BC=CD ，
∴ BC=CD ，
∴ OC⊥BD ，BE=DE，
∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2
∴ 62−(5−x)2=52−x2 ，解得： x=75 ，
∵BO=OA，BE=DE
∴ OE 为 ΔABD 的中位线，
∴ AD=2OE=2x=145 ，
∴四边形 ABCD 的周长为： AB+BC+CD+DA=10+6+6+145=1245 .
30. （1）解：如图，DE为所作；
（2）解：∵CD平分 ∠ACB ，
∴∠BCD＝12∠ACB＝45∘ ，
∵DE⊥BC，
∴ΔCDE 为等腰直角三角形，
∴DE＝CE，
∵DE//AC
∴ΔBDE∽ΔBAC ，
∴DEAC=BEBC ，即 DE2=3−DE3 ，
∴DE=65
31. （1）解：如图所示：
（2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ AE=EC ， ∠CAB=∠ACE=30° ，
∴ ∠ECB=60° ，
∴ ∠CEB=30° ，
∵ BC=4 ，
∴ BE=BC·tan∠CEB=4×33=433
32.（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）相切
（4）解：∵AC=5，BC=12，
∴AD=5，AB= =13，
∴DB=AB﹣AD=13﹣5=8，
设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12﹣x）
x2+82=（12﹣x）2 ，
解得：x= ．
答：⊙O的半径为
解：（3）AB与⊙O的位置关系是相切．
∵AO是∠BAC的平分线，
∴DO=CO，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AB与⊙O的位置关系是相切；
33.（1）解：如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵∠EBF=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AO⊥BE，
∴BO=EO，
∵在△ABO和△FBO中，
，
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO=FO，
∵AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，
∴四边形ABFE为菱形
34.（1）解：①如图所示：
②如图所示：
③如图所示：
（2）解：四边形ABCD是矩形， 理由：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC边上的中线，
∴BO= AC，
∵BO=DO，AO=CO，
∴AO=CO=BO=DO，
∴四边形ABCD是矩形
35.（1）解：如图所示： BD即为所求；
（2）解：∵∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，∴∠CDB=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，∴AD=DB，BD=BC，∴△ABD和△BDC都是等腰三角形．
一、选择题
1.通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，在 ▱ABCD 中， AB=2 ， BC=3 .以点 C 为圆心，适当长为半径画弧，交 BC 于点 P ，交 CD 于点 Q ，再分别以点 P ， Q 为圆心，大于 12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点 N ，射线 CN 交 BA 的延长线于点 E ，则 AE 的长是（ ）
A. 12 B. 1 C. 65 D. 32
3.如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
作法：
①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；
②分别以D，E为圆心，大于 12 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；
③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．
A. ASA B. SAS C. SSS D. AAS
4.如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
5.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED= 12 AB中，一定正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
6.观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A. PQ为∠APB的平分线 B. PA=PB C. 点A、B到PQ的距离不相等 D. ∠APQ=∠BPQ
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A. AD=BD B. BD=CD C. ∠A=∠BED D. ∠ECD=∠EDC
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9.如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于 12 BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF.下列结论中不一定成立的是（ ）
A. BE＝EF B. EF∥CD C. AE平分∠BEF D. AB＝AE
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于 12 BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E.若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 5
12.如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠DAE=∠B B. ∠EAC=∠C C. AE∥BC D. ∠DAE=∠EAC
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AC=1，分别以点A，B为圆心，大于 12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为( )
A. 1.5 B. 3 C. 2 D. 5
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于 12 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ACB=1：3．其中正确的有（ ）
A. 只有①②③ B. 只有①②④ C. 只有①③④ D. ①②③④
15.如图，已知锐角三角形ABC，以点A为圆心，AC为半径画弧与BC交于点E，分别以点E、C为圆心，以大于 12 EC的长为半径画弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D．若BC=5，AD=4，tan∠BAD= 34 ，则AC的长为（ ）
A. 3 B. 5 C. 5 D. 2 5
二、填空题
16.如图， ▱ABCD 中， AD>CD ，按下列步骤作图：①分别以点A、C为圆心，大于 12AC 的长为半径画弧，两弧的交点分别为点F、G；②过点F、G作直线FG，交边AD于点E，若 △CDE 的周长为11，则 ▱ABCD 的周长为________.
17.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于 12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝________.
18.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A、C为圆心，大于 12 AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交AC、BC于点D、E，连结AE，若AB＝3，AC＝5，则BE的长为________．
19.如图，在矩形ABCD中，AB=6，若AD=4，由作图痕迹可得GF=________．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，AC=12．分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF交AB于点D，连结CD．则CD的长为________．
21.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE．若AB=6，BC=8，则△ABE的周长为________．
22.如图， BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF ，使 BE＝BF ；分别以 E,F 为圆心，以大于 12EF 的长为半径作弧，两弧在 ∠ABD 内交于点 G ，作射线 BG 交 AD 于点 P ，若 AP=3 ，则点 P 到 BD 的距离为________.
23.如图，在 RtΔABC 中， ∠C=900 ，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB,BC 于点 M,N ，再分别以点 M,N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作射线 BP 交 AC 于点 D .若 ∠A=30∘ ，则 SΔBCDSΔABD= ________.
24.如图，在矩形 ABMN 中，按以下步骤作图：①分别以点 A 和 C 为圆心，以大于 12A 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N ；②作直线 MN 交 CD 于点 E .若 DE=2 ， CE=3 ，则矩形的对角线 AC 的长为________．
25.如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于 12 BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=________．
三、解答题
26.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：
①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
27.如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 12 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．
（Ⅰ）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 3 ，求∠C的大小．
28.如图， BD 是菱形 ABCD 的对角线， ∠CBD=75° ，
（1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF ，垂足为 E ，交 AD 于 F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 BF ，求 ∠DBF 的度数．
29.如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC。
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长。
30.如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3 ．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作 ∠ACB 的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
31.如图，四边形 ABCD 是矩形．
（1）用尺规作线段 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 E ，交 CD 于点 F （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 BC=4 ， ∠BAC=30° ，求 BE 的长．
32.实践操作
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；
（2）以O为圆心，OC为半径作圆．
（3）在你所作的图中，AB与⊙O的位置关系是________；（直接写出答案）
（4）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．
33.如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．
34.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母） ①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；
③连接DA、DC
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
35.已知等腰△ABC的顶角∠A=36°（如图）．
（1）作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加墨）；
（2）通过计算说明△ABD和△BDC都是等腰三角形．
答案
一、选择题
1.解：A.A图所作的是BC的垂直平分线，则D是BC的中点，故A符合题意；
B.B图所作的是AB的垂直平分线，则BD=AD，BD和CD不一定相等，故D不是BC的中点，故B不符合题意；
C.所作的是∠BAC的角平分线，故D不一定是BC的中点，故C不符合题意；
D.所作的是BC边的垂线，故D不符合题意。
故答案为：A
2.解：由射线CN的尺规作图的方法可知CN是∠BCD的平分线，则∠BCN=∠DCN．
在□ABCD中，AB∥CD，∴∠E=∠DCN=∠BCN，
∴BE=BC=3，
∴AE=BE-AB=3-2=1.
故答案为：B.
3.解：如图，连接EC、DC．
根据作图的过程知，
在△EOC与△DOC中，
{OE=ODOC=OCCE=CD ，
△EOC≌△DOC（SSS）．
故选：C．
4.解：∵分别以A和B为圆心，大于 12 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
5.解：根据作图过程可知：PB=CP，
∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，
∴①ED⊥BC正确；
∵∠ABC=90°，
∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，
∴EC=EA，
∵EB=EC，
∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED= 12 AB正确，
故正确的有①②④，
故选：B．
6.解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，
∴A，B，D正确；
∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB，
∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．
故选C．
7.解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠BDE=90°；
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD；
∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，
∴∠A=∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故选：D．
8.解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴BDCD=BEAE，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴63=BE4，
∴BE=8，
故选D．
9.连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=12BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO=AB2-OB2=52-32=4，
∴AE=2AO=8．
故选C．
10.解：由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA.
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故答案为：A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故答案为：B正确；
故答案为：D.
11.解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝ 32−22=5。
故答案为：D。
12.解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确， ∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B，
∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选：D．
13.解：由作图可知，MN垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠DAB=∠B=15°
∵∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°
在Rt△ADC中，∠ADC=30°
∴AD=2AC=2×1=2
故答案为：C
14.解：①根据作图过程可知AD是∠BAC的角平分线，①正确；②如图，在△ABC中，
∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝ 12 ∠CAB＝30°，∴∠3＝90°－∠2＝60°，即∠ADC＝60°，②正确；③∵∠1＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，③正确；④如图，
∵在直角△ACD中∠2＝30°，
∴CD＝ 12 AD，
∴BC＝CD＋BD＝ 12 AD＋AD＝ 32 AD，S△DAC＝ 12 AC∙CD＝ 14 AC∙AD.
∴S△ABC＝ 12 AC∙BC＝ 12 AC∙ 32 AD＝ 34 AC∙AD，
∴S△DAC：S△ABC＝ 14 AC∙AD： 34 AC∙AD＝1:3，④正确.
故答案为：D.
15.解：由作图知，AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，AD=4，tan∠BAD= BDAD = BD4 = 34 ，
∴BD=3，
∵BC=5，
∴CD=BC﹣BD=2，
在Rt△ADC中，AC= AD2+CD2 =2 5 ，
故选D．
二、填空题
16.∴AE=CE ，
∵△CDE 的周长为 11 ，
∴CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=11 ，
则▱ ABCD 的周长是 2×11=22 ，
故答案为：22.
17.过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴BC2+AC2=AB2 ，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO=OG= 3+4−52 =1，
∴CO= 2 ．
故答案为： 2 ．
18.解：∵AB＝3，AC＝5，∠B＝90°，
∴CB＝ 52−32 ＝4，
根据作图方法可得EM是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
设BE＝x，则AE＝4﹣x，
∵AB2+BE2＝AE2 ，
∴32+x2＝（4﹣x）2 ，
解得：x＝ 78 ，
故答案为： 78 ．
19.解：由作图可知：AH是∠DAB的平分线，EF是CB的垂直平分线．∵ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，∴∠DHA=∠HAB．∵AH是∠DAB的平分线，∴∠DAH=∠HAB，∴∠DAH=∠DHA，∴DH=AD=4．∵EF是CB的垂直平分线，∴EF∥DC，ED=AE，∴AG=GH，∴EG是△DAG的中位线，∴EG= 12 DH=2，∴EF∥DC，DE∥CF，∴DEFC是平行四边形，∴EF=DC=AB=6，∴GF=6－2=4．故答案为：4．
20.解：由作图可知，EF垂直平分AB，即DC是直角三角形ABC斜边上的中线，
故DC= 12 AB= 12BC2+AC2 = 12 ×15= 152 ．
故答案为： 152 ．
21.解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8， ∴AC= 62+82 =10．
∵由作法可知，PD是线段BC的垂直平分线，
∴PD⊥BC，
∴AB∥DE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴BE= 12 AC=5，
∴△ABE的周长=AE+BE+AB=5+5+6=16．
故答案为：16．
22.解：结合作图的过程知： BP 平分 ∠ABD ，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴ 点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为 3 。
故答案为： 3 。
23.解：由作法得 BD 平分 ∠ABC ，
∵ ∠C=90∘ ， ∠A=30∘ ，
∴ ∠ABC=60° ，
∴ ∠ABD=∠CBD=30° ，
∴ DA=DB ，
在 RtΔBCD 中， BD=2CD ，
∴ AD=2CD ，
∴ SΔBCDSΔABD=12 。
故答案为： 12。
24.连接AE，
根据题意可知MN垂直平分AC
∴AE=CE=3
在Rt△ADE中，AD2=AE2-DE2
AD2=9-4=5
∵AC2=AD2+DC2
AC2=5+25=30
∴AC=
25.解：由作法得AD⊥ON于F，
∴∠AOF=90°．∵OP平分∠MON，
∴∠EOF= 12 ∠MON= 12 ×60°=30°．
在Rt△OEF中，OF= 3 EF= 3 ．
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，
∴OA=2OF=2 3 ．
故答案为：2 3 ．
三、解答题
26.解：①如图所示，△A'B′C′即为所求；
②已知，如图，△ABC∽△A'B'C'， A′B′AB = B′C′BC = A′C′AC =k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
求证： C′D′CD =k．
证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD= 12 AB，A'D'= 12 A'B'，
∴= 12A′B′12AB = A′B′AB ，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴ A′B′AB = A′C′AC ，∠A'=∠A，
∵ A′D′AD = A′C′AC ，∠A'=∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴ C′D′CD = A′C′AC =k．
27.解：（Ⅰ）在△AEB和△AEF中，
{AB=AFBE=FEAE=AE ，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）如图，连结BF，交AE于G．
∵菱形ABEF的周长为16，AE=4 3 ，
∴AB=BE=EF=AF=4，AG= 12 AE=2 3 ，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．
在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，
∴cos∠BAG= AGAB = 234 = 32 ，
∴∠BAG=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAF=60°．
28. （1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC =12 ∠ABC＝75°，DC∥AB ， ∠A＝∠C ，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB ，
∴AF＝FB ，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°
29. （1）解：如图，线段CD即为所求．
（2）解：连接BD，OC交于点E，设OE=x．
∵ AB 是直径，
∴ ∠ACB=90° ，
∴ BC=AB2+AC2=102−82=6 ，
∵ BC=CD ，
∴ BC=CD ，
∴ OC⊥BD ，BE=DE，
∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2
∴ 62−(5−x)2=52−x2 ，解得： x=75 ，
∵BO=OA，BE=DE
∴ OE 为 ΔABD 的中位线，
∴ AD=2OE=2x=145 ，
∴四边形 ABCD 的周长为： AB+BC+CD+DA=10+6+6+145=1245 .
30. （1）解：如图，DE为所作；
（2）解：∵CD平分 ∠ACB ，
∴∠BCD＝12∠ACB＝45∘ ，
∵DE⊥BC，
∴ΔCDE 为等腰直角三角形，
∴DE＝CE，
∵DE//AC
∴ΔBDE∽ΔBAC ，
∴DEAC=BEBC ，即 DE2=3−DE3 ，
∴DE=65
31. （1）解：如图所示：
（2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ AE=EC ， ∠CAB=∠ACE=30° ，
∴ ∠ECB=60° ，
∴ ∠CEB=30° ，
∵ BC=4 ，
∴ BE=BC·tan∠CEB=4×33=433
32.（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）相切
（4）解：∵AC=5，BC=12，
∴AD=5，AB= =13，
∴DB=AB﹣AD=13﹣5=8，
设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12﹣x）
x2+82=（12﹣x）2 ，
解得：x= ．
答：⊙O的半径为
解：（3）AB与⊙O的位置关系是相切．
∵AO是∠BAC的平分线，
∴DO=CO，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AB与⊙O的位置关系是相切；
33.（1）解：如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵∠EBF=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AO⊥BE，
∴BO=EO，
∵在△ABO和△FBO中，
，
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO=FO，
∵AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，
∴四边形ABFE为菱形
34.（1）解：①如图所示：
②如图所示：
③如图所示：
（2）解：四边形ABCD是矩形， 理由：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC边上的中线，
∴BO= AC，
∵BO=DO，AO=CO，
∴AO=CO=BO=DO，
∴四边形ABCD是矩形
35.（1）解：如图所示： BD即为所求；
（2）解：∵∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，∴∠CDB=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，∴AD=DB，BD=BC，∴△ABD和△BDC都是等腰三角形．
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