初中数学九年级竞赛讲义：第11讲-双曲线
展开第十一讲 双曲线
形如()的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有：
1． 双曲线解析式中的系数决定图象的大致位置及随变化的状况．
2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在>0时函数的图象关于直线轴对称；在<0时函数的图象关于直线轴对称．
3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．
【例题求解】
【例1】 已知反比例函数的图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数的函数值随的增大而 (填增大或减小)．
思路点拨 确定的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．
注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．
(2)一个常用命题：
如图，设点A是反比例函数()的图象上一点，过A作AB⊥轴于B，过A作AC⊥轴于C，则
①S△AOB=；
②S矩形OBAC=．
【例2】 如图，正比例函数 ()与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作AB⊥轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则( )
A．S=1 B．S =2 C．S= D．S=
思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系．
【例3】 如图，已知一次函数和反比例函数()的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
(1)求实数的取值范围；
(2)若△AOB面积S＝24，求的值．
(2003年荆门市中考题)
思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；
(2)S△AOB= S△COB S- S△COA，建立的方程．
【例4】 如图，直线分别交、轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴于B，S△ABP=9．
(1)求点P的坐标；
(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
思路点拨 (1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．
【例5】 如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C在轴上， 点B在函数 (，)的图象上，点P(，)是函数 (，)的图象上的任意一点，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
(1)求B点坐标和的值；
(2)当时，求点P的坐标；
(3)写出S关于m的函数关系式．
思路点拨 把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含的代数式表示，解题的关键是双曲线关于对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．
注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件
的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)，解方程(组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．
学历训练
1． 若一次函数的图象如图所示，则抛物线的对称轴位于y轴的
侧；反比例函数的图象在第 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ．
2．反比例函数的图象经过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程的两个根，则A点坐标为 ．
3．如图：函数（≠0）与的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥轴，垂足为点C，则△BOC的面积为 ．
4．已知，点P(n，2n)是第一象限的点，下面四个命题：
(1)点P关于y轴对称的点P1的坐标是(n，-2n)； (2)点P到原点O的距离是n；(3)直线 y=-nx+2n不经过第三象限；(4)对于函数y=，当x＜0时,y随x的增大而减小；其中真命题是 .(填上所有真命题的序号)
5．已知反比例函数y=的图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2 ,则m的取值范围是( )
A．m＜O B．m＞0 C. m＜ D.m＞
6．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为( )
7．已知反比例函数当时，y 随x的增大面增大，那么一次函数的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
8．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥轴于C，BD⊥轴于D，如果四边形ACBD的面积为S，那么( )
A． S＝1 B．1<S<2 C．S>2 D．S＝2
9．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠O)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=(m≠0)的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=l．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
10．已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直线与双曲线 ()的两个不同交点．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在这样的值，使得?若存在，求出这样的值；若不存在，请说明理由．
11．已知反比例函数和一次函数y＝2x-1，其中一次函数图像经过(a，b)，(a+1，b+k)两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A点坐标；
(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使ΔAOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
12．反比例函数的图象上有一点P(m，n)，其中m、n是关于t的一元二次方程的两根，且P到原点O的距离为，则该反比例函数的解析式为 ．
13．如图，正比例函数的图象与反比例函数 ()的图象交于点A，若取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20= ．
14．老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数图像不经过第三象限；
乙：函数图像经过第一象限；
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；
丁：当x＜2时，y＞0
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： ．
15．已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点P(m，2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与轴平行，且A、B的横坐标分别为和，求的值．
16．如图，直线经过A(1，0)，B(0，1)两点，点P是双曲线()上任意一点，PM⊥轴，PN⊥轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．
(1) 求证：AF×BE＝1；
(2)若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．
(2003年江汉油田中考题)
17．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，其中x>0，y>0．
(1)求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；
(2)用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：
方法：∵ (k为常数且k>0，a≠0)，且
∴．．
∴当=0，即时，取得最小值2k．
问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小?并求出S的最小值；
(3)如果直线y=mx+2(m<0)与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与(2)中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
