2022年全国各地自招数学好题汇编之专题03 代数方程（word版含答案）

这是一份2022年全国各地自招数学好题汇编之专题03 代数方程（word版含答案），共15页。

专题03 代数方程
一．选择题（共10小题）
1．（2020•南岸区自主招生）2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．若设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（　　）
A．＝×（1﹣10%） B．×（1﹣10%）＝
C．＝×（1﹣10%） D．×（1﹣10%）＝
2．（2019•柯桥区自主招生）方程组的所有整数解的组数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2019•南浔区校级自主招生）已知a是实数，则以下式子一定正确的是（　　）
A．＝a
B．a3＞a2
C．（）2＝a
D．关于a 的方程＝a的实数解是±1
4．（2019•顺庆区校级自主招生）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（　　）
A．2 B．1 C．k≠2且k≠一2 D．无法确定
5．（2018•青羊区自主招生）已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0．则（　　）
A．x0、y0均为偶数 B．x0、y0均为奇数
C．x0是偶数，y0是奇数 D．x0是奇数，y0是偶数
6．（2013•青羊区校级自主招生）方程+＝1的实数根的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2013•日照）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2020•浙江自主招生）方程的解的情况是（　　）
A．无解 B．恰有一解
C．恰有两个解 D．有无穷多个解
9．（2017•青羊区自主招生）关于x的方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．只有一个正根 B．有三个正根
C．有两个正根，一个负根 D．有一个正根，两个负根
10．（2016•深圳）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A．﹣＝2 B．﹣＝2
C．﹣＝2 D．﹣＝2
二．填空题（共7小题）
11．（2021•黄州区校级自主招生）黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑，小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒　 　米．
12．（2020•浙江自主招生）若方程x2﹣3x+1＝0的根也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，则a+b+2c＝　 　．
13．（2020•浙江自主招生）方程组的解是 　 　．
14．（2020•浙江自主招生）若关于x方程x3﹣3x2+2x+m（x﹣1）＝0的三个实根可以作为三角形的三边长，则实数m的取值范围是　 　．
15．（2019•武侯区校级自主招生）已知关于x的方程恰好有两个实数解，则m的取值范围为　 　．
16．（2018•温江区校级自主招生）若4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1＝0，则sin18°＝　 　．
17．（2018•浦东新区校级自主招生）关于x、y的方程组有　 　组解．
三．解答题（共5小题）
18．（2020•渝中区校级自主招生）2020年2月，因新冠肺炎确诊病例不断增加，湖北某医疗救治中心计划购买一批无创呼吸机和双向呼吸机，两款共200台，预算分别为56万元和156万元．已知每台双向呼吸机的售价是每台无创呼吸机售价的2倍少1000元．
（1）求该救治中心计划分别购进无创呼吸机和双向呼吸机各多少台？
（2）为了表达对湖北疫区人民支持，呼吸机生产厂家立即对两款呼吸机均进行打折零利润销售，实际售价均在原售价的基础上下降了a%，根据救治中心一线医护人员的实际需求，双向呼吸机的实际购买量比原计划增加了a%，结果购买双向呼吸机比购买无创呼吸机多花费了90.4万元，求a的值．
19．（2019•镜湖区自主招生）解下列方程（组）
（1）（2019﹣x）3+（x﹣2018）3＝1；
（2）．
20．（2019•徐汇区校级自主招生）已知a＞1，解方程：＝x．
21．（2019•青羊区校级自主招生）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．
（2）解方程：．
22．（2017•萧山区校级自主招生）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone4手机二月售价比一月每台降价500元．如果卖出相同数量的Iphone4手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元．
（1）一月Iphone4手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone4s手机销售，已知Iphone4每台进价为3500元，Iphone4s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）该店计划4月对Iphone4的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone4手机再返还顾客现金a元，而Iphone4s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？

专题03 代数方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：由题意可得，
×（1﹣10%），
故选：A．
2．【解答】解：∵，
∴y＝1或 或，
①当y＝1时，
∵x+y＝1，
∴x＝0，
∴；
②当x2+3x+2＝0 时，
（x+2）（x+1）＝0，
解得x＝﹣2或x＝﹣1，
当x＝﹣2时，
﹣2+y＝1，
∴y＝3，
当x＝﹣1时，
﹣1+y＝1，
∴y＝2，
所以或；
③当y＝﹣1时，﹣1+x＝1，
∴x＝2，
此时 x2+3x+2＝4+6+2＝12，
∴符合题意，
综上所述所有整数解的组数为4，
故选：C．
3．【解答】解：A、＝|a|，所以A选项错误；
B、当a＝﹣1时，a3＝﹣1，a2＝1，则a3＜a2，所以B选项错误；
C、（）2＝a，所以C选项正确；
D、当a＝﹣1时，≠a，所以D选项错误．
故选：C．
4．【解答】解：去分母得，x（x+1）﹣k＝x（x﹣1），
解得x＝k，
∵方程不会产生增根，
∴x≠±1，
∴k≠±1，
即k≠±2．
故选：C．
5．【解答】解：方程有整数解x0、y0，
∴2018x0+3y02＝m，13x0+28y0＝m
∵x0、y0为整数，
∴2018x0为偶数，28y0为偶数，
∵n是奇数，m是偶数，
∴3y02是奇数，13x0为偶数，
∴y0是奇数，x0为偶数，
故选：C．
6．【解答】解：原方程可变形为+＝1，
设＝y，则x+2＝y2
∴+＝1
即+＝1，
∴|y﹣3|+|y﹣5|＝1
①当0≤y＜3时，
3﹣y+（5﹣y）＝1，
解得y＝，
由于y的值不在当y＜3的范围内，不合题意．
②当3≤y＜5时
y﹣3+5﹣y＝1，此时方程无解；
③当y≥5时，
y﹣3+y﹣5＝1，
解得y＝，
由于y的值不在当y≥5的范围内，不合题意．
综上原方程无解．
故选：A．
7．【解答】解：方法1、设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲的工效都为：，
由于甲、乙两人工效相同，则乙的工效为
甲前两个工作日完成了，剩余的工作量甲完成了，
乙在甲工作两个工作日后完成了，
则+＝1，
解得x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解．
故选：A．
方法2、设甲志愿者计划完成此项工作需a天，则一天完成工作总量的，
由于甲、乙两人工效相同，则乙的一天完成工作总量的，
甲实际工作了（a﹣3）天，乙比甲少工作两天，实际工作了（a﹣5）天，
即用甲的工作量加乙的工作量＝1，建立方程×（a﹣3）+×（a﹣5）＝1，
∴a＝8，
故选：A．
8．【解答】解：将方程变形为…①，
若，则①成为，即，得x＝10；
若，则①成为，即，得x＝5；
若，即5＜x＜10时，则①成为，即1＝1，这是一个恒等式，满足5＜x＜10的任何x都是方程的解，
结合以上讨论，可知，方程的解是满足5≤x≤10的一切实数，即有无穷多个解．
故选：D．
9．【解答】解：关于x的方程x3﹣x2﹣2x+1＝0变形为x2﹣x﹣2＝﹣，
在坐标系中画出函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的图象如图：
，
由图象可知，函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的交点在第三象限一个，第四象限两个，
∴关于x的方程x3﹣x2﹣2x+1＝0有两个正根，一个负根，
故选：C．
10．【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，
根据题意，可列方程：﹣＝2，
故选：A．
二．填空题（共7小题）
11．【解答】解：设小林跑步的速度为x米/秒，则小雨跑步的速度为（x﹣）米/秒，
依题意，得：﹣＝10，
解得：x1＝﹣，x2＝5，
经检验，x1＝﹣，x2＝5均为原分式方程的解，x＝5符合题意．
故答案为：5．
12．【解答】解：设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则m2﹣3m+1＝0，所以m2＝3m﹣1．
由题意，m也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，所以m4+am2+bm+c＝0，
把m2＝3m﹣1代入此式，得（3m﹣1）2+am2+bm+c＝0，整理得（9+a）m2+（﹣6+b）m+c+1＝0．
从而可知：方程x2﹣3x+1＝0的两根也是方程（9+a）x2+（﹣6+b）x+c+1＝0的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（9+a）x2+（﹣6+b）x+c+1＝k（x2﹣3x+1）（其中k为常数），
所以9+a＝k，﹣6+b＝﹣3k，c+1＝k．
所以a＝k﹣9，b＝﹣3k+6，c＝k﹣1，
因此，a+b﹣2c＝k﹣9+（﹣3k+6）+（2k﹣1）＝﹣5．
故答案为﹣5．
13．【解答】解：设x+1＝a，y﹣1＝b，则原方程可变为，
由②式又可变化为＝26，
把①式代入得＝13，这又可以变形为（+）2﹣3＝13，
再代入又得﹣3＝9，
解得ab＝﹣27，
又因为a+b＝26，
所以解这个方程组得或，
于是（1），解得；
（2），解得．
故答案为，．
14．【解答】解：由原方程变形可得：（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0，
∴方程的三个实根中其中一根满足x1＝1，
由x2﹣2x+m＝0，得△＝4﹣4m≥0，
设方程两根为x2，x3，
则x2+x3＝2，x2•x3＝m，
若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，
则，
由|x2﹣x3|＝＝＜1可得m＞，
解得：＜m≤1，
故答案为：＜m≤1．
15．【解答】解：令y＝﹣+2
＝﹣+2
＝|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|
＝，
画函数图象如图，要使原方程恰好有两个实数解，
则y＝﹣+2与y＝m的图象恰好有两个不同的交点，
由函数图象知m＞1且m≠3，

故答案为m＞1且m≠3．
16．【解答】解：∵4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1＝0，
∴4sin318°﹣4sin18°﹣2sin218°+sin18°+1＝0，
∴4sin18°（sin218°﹣1）﹣（2sin218°﹣sin18°﹣1）＝0，
4sin18°（sin18°﹣1）（sin18°+1）﹣（2sin18°+1）（sin18°﹣1）＝0，
（sin18°﹣1）（4sin218°+2sin18°﹣1）＝0，
∵sin18°﹣1≠0，
∴4sin218°+2sin18°﹣1＝0，
∴sin18＝，（负值舍去），
故答案为：．
17．【解答】解：把y＝1两边平方得到y2•x＝1，则x＝y﹣2，
把x＝y﹣2代入方程xx﹣y＝yx+y得y﹣2（x﹣y）＝yx+y，
当y＝1时，x＝1，
当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，
∴＝，解得y＝，
∴x＝．
经检验方程组的解为或．
故答案为2．
三．解答题（共5小题）
18．【解答】解：（1）设无创呼吸机售价x元，则双向呼吸机售价（2x﹣1000）台，
依题意得：+＝200，
整理得：x2﹣7200x+1400000＝0，
解得：x1＝200，x2＝7000．
经检验，x1＝200，x2＝7000都是原方程的解．
∵x元，2x﹣1000＞0，
∴x＝7000，
560000÷7000＝80（台），1560000÷（2×7000﹣1000）＝120（台），
答：该救治中心计划分别购进无创呼吸机80台，购进双向呼吸机120台；
（2）依题意得：无创呼吸机实际售价7000（1﹣a%）元，双向呼吸机实际售价（2×7000﹣1000）（1﹣a%）＝1300（1﹣a%）元，
120（1+a%）×13000（1﹣a%）＝80×7000（1﹣a%）+904000，
整理得：﹣65a2+3300a﹣1300800＝0，
解得：a＝34.69（负值舍去）．
答：a的值为34.69．
19．【解答】解：（1）令m＝2019﹣x，n＝x﹣2018，
则，
由①得n＝1﹣m，
代入②得m3+（1﹣m）3＝1，
化简得m2﹣m＝0，
解得m＝0或m＝1，
∴2019﹣x＝0或2019﹣x＝1，
∴x＝2019或x＝2018；
（2）观察发现为一组解，
若x，y，z不为0，
则三式相加得，
∴且且，
解得，
综上，该方程组的解为或．
20．【解答】解：设y＝，则y2＝a+x①，
则原式变形为：＝x，
∴x2＝a﹣y②，
②﹣①得：x2﹣y2＝﹣y﹣x，
∴（x+y）（x﹣y+1）＝0，
∴x+y＝0或x﹣y+1＝0，
当x+y＝0时，
∵x≥0，y≥0，
∴x＝y＝0，
∴a＝0，此种情况不符合题意；
当x﹣y+1＝0时，代入①得：（x+1）2＝a+x，
解得：x＝，
∵x≥0，
∴x＝（a＞1），
∴原方程的解为：x＝（a＞1）．
21．【解答】解：
（1）
由已知可得a2+1＝﹣4a，
∴a4+1＝（a2+1）2﹣2a2＝14a2，
∴由原式可得，
∴m+14＝5（m﹣12）＝5m﹣60，
∴4m＝74，
∴，
经检验，m＝是分式方程的解．
（2）令
∴x2﹣3x＝t2﹣3，
∴原方程化为：x2+（x2﹣3x）+2xt＝1，
∴x2+t2﹣3+2xt＝1，
∴（x+t）2＝4，
∴x+t＝±2，
∴若x+t＝﹣2，则t2＝x2+4x+4＝x2﹣3x+3，解得：，
经检验，x＝﹣是增根，
若x+t＝2，则t2＝x2+4﹣4x＝x2﹣3x+3，解得x＝1，
经检验，x＝1是方程的解，
∴综上所述，x＝1是原方程的解．
22．【解答】解：（1）设一月Iphone4手机每台售价为x元，由题意得：
＝，
解得x＝4500．
经检验x＝4500是方程的解．
答：故一月Iphone4手机每台售价为4500元；

（2）设购进Iphone4手机m台，由题意得，
74000≤3500m+4000（20﹣m）≤76000，
解得：8≤m≤12．
∵m只能取整数，
∴m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案，
答：共有5种进货方案；

（3）二月Iphone4手机每台售价是：4500﹣500＝4000（元），
设总获利W元，则W＝（4000﹣3500﹣a）m+（4400﹣4000）（20﹣m）＝（100﹣a）m+8000．
100﹣a＝0，
解得：a＝100，
答：当a＝100时，（2）中所有的方案获利相同．