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    初中数学九年级竞赛讲义:第22讲-园幂定理
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    初中数学九年级竞赛讲义:第22讲-园幂定理

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    第二十二讲   园幂定理

         相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理.圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,其本质是与比例线段有关.

        相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系,主要体现在:

        1.用运动的观点看,切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形,即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况;

        2.从定理的证明方法看,都是由一对相似三角形得到的等积式.

    熟悉以下基本图形、基本结论:

     

     

     

     

     

    【例题求解】

    【例1】 如图,PTO于点TPAOAB两点,且与直径CT交于点DCD=2AD=3BD=6,则PB=           

                                                            

    思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长.

     

     

     

     

     

     

    注:比例线段是几何之中一个重要问题,比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程,大致经历了四个阶段:

       (1)平行线分线段对应成比例;

       (2)相似三角形对应边成比例;

     (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来;

       (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来.

     

    【例2】 如图,在平行四边形ABCD中,过ABC三点的圆交AD于点E,且与CD相切,若AB=4BE=5,则DE的长为(    )

       A3    B4    C   D

     

    思路点拨  ACCE,由条件可得许多等线段,为切割线定理的运用创设条件.

     

     

     

     

     

     

     

    注:圆中线段的算,常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识通过代数化获解,加强对图形的分解,注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键.

     

    【例3  如图,ABC内接于OABO的直径,PA是过A点的直线,PAC=B

       (1)求证:PAO的切线;

       (2)如果弦CDABECD的延长线交PAFAC=8CEED=65,,AEBE=23,求AB的长和ECB的正切值.

     

      思路点拨  直径、切线对应着与圆相关的丰富知识.(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件;引入参数xk处理(2)问中的比例式,把相应线段用是的代数式表示,并寻找xk的关系,建立xk的方程.

     

     

     

     

     

     

    【例4】 如图,P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点,DPACBC分别交于点EEEG是过BFP三点圆的切线,G为切点,求证:EG=DE

                                                          

    思路点拨  由切割线定理得EG2=EF·EP,要证明EG=DE,只需证明DE2=EF·EP,这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明.

     

     

     

     

     

     

     

    注:圆中的许多问题,若图形中有适用圆幂定理的条件,则能化解问题的难度,而圆中线段等积式是转化问题的桥梁.

    需要注意的是,圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明,可拓展到平面几何各种类型的问题中. 

    【例5】 如图,以正方形ABCDAB边为直径,在正方形内部作半圆,圆心为ODF切半圆于点E,交AB的延长线于点FBF4

        求:(1)cosF的值;(2)BE的长.

                                                          

    思路点拨  解决本例的基础是:熟悉圆中常用辅助线的添法(OEAE);熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法.对于(1),先求出EFFO值;对于(2),从BE F∽△EAFRtAEB入手.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    注:当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形,善于分析图形是解与圆相关综合题的关键,分析图形可从以下方面入手:

        (1)多视点观察图形.如本例从D点看可用切线长定理,从F点看可用切割线定理.

        (2)多元素分析图形.图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形.

    (3)将以上分析组合,寻找联系. 

     

    学力训练

    1.如图,PTO的切线,T为切点,PBO的割线,交OAB两点,交弦CD于点M,已知CM=10MD=2PA=MB=4,则PT的长为           

     

    2.如图,PABPCDO的两条割线,若PA=5AB=7CD=11,则ACBD=    

    3.如图,ABO的直径,CAB延长线上的一点,CDO的切线,D为切点,过点BO的切线交CD于点F,若AB=CD=2,则CE=     

                                                         

     

     

     

     

     

    4.如图,在ABC中,C=90°AB=10AC=6,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为(    )

        A64      B32      C 36       D8

     

     

     

     

     

     

     

     

    5.如图,O的弦AB平分半径OC,交OCP点,已知PAPB的长分别为方程的两根,则此圆的直径为(    )

        A   B   C   D

                                                              

     

     

    6.如图,O的直径Ab垂直于弦CD,垂足为H,点PAC上一点(P不与AC两点重合),连结PCPDPAAD,点EAP的延长线上,PDAB交于点F,给出下列四个结论:CH2=AH·BHADACAD2=DF·DP④∠EPC=APD,其中正确的个数是(    )

        A1      B2        C3     D4

     

    7.如图,BC是半圆的直径,O为圆心,PBC延长线上一点,PA切半圆于点AADBC于点D

       (1)B=30°,问ABAP是否相等?请说明理由;

       (2)求证:PD·PO=PC·PB

       (3)BDDC=4l,且BC10,求PC的长.

                                                           

    8.如图,已知PAO于点A,割线PBCO于点BCPDAB于点DPDAO的延长线相交于点E,连CE并延长交O于点F,连AF

        (1)求证:PBD∽△PEC

        (2)AB=12tanEAF=,求O的半径的长.

                                                    

    9.如图,已知ABO的直径,PBO于点BPAO于点CPF分别交ABBCED,交OFG,且BEBD恰哈好是关于x的方程 (其中为实数)的两根.

     (1)求证:BE=BD(2)GE·EF=,求A的度数.

     

     

     

     

     

     

     

    10.如图,ABC中,C=90°OAB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB相交于点E,与AC相切于点D,已知AD=2AE=1,那么BC=       

                                                       

     

     

     

     

     

    11.如图,已知ABCD在同一个圆上,BC=CDACBD交于E,若AC=8CD=4,且线段BEED为正整数,则BD=    

     

     

     

    12.如图,P是半圆O的直径BC延长线上一点,PA切半圆于点AAHBCH,若PA=1PB+PC=(>2),则PH=(     )

    A  B   C    D

    13.如图,ABCO的内接正三角形,弦EF经过BC的中点D,且EFAB,若AB=2,则DE的长为(     )

    A      B    C   D1

    14.如图,已知ABO的直径,CO上一点,延长BCD,使CD=BCCEADEB

    EOFAFCEP,求证:PE=PC

                                                            

     

     

     

     

     

     

    15.已知:如图,ABCD为正方形,以D点为圆心,AD为半径的圆弧与以BC为直径的O相交于PC两点,连结ACAPCP,并延长CPAP分别交ABBCOEHF三点,连结OF

    (1)求证:AEP∽△CEA(2)判断线段ABOF的位置关系,并证明你的结论;

    (3)BH:HC                                          

    16.如图,PAPBO的两条切线,PEC是一条割线,DABPC的交点,若PE=2CD=1,求DE的长.

     

     

     

     

     

     

     

    17.如图,O的直径的长是关于x的二次方程(是整数)的最大整数根,PO外一点,过点PO 的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点BC是直线PBCO的交点,若PAPBPC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求PA+PB+PC  的值.                                         

     

     

     

     

     

     

     

    参考答案

     

     

     

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