初中数学九年级竞赛讲义：第25讲--辅助圆

第二十五讲   辅助圆

    在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．

而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：

  1．利用圆的定义添补辅助圆；

  2．作三角形的外接圆；

  3．运用四点共圆的判定方法：

  (1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．

  (2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．

  (3)若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆．  

  (4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．

【例题求解】

【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为             ．

思路点拨  连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．

注：圆具有丰富的性质：

(1)圆的对称性；

(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；

(3)与圆相关的角；

(4)圆中比例线段．

适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”． 

【例2】  如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于(    )

   A．6    B．7    C．12    D．16

思路点拨  作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．

注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．

【例3】   如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．  

思路点拨  先作出△ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等．

【例4】 如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D．求证：．

思路点拨  因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明．PA2=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D共圆，这样连OB，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．

注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．

【例5】如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．

思路点拨  经计算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．

  由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．

注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．

学力训练

1．如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14，则PB的长为              ．

2．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点Pl、P2，…P100，记（i=1，2，…100），则=                  ．

3．设△ABC三边上的高分别为AD、BE、CF，且其垂心H不与任一顶点重合，则由点A、B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有(    )

   A．3个    B．4个    C．5个    D．6个

4．如图，已知OA=OB=OC，且∠AOB=∠BOC，则∠ACB是∠BAC的(      )

      A．倍    B．是倍    C．    D．

5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P在线段AD上，满足条件的∠BPC=90°的点P的个数为(    )

    A．0       B．1       C．2  1      D．不小于3的整数

6．如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，S△ABC= 18，S△DEC=2，则COSC等于(    )

    A．3       B．       C．         D．

7．如图；已知H是△ABC三条高的交点，连结DF，DE，EF，求证：H是△DEF的内心．

8．如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC．

求证：(1)∠AHD=∠AHE；(2)                      

9．如图，已知在凸四边形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK，

10．如图，P是⊙O外一点，PA和PB是⊙O的切线，A，B为切点，P O与AB交于点M，过M任作⊙O的弦CD．求证：∠CPO=∠DPO．

11．如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O A、B两点，与ST交于点C．求证：

参考答案