【精品试题】高考数学一轮必刷题专题39 数学归纳法（含解析）

展开

考点39 数学归纳法
1．（甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学理）用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）
A． B．
C． D．
2．（河南省豫南九校2017-2018学年下学期高二第二次联考理）用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（）
A． B．
C． D．
3．（安徽省马鞍山市2019届高三高考一模理）已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项
4．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试理）已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
5．（吉林省长春市2019届高三质量监测（四)数学理）已知数列满足：，点在直线上.
（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.
6．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列，，且对任意n恒成立．
（1）求证：(n)；
（2）求证：(n)．
7．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n，恒成立．
（1）如果，，成等差数列，求实数的值；
（2）已知＝1．①求证：数列是等差数列；②已知数列中，．数列是公比为q的等比数列，满足，，(i)．求证：q是整数，且数列中的任意一项都是数列中的项．
8．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）已知函数，．
（Ⅰ）若在上存在极大值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：，其中．
9．（广东省江门市2018年普通高中高三调研测试理）已知数列的前项和为，，.
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法给予证明.
10．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）已知函数，记为的导数，。
（1）求；
（2）猜想的表达式，并证明你的猜想。
11．（浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试数学试题（一）
(1)证明：；
(2)证明：()；
(3)证明：.
12．（浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二）
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)证明：()；
(Ⅲ)证明：.
13．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第七次模拟考试理）已知函数.
（1）当时，求函数的最值；
（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，设函数，数列满足，，求证：， .
14．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）（1）用数学归纳法证明：当时，
（，且，）；
（2）求的值.
15．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）设，正项数列的前项的积为，且，当时，都成立.
（1）若，，，求数列的前项和；
（2）若，，求数列的通项公式.
16．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）已知数列满足…．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
17．（2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试）已知数列满足： .
证明：当时，
（1）；
（2）；
（3）.
18．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.
（1）直接写出，，，的值；
（2）当时，试用，表示，并说明理由；
（3）试用数学归纳法证明：为奇数.
19．（江苏省苏州市2018届高三调研测试）在正整数集上定义函数，满足，且．
（1）求证：；
（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．

考点39 数学归纳法
1．（甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学理）用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．
故选：C．
2．（河南省豫南九校2017-2018学年下学期高二第二次联考理）用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
当时，不等式为；
当时，不等式为
，
即，
比较可得增加的项为．
故选C．
3．（安徽省马鞍山市2019届高三高考一模理）已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项
【答案】45
【解析】，可得，且；
则，即，
，即，
两式相除得：，则，
由，解得；
由，解得；

猜想，
用数学归纳法证明，
当时，，满足，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，满足，
故猜想成立，即.
，时，，
当，不满足，
故，
由，
当时，，
当时，，
当时，．
综上可得数列中最接近2019的是第45项．
故答案为：45．
4．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试理）已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
【答案】
【解析】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，猜想得，
故，下面用数学归纳法证明：
①，满足，
②假设时，结论成立，即，可得，
则，

，也满足，
结合①②可知，，故答案为．
5．（吉林省长春市2019届高三质量监测（四)数学理）已知数列满足：，点在直线上.
（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.
【答案】（Ⅰ）;.（Ⅱ）见解析.
【解析】解：（Ⅰ）因为点在直线上
所以，
因为，
故，
，
，
由上述结果，猜想：.
（Ⅱ），当时，成立，
，假设当时，成立，
那么，当时，成立，
由，可得.
6．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列，，且对任意n恒成立．
（1）求证：(n)；
（2）求证：(n)．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）①当时，
满足成立.
②假设当时，结论成立.即：成立
下证：当时，成立。
因为

即：当时，成立
由①、②可知，(n)成立。
（2）（ⅰ）当时，成立，
当时，成立，
（ⅱ）假设时（），结论正确，即：成立
下证：当时，成立.
因为
要证，
只需证
只需证：，
只需证：
即证：（）
记

当时，
所以在上递增，
又
所以，当时，恒成立。
即：当时，成立。
即：当时，恒成立.
所以当，恒成立.
由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数，不等式恒成立，命题得证.
7．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n，恒成立．
（1）如果，，成等差数列，求实数的值；
（2）已知＝1．①求证：数列是等差数列；②已知数列中，．数列是公比为q的等比数列，满足，，(i)．求证：q是整数，且数列中的任意一项都是数列中的项．
【答案】（1）
（2）①见解析②见解析
【解析】
（1）由题可得：当时，
两边同除以，可得：
因为，，成等差数列，所以
所以，解得：
（2）①由题可得：当时， …（Ⅰ）
用代上式中的，可得：
…（Ⅱ）
（Ⅱ）（Ⅰ）得：
上式两边同除以可得：
整理得：
整理得：
（ⅰ）由（1）得，当时，，，成等差数列，结论正确.
（ⅱ）假设时，结论正确。即：成等差数列，且公差为
下证时，成等差数列.
即证
又
.
所以成立.
由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的，数列是等差数列.
②由①得：数列是等差数列，公差为
所以，（）
又，，成等比数列，
所以，即：
整理得：
所以，所以是整数
数列中的任意一项
令，则
整理得：，整理得：
又

所以
解得：
即：存在，使得：成立
所以数列中的任意一项都是数列中的项．
8．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）已知函数，．
（Ⅰ）若在上存在极大值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：，其中．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
解：（Ⅰ）由于，
则①当时，，
即当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故在处取得极大值，
则，解得：；
②当时，恒成立，无极值，不合题意舍去；
③当时，，
即当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得极小值，不合题意舍去；
因此当时，在上存在极大值点；
（Ⅱ）法一：令，，
由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，
则，即，当且仅当时取“=”，
故当时，，
因此．
法二：下面用数学归纳法证明：，对恒成立．
（1）当时，左边，右边，
左边右边，结论成立；
（2）假设当时，结论成立，即，
当时，左边
，
而，
令，，
由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，
则，即，当且仅当时取“=”，
则对恒成立，即
成立
故当时，结论成立，
因此，综合（1）（2）得，对恒成立
9．（广东省江门市2018年普通高中高三调研测试理）已知数列的前项和为，，.
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法给予证明.
【答案】（1），，（2）
【解析】
（1）分别取得
，，，
解得，，.
（2）猜想
时，由（1）知，，猜想成立，
假设时，
则

所以
因为，所以
所以，时成立，
综上所述，任意，.
10．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）已知函数，记为的导数，。
（1）求；
（2）猜想的表达式，并证明你的猜想。
【答案】（1），（2）见解析
【解析】
(1，，，
(2)猜想：.
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设（且）时，结论成立，即.
当时，

.
所以当时，结论成立.
所以由①②可知对任意的结论成立.
11．（浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试数学试题（一）
(1)证明：；
(2)证明：()；
(3)证明：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）（用数学归纳法证明）
①当时，，
所以结论成立；
②假设当时结论成立，即．
则当时

所以时，结论成立．
由①②可知，当时，成立．
（2）由题意得
所以
所以，
，
，
……
，
以上各式两边分别相加可得，
又
所以
．
（3）由题意得，
∴，
∴，
∴，
由累加法得

，
所以，
所以，
故，
所以．
12．（浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二）
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)证明：()；
(Ⅲ)证明：.
【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）数学归纳法证明时，
①当时，成立；
②当时，假设成立，则时

所以时，成立
综上①②可知，时，
（Ⅱ）由
得
所以；；

故，又
所以

(Ⅲ)

由累加法得：
所以故
13．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第七次模拟考试理）已知函数.
（1）当时，求函数的最值；
（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，设函数，数列满足，，求证：， .
【答案】（1），无最大值.（2）（3）见解析
【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定单调性，进而确定最值（2）当时,利用导数易得为单调递增函数，且，因此（3）先证明为单调递增函数，再利用数学归纳法证明
试题解析：（1）∵，∴，
∴，令，得，则随变化如下：

所以，无最大值.
（2）设，则，
当时，且，，函数在上是增加的，
∴，成立；
当时，令，得，当，，
函数在上是减小的，而，所以，当时，，
所以不恒成立，
综上，对任意都有恒成立时， .
（3）∵，∴，
又，当时，，∴在上是增加的，
所以，当时，∵，∴，
而，∴成立.
，假设时，成立，那么当时，，
而，∴成立.
综合，得：，成立.
14．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）（1）用数学归纳法证明：当时，
（，且，）；
（2）求的值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）①当时，等式右边

等式左边，等式成立.
②假设当时等式成立，
即 .
那么，当时，有

这就是说，当时等式也成立.
根据①和②可知，对任何等式都成立.
（2）由（2）可知，，
两边同时求导，得

所以

所以 .
15．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）设，正项数列的前项的积为，且，当时，都成立.
（1）若，，，求数列的前项和；
（2）若，，求数列的通项公式.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）当n≥2时，因为M={1}，所以=TnT1，可得an+1=ana1，
故=a1=3（n≥2）．
又a1=，a2=3，则{an}是公比为3的等比数列，
故{an}的前n项和为=•3n﹣．
（2）当n＞k时，因为=TnTk，所以=Tn+1Tk，
所以=，即=an+1，
因为M={3，4}，所以取k=3，当n＞3时，有an+4an﹣2=an+12；
取k=4，当n＞4时，有an+5an﹣3=an+12．
由an+5an﹣3=an+12 知，
数列a2，a6，a10，a14，a18，a22，…，a4n﹣2，…，是等比数列，设公比为q．…①
由an+4an﹣2=an+1 知，
数列a2，a5，a8，a11，a14，a17，…，a3n﹣1，…，是等比数列，设公比为q1，…②
数列a3，a6，a9，a12，a15，a18，…，a3n，…，成等比数列，设公比为q2，…③
数列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，…，a3n+1，…，成等比数列，设公比为q3，…④
由①②得， =q3，且=q14，所以q1=；
由①③得， =q3，且=q24，所以q2=；
由①④得， =q3，且=q34，所以q3=；
所以q1=q2=q3=．
由①③得，a6=a2q，a6=a3q2，所以==，
由①④得，a10=a2q2，a10=a4q32，所以=，
所以a2，a3，a4是公比为q的等比数列，所以{an}（n≥2）是公比为q的等比数列．
因为当n=4，k=3时，T7T1=T42T32；
当n=5，k=4时，T9T1=T52T42，
所以（）7=2a24，且（）10=2a26，所以=2，a2=2．
又a1=，所以{an}（n∈N*）是公比为的等比数列．
故数列{an}的通项公式是an=2n﹣1•．
16．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）已知数列满足…．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
（1），，．
（2）猜想：．
证明：①当，2，3时，由上知结论成立；
②假设时结论成立，
则有．
则时，．
由得

，

．
又
，
于是．
所以，故时结论也成立．
由①②得，．
17．（2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试）已知数列满足： .
证明：当时，
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】分析：（1）用数学归纳法和反证法证明即可；（2）由数列的递推式以及作差法可得，构造函数，利用导数求出函数函数的单调性，从而可以证明；（3）由数列的递推式，以及（2）的结论可得，根据等比数列的通项公式即可证明，再结合已知可得，即可证明不等式成立.
详解：（1）数学归纳法证明：
当时，成立
假设时，成立，那么时，假设，
则，矛盾
所以，故得证
所以，故
（2）由
得
设
则
由于与在上单调递增，
所以
故在上单调递增，所以
所以
即
（3）由（2）得，则
所以
又，所以，所以，故
所以，所以
18．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.
（1）直接写出，，，的值；
（2）当时，试用，表示，并说明理由；
（3）试用数学归纳法证明：为奇数.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
（1），，，，
（2），理由如下：
对的元素的一个错位排列（，，…，），若，分以下两类：
若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；
若，这种错位排列就是将，，…，，，…，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；
根据的不同的取值，由加法原理得到；
（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；
当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，
又也是偶数，
故对任意正奇数，有均为偶数.
下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.当时，为奇数；
假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，，注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；
根据前面所述，对任意，都有为奇数.
19．（江苏省苏州市2018届高三调研测试）在正整数集上定义函数，满足，且．
（1）求证：；
（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）由，整理得，根，根据递推关系先求出，，进而可得结果；（2）由，，可得，再利用数学归纳法证明即可.
试题解析：（1）因为，整理得，
由，代入得，，
所以．
（2）由，，可得．
以下用数学归纳法证明
存在实数，，使成立．
① 当时，显然成立．
② 当时，假设存在，使得成立，
那么，当时，
，
即当时，存在，使得成立．
由①，②可知，存在实数，，使对任意正整数n恒成立．