【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题48 圆的方程（含解析）

考点48 圆的方程
1．（广东省2019届高考适应性考试理）若向量，，满足，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）设是圆 上的点，直线与双曲线：的一条斜率为负的渐近线平行，若点到直线距离的最大值为8，则（ ）
A．9 B． C．9或 D．9或
3．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）已知点在圆上，点在抛物线上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（新疆2019届高三第三次诊断性测试数学理）若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
6．（河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试数学理）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线为l，圆C：（x﹣）2+y2＝4，l与圆C交于A，B，圆C与E交于M，N．若A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，则E的方程为（　　）
A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝2x
【答案】C
7．（闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考数学理）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）中，，，，中，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）已知圆关于对称，则的值为　　
A． B．1 C． D．0
10．（北京市朝阳区2018-2019学年度高三期末）在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
11．（江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试12月联考)数学理）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为
A． B．
C． D．
12．（四川省南充市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次高考适应性考试）点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于
A． B． C．1 D．3
13．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）在直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在唯一一点，使，则圆心的非零横坐标是__________．
14．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆：，直线：与椭圆交于，两点，则过点，且与直线：相切的圆的方程为______．
15．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）点在曲线：上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为_____.
16．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试二理）圆与曲线相交于，，，四点，为坐标原点，则__________．
17．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）已知点A（-2，0），B（0，2），若点P在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，则面积的最小值为______．
18．（湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理）已知直线 过定点，线段是圆的直径，则________.
19．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________．
20．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）在极坐标系下，点与曲线上的动点Q距离的最小值为_________．
21．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）在平面直角坐标系中，已知点，.若圆上存在唯一点，使得直线，在轴上的截距之积为，则实数的值为______.
22．（湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试理）已知圆，点，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，则面积的最大值为______．
23．（江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试12月联考数学理）已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于点，，且，设点是圆上的动点，则的取值范围是__________．
24．（江苏省苏州市2018届高三调研测试理）在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________．
25．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线.
（1）当时，求曲线的方程；
（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.
26．（四川省成都市高新区2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学理）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为.
（Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点；
（Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.
27．（江西省抚州市七校2019届高三10月联考数学理）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围.






考点48 圆的方程
1．（广东省2019届高考适应性考试理）若向量，，满足，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
设向量，，,则由得,即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB中点M，半径为，
因此

从而，选C.
2．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）设是圆 上的点，直线与双曲线：的一条斜率为负的渐近线平行，若点到直线距离的最大值为8，则（ ）
A．9 B． C．9或 D．9或
【答案】C
【解析】
因为双曲线的一条斜率为负的渐近线的斜率为，
所以，解得.
圆 的圆心坐标是，半径为，
因为圆心到直线距离为，
所以点到直线距离的最大值为，
解得或.
当时，；
当时，.
综上，或.故选.
3．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为，
设双曲线的左右焦点为，，
连接，，，，可得



．
当且仅当为右顶点时，取得等号，
即最小值5．
故选：．

4．（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）已知点在圆上，点在抛物线上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
由题得圆的圆心为（2,0），半径为1.
设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆的圆心，
由题得|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1,
设点B的坐标为(x,y),
所以|AB|≥x-(-2)-1=x+1,因为x≥0，
所以|AB|≥1，所以|AB|的最小值为1.
故选：A
5．（新疆2019届高三第三次诊断性测试数学理）若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
【答案】B
【解析】
解：因为直线与圆有两个公共点，
所以有，
即，
因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，
所以点在圆外，故选B．
6．（河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试数学理）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线为l，圆C：（x﹣）2+y2＝4，l与圆C交于A，B，圆C与E交于M，N．若A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，则E的方程为（　　）
A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝2x
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，圆C：（x﹣）2+y2＝4的圆心C（，0）是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，
∵圆C：（x﹣）2+y2＝4的半径为2，
∴|NC|＝2，根据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2．
∵A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，
∴点A，N关于直线x＝对称，即，∴，
∴|NA|＝＝2，∴2p＝2，则E的方程为y2＝2x．
故选：C．

7．（闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考数学理）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由抛物线方程可知：，准线方程为：
设直线方程为：，代入抛物线方程得：
设，，则，
又，，在圆上
即
即
圆心坐标为：，即；半径为：
圆的方程为：
本题正确选项：．
8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）中，，，，中，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；
设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；
当点D可能在直线AB的上方；
直线BD的斜率；直线AD的斜率
由两直线的夹角公式可得：
化简整理的
可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；
此时CD的最短距离为：
当当点D可能在直线AB的下方；
同理可得点D的轨迹方程：
此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；
此时CD的最大距离为：
所以CD的取值范围为．
9．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）已知圆关于对称，则的值为　　
A． B．1 C． D．0
【答案】A
【解析】
化圆为．
则圆心坐标为，
圆关于对称，
所以直线经过圆心，
，得．
当时，，不合题意，
．
故选A．
10．（北京市朝阳区2018-2019学年度高三期末）在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】
根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,
又由，
则由，解得，
即圆，
令，得，解得，
即圆M与轴的交点坐标分别为，
所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.
11．（江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试12月联考)数学理）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
圆心为的中点，半径为，
则以线段为直径的圆的方程为.
故选D.
12．（四川省南充市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次高考适应性考试）点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【解析】
圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（ ，
因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，
所以直线l：x-y+1=0经过圆心，
所以 ．
所以圆的方程为：x2+y2+4x+2y-4=0，圆的半径为：
故选：C．
13．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）在直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在唯一一点，使，则圆心的非零横坐标是__________．
【答案】
【解析】
圆心在上,设,点,因为，则,化简得:,所以点在以为圆心,以为半径的圆上,又点在圆上,所以圆与圆有唯一公共点,即两圆相切,,或者,即或,解得(舍)或,故填.
14．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆：，直线：与椭圆交于，两点，则过点，且与直线：相切的圆的方程为______．
【答案】．
【解析】
解：椭圆：，直线：与椭圆交于，两点，
联立可得：，消去可得，，解得或，
可得，，
过点，且与直线：相切的圆切点为，圆的圆心，半径为：．
所求圆的方程为：．
故答案为：．
15．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）点在曲线：上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为_____.
【答案】1
【解析】
曲线可整理为：
则曲线表示圆心为，半径为的圆

设，则表示圆上的点到的距离
则
，整理得：

又（当且仅当，即，时取等号）
，即的最小值为
本题正确结果：
16．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试二理）圆与曲线相交于，，，四点，为坐标原点，则__________．
【答案】.
【解析】
∵圆的圆心为M（-3，2），
∴圆关于M（-3，2）中心对称，
又曲线，关于（-3，2）中心对称，
∴圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，
不妨设与，与关于（-3，2）中心对称，则，,
∴ ，
故答案为.
17．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）已知点A（-2，0），B（0，2），若点P在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，则面积的最小值为______．
【答案】4
【解析】
∵点A（-2，0），B（0，2），∴AB的直线方程为=1，即x-y+2=0．
圆心C（3，-1）到直线AB的距离为d=，因为点P在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，
所以点P到直线AB距离的最小值为：=，且.
则ABP面积的最小值为.
故答案为：4．
18．（湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理）已知直线 过定点，线段是圆的直径，则________.
【答案】7.
【解析】
直线 可化为 ，
联立，解得点，
∵线段是圆的直径，
∴
19．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________．
【答案】.
【解析】
如图：，，
，，，
，
，

，解得：，
故答案为：．

20．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）在极坐标系下，点与曲线上的动点Q距离的最小值为_________．
【答案】
【解析】
由题得点P的直角坐标为（0,1），
，
所以曲线是以点（1，0）为圆心，以1为半径的圆，
所以点P到圆上动点的最小距离为.
故答案为：．
21．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）在平面直角坐标系中，已知点，.若圆上存在唯一点，使得直线，在轴上的截距之积为，则实数的值为______.
【答案】
【解析】
根据题意，设的坐标为，
直线的方程为，其在轴上的截距为，
直线的方程为，其在轴上的截距为，
若点满足使得直线，在轴上的截距之积为5，则有，
变形可得，则点在圆上，
若圆上存在唯一点，则圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，
又由圆心距为，则两圆只能外切，
则有，
解可得：，
故答案为：．

22．（湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试理）已知圆，点，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，则面积的最大值为______．
【答案】12
【解析】
由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，的边，故当到直线的距离最大时，的面积最大，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，直线的方程为，点到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为，故的面积的最大值为.
故答案为：12

23．（江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试12月联考数学理）已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于点，，且，设点是圆上的动点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由题意，可设圆C的方程为，
则，，所以，
则圆C的方程为，即 ，
可得，
设，则== =，
由题意可知，，所以.
故答案为：.
24．（江苏省苏州市2018届高三调研测试理）在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】
根据题意，设圆C的圆心为（m，n），半径为r，
则圆C的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2，
则有，
解可得：m＝1，n＝﹣2，r，
则圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝2，
故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2＝2
25．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线.
（1）当时，求曲线的方程；
（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）设 ，则，
因为，则


所以，
整理得 .
所以，当时，曲线的方程为 .
（2）设. 由题意知，
直线的方程为：，直线的方程为：.
由（Ⅰ）知，曲线的方程为 ，
联立 ，消去，得，得
联立，消去，得，得

设 则在上递增
又，
的取值范围为
26．（四川省成都市高新区2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学理）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为.
（Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点；
（Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.
【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由题意知可设过点的直线方程为，
由消去整理得，
又因为直线与抛物线相切，
所以，解得．
当时，直线方程为，可得点坐标为，
又因为焦点，
所以点在轴上的射影为焦点．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由，
其中恒成立.
设，，
则，
所以，．
由于圆是以线段为直径的圆过点，则，
所以
所以，
解得或．
当时，直线的方程为，圆的方程为；
当时，直线的方程为，圆的方程为．
27．（江西省抚州市七校2019届高三10月联考数学理）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
（1）由题可知，设圆的方程为，
，解得，，所以圆的方程为．

（2）由题意知，，
设直线的斜率为 ，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点的坐标为．
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．
由题可知，，．
因此，
又，同理，
所以，当且仅当时取等号．
又，所以的取值范围是．