2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第8讲

第8讲　函数与方程

[考纲解读]　1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(重点、难点)

2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存在．预测2020年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或以解答题中一问的形式呈现.

1．函数的零点

(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)三个等价关系

(3)存在性定理

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

1．概念辨析

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)

(3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　　)

(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)

(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

2．小题热身

(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)

A．(1,2)  B．(2,3)  C．(3,4)  D．(4,5)

答案　B

解析　由已知得f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)必有零点的区间为(2,3)．

(2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)

A．y＝cosx   B．y＝sinx

C．y＝ln x   D．y＝x2＋1

答案　A

解析　y＝sinx，y＝ln x不是偶函数，y＝x2＋1不存在零点，所以只有y＝cosx符合题意．

(3)函数f(x)＝x－x零点的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　函数f(x)＝x－x零点的个数是方程x－x＝0的解的个数，即方程x＝x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝x图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.

(4)若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________．

答案　(0,4)

解析　因为f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，所以方程x2＋kx＋k＝0无实根，所以Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4.

题型 　函数零点所在区间的判断

1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)  C．(2,3)  D．(3,4)

答案　B

解析　函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如右：

可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．

2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内   B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内   D．(－∞，a)和(c，＋∞)

答案　A

解析　由已知得，f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.

由零点存在性定理得函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．

3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．

答案　存在

解析　令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，解得x＝6或－3.

显然6∈[1,8]，－3∉[1,8]，所以f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点，是6.

函数零点所在区间的判断方法及适合题型

1．在下列区间中，函数f(x)＝e－x＋4x－3的零点所在的区间可能为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　因为f＝e＋4×－3＝e－4<0，f(0)＝1－3＝－2<0，f＝e＋4×－3＝e－1<0，f＝e＋4×－3＝e>0.

所以f·f<0，所以函数f(x)的零点所在的区间可能为.

2．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为______．

答案　3

解析　∵0≤x≤π，∴≤3x＋≤.

由题可知，当3x＋＝，3x＋＝或3x＋＝时，f(x)＝0.

解得x＝，或.

故函数f(x)＝cos在[0，π]上有3个零点．

3．若x0是函数f(x)＝2x－x2最小的零点，且x0∈(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________.

答案　－1

解析　函数f(x)＝2x－x2的零点是方程2x＝x2的实根，也是函数y＝2x与y＝x2交点的横坐标，结合图象可知x0<0.因为f(－1)＝2－1－(－1)2<0，f(0)＝20－0>0，故x0∈(－1,0)．故n＝－1.

题型 　函数零点个数的判定

1．函数f(x)＝的零点个数是________．

答案　2

解析　当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，易知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.

2．(2018·日照模拟)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．

答案　5

解析　令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝，作出f(x)的简图：

由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝时，分别有3个和2个交点，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.

条件探究1　在举例说明2条件下，判断函数y＝f2(x)－3f(x)零点的个数．

解　令f2(x)－3f(x)＝0得f(x)＝0或f(x)＝3.

由函数f(x)的图象可知f(x)＝0有1个实根，f(x)＝3有3个实根，

所以y＝f2(x)－3f(x)有4个零点．

条件探究2　把举例说明2中的“2|x|”改为“2|x|－”，其他条件不变，结果又如何？

解　令2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝1或f(x)＝，作出函数f(x)的简图如下：

由图象可知，f(x)＝1有3个实根，

f(x)＝有3个实根，所以y＝2f2(x)－3f(x)＋1有6个零点．

判断函数零点个数的方法

(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．如举例说明1.

(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函数的图象，图象交点的个数，就是函数零点的个数．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·河南南阳月考)函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内(　　)

A．没有零点   B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点   D．有无穷多个零点

答案　B

解析　先研究f(x)在区间[0,1]内的零点．因为f′(x)＝＋sinx，>0，sinx>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos1>0，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f(x)＝－cosx>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.

2．若f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1－x)，则当x<0时，f(x)＝________；

函数y＝[5f(x)－1][f(x)＋5]的零点个数为________．

答案　－x(x＋1)　6

解析　因为f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)＝f(－x)＝－x(1＋x)，

因为[5f(x)－1][f(x)＋5]＝0的根就是函数y＝[5f(x)－1][f(x)＋5]的零点，所以就转化为研究y＝f(x)与y＝，y＝－5交点个数问题，如图：

因此有6个交点．

题型 　函数零点的应用

角度1　根据函数零点个数求参数

1．(2015·湖南高考)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

答案　(0,2)

解析　将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．

在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．

∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，

从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．

∴b的取值范围是(0,2)．

角度2　根据函数有无零点求参数

2．(1)(2018·安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞)   B．[2，＋∞)

C.   D.

(2)已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)

A．[0,1)   B．(－∞，1)

C．(－∞，1]∪(2，＋∞)   D．(－∞，0]∪(1，＋∞)

答案　(1)D　(2)D

解析　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.

∴实数a的取值范围是.

(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图象(图略)．

观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．

根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．如举例说明2(1)．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．如举例说明1、2(2)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

答案　(0,1]

解析　当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.

因为函数f(x)有两个不同的零点，

则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，

令f(x)＝0得a＝2x，

因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，

所以实数a的取值范围是(0,1]．

2．(2018·安庆摸底)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，

∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，

即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．

方程a＝4x－2x，

可变形为a＝2－，

∵x∈[－1,1]，∴2x∈，

∴2－∈.

∴实数a的取值范围是.

3．(2016·山东高考)已知函数f(x)＝

其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

答案　(3，＋∞)

解析　f(x)的大致图象如图所示，

若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m2<m，又m>0，所以m>3.

思想方法　数形结合思想在函数零点问题中的应用

函数y＝f(x)的零点、方程f(x)＝0的实数根和函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标有密切的联系，解决相关问题时，通常要用到数形结合的方法．

[典例]　(2018·吉林吉大附中四模)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈时，f(x)＝sinπx，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是________．

答案　9

解析　根据题意得当x∈时，f(x)＝sinπx，令f(x)＝0，则sinπx＝0.解得x＝1.

因为函数f(x)是周期为3的周期函数，

所以f(x＋3)＝f(x)，所以f＝f.

又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝f＝f＝0.

画出函数的图象，如图所示，由图象可知在[0,6]上的零点为0,1，，2,3,4，，5,6，所以共有9个零点．