【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题36 基本不等式（含解析）
展开考点36 基本不等式
1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若，，是正数，且，，，则的值是
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量,的夹角为,且满足,则的最大值为( )
A． B． C． D．
4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数，若f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围为（ ）
A．（4，+∞） B． C．[6，+∞） D．
5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数满足，则的最小值为
A． B．
C． D．3
6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为_____________
7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若，则的最小值是_____________.
8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点在的边上，且，，，则的最大值为________．
9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若，均为正实数，则的最小值为_______.
10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点在曲线：上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为_____.
11．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______．
12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）的内角所对的边成等比数列，则的最小值为_____.
13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱中，，设其外接球的球心为，已知三棱锥的体积为，则球表面积的最小值为__________．
14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在中,角的平分线交于点,,则面积最大值为_________.
15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．
16．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数满足，则的最小值为__________．
17．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．
18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．
19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．
20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数.
（1）当，时，求不等式的解集；
（2）若，，的最小值为2，求的最小值.
21．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数．
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值，正实数，满足，求证：．
22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知．
（1）求不等式的解集；
（2）设、、为正实数，且，求证：．
23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲
已知关于的不等式的解集为，其中.
（1）求的值；
（2）若正数，，满足，求证：.
24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知．
（1）若函数的最小值为3，求实数a的值；
（2）若时，函数的最大值为k，且．求的最小值．
考点36 基本不等式
1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若，，是正数，且，，，则的值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
令，得，，，
则，得，所以，注意到，即，且，所以，设，则.所以.故选B.
2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意，，
∴.
设，过点作于，过点作于，
由抛物线定义，得，在梯形中，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
所以（当且仅当时，等号成立）.
3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量,的夹角为,且满足,则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为非零向量,的夹角为,且满足,
所以，
即，即，
又因为，当且仅当时，取等号；
所以，即；
因此，.
即的最大值为.
故选B
4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数，若f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围为（ ）
A．（4，+∞） B． C．[6，+∞） D．
【答案】B
【解析】
∵函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＝f（b），且x＞1，不妨设，则.
∴﹣ln（a﹣1）＝ln（b﹣1），∴＝b﹣1，∴b＝+1，
∴a+2b＝a+，当且仅当a＝+1取等号，
∴a+2b的取值范围是
故选：B．
5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数满足，则的最小值为
A． B．
C． D．3
【答案】A
【解析】
由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A.
6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为_____________
【答案】2;
【解析】
x，y均为正实数,,
当时等号成立.
故答案为：2.
7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若，则的最小值是_____________.
【答案】2
【解析】
∵lga+lgb＝lgab＝0，
∴ab＝1，且a＞0，b＞0，
则2，
当且仅当且ab＝1时即a，b取得最小值2．
故答案为2
8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点在的边上，且，，，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
因为，
所以
因为，所以即，
整理得到，两边平方后有，
所以即，
整理得到，
设，所以，
因为，
所以，
，当且仅当，时等号成立，
故填.
9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若，均为正实数，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
当，即时
取得最小值为：
本题正确结果：
10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点在曲线：上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为_____.
【答案】1
【解析】
曲线可整理为：
则曲线表示圆心为，半径为的圆
设，则表示圆上的点到的距离
则
，整理得：
又（当且仅当，即，时取等号）
，即的最小值为
本题正确结果：
11．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______．
【答案】
【解析】
不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线过直线与直线的交点时,
目标函数取得最大,
即,即,
而．
故答案为：．
12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）的内角所对的边成等比数列，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
因为成等比数列，所以
，
由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱中，，设其外接球的球心为，已知三棱锥的体积为，则球表面积的最小值为__________．
【答案】.
【解析】
如图，在中，设，则．
分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，
连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．
连，则为外接球的半径，设半径为．
∵三棱锥的体积为，
即，
∴．
在中，可得，
∴，当且仅当时等号成立，
∴球表面积的最小值为．
故答案为：．
14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在中,角的平分线交于点,,则面积最大值为_________.
【答案】
【解析】
在中,角的平分线交于点,,如下图所示：
则，由三角形内角平分线定理可知：，设，则，由余弦定理可得：，
即，可得，
面积为
,当且仅当时，等号成立，故面积最大值为3.
15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
由正弦定理可得：
得：
，即
又
令，得：
为锐角三角形
得：，即
当且仅当，即时取等号
本题正确结果：
16．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数满足，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】
因为正数，所以成立.
所以
所以
即：
解得：或（舍去）
当时，等号成立，即：时，等号成立.
所以的最小值为
17．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．
【答案】12
【解析】
以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
在菱形ABCD中，设，，，
则，，，，
又E为CD边的中点，则，
，
，
，
由基本不等式有，，
，当且仅当时取“”，
即，
菱形ABCD的面积为，
即菱形面积的最大值为12．
故答案为：12．
18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
∵正实数满足，
∴（2a+b），当且仅当时取等号．
∴的最小值为
故答案为．
19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
因为的面积为，
所以,
因此，
因为，
所以
因此
，
当且仅当时取等号
即，的最小值为.
20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数.
（1）当，时，求不等式的解集；
（2）若，，的最小值为2，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）当，时，，
得或或，解得：，
∴不等式的解集为.
（2），
∴，
∴，
当且仅当，时取等号.
∴的最小值为.
21．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数．
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值，正实数，满足，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）等价于
或或，
故或或，
综上解集为.
（2）
当且仅当取等号，
，，
，当且仅当时等号成立，
．
22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知．
（1）求不等式的解集；
（2）设、、为正实数，且，求证：．
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
（1）①时，，
由，∴，∴，即，
②时，，由，∴，∴，即，
③时，，由，∴，∴，可知无解，
综上，不等式的解集为；
（2）∵，∴，
∴，且为正实数
∴，
∵，，，
∴，
∴
又为正实数，∴可以解得．
23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲
已知关于的不等式的解集为，其中.
（1）求的值；
（2）若正数，，满足，求证：.
【答案】（1）（2）见证明
【解析】（1）由题意知：
即或
化简得：或
不等式组的解集为
，解得：
（2）由（1）可知，
由基本不等式有：，，
三式相加可得：
，即：
24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知．
（1）若函数的最小值为3，求实数a的值；
（2）若时，函数的最大值为k，且．求的最小值．
【答案】（1）6（2）2
【解析】
（1），，函数
当时，函数的最小值为，．
（2）当时，，
，，所以
因为，
所以当，即，时，最小值为2
