数学必修 第一册4.1 指数获奖教案

n次方根与分数指数幂

教学设计

（一）教学内容

n次方根与分数指数幂

（二）教学目标

1．经历n次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质，提升数学抽象核心素养．

2．了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化．

3．理解有理数指数幂的意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．

（三）教学重点、难点

教学重点：根式与有理数指数幂的意义及其运算性质．

教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质．

（四）教学过程设计

问题1：请同学们阅读教科书第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：

（1）本章要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？

（2）如何研究这些函数？研究这些函数的哪些方面？

（3）这些函数可以解决哪些实际问题？

师生活动：学生独立阅读教科书内容，回答上述问题，教师予以补充．

（1）指数函数与对数函数，并学会利用它们解决实际问题．

（2）类比幂函数的学习，根据研究一类函数的过程和方法，对指数函数和对数函数按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．需要研究它们的概念、图象、性质．

（3）比如细胞分裂的数量随时间的变化的规律是成指数增长的；未受控制的传染病在大量人群中传播的初期都是成指数增长的；利用放射性物质的衰减测定遗址及文物的年代；地震的强度单位里氏震级是对地震时释放的能量用对数进行换算的．举例时尽量突出指数增长的爆炸性特点，对数增长的缓慢性特点．

设计意图：明确本章研究的内容、方法、实际应用背景，为本章的学习指明方向．

问题2：为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义及其运算性质．根据整数指数幂的意义和运算性质，你觉得指数的范围还能进一步拓展吗？

师生活动：学生回答，教师进行归纳．

正整数指数幂来源于数的自乘运算，负整数指数幂来源于数的自乘运算的倒数，这种指数运算在表示方式上更加简洁．在幂函数的学习时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作，因此猜测，指数的范围还能进一步拓展．

设计意图：通过复习整数指数幂，体会指数运算来源于数的自乘运算，这种指数幂的表示在形式上更加简洁，说明指数幂运算产生的必要性，以便引出数的n次方根运算与分数指数幂的关系．

问题3：初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根．类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，试着说说4次方根、5次方根……由此可以得出n次方根的概念吗？

师生活动：先由学生举例，并进行归纳、抽象，然后由教师进行讲解．

（1）学生举例：①(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；②25=32，我们把2叫做32的5次方根；③(2)5=32，我们把2叫做32的5次方根；……

n次方根：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*．

追问1：在实数范围内，负数有没有偶次方根？为什么？

在实数范围内，负数没有偶次方根．因为任何实数的偶数次方幂都是正数，从而负数的偶数次方根找不到对应的实数．如果要讨论负数的偶次方根，就必须将数域从实数再进行扩充，此时暂不做讨论．

追问2：观察所举的例子，当n为偶数时，被开方数的符号、n次方根分别是什么？当n为奇数时呢？

当n为偶数时，被开方数是非负数；

正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数；

正数a的正的n次方根用表示，负的n次方根用表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±．

当n为奇数时，被开方数是实数，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用表示．

式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

追问3：0的n次方根该如何定义？

0的任何次方根都是0，记作=0．

设计意图：引导学生由特殊到一般，由具体到抽象，形成n次方根的定义．

问题4：()n=a一定成立吗？表示an的n次方根，=a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？

师生活动：学生通过举例，并结合问题3的结论，来解决问题．教师可以引导学生进行分类讨论，分类的标准就是问题3的结论，即n为奇数或偶数，a的符号．

（1）由()2=5，()5=2 ，()5=3，()6无意义，……可以抽象得到：只要()n有意义，则()n=a一定成立．

（2）由=2，，=0，……可以抽象得到：当n为奇数时，=a一定成立．

由=2，，=0，……可以抽象得到：当n为偶数时，=|a|=

设计意图：通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n次方根的概念，形成严谨的分类思想，提升逻辑推理的核心素养．

例1  求下列各式的值：

（1）；    （2）；  （3）；  （4）．

师生活动：学生独立完成后展示交流．师生总结求解要点：要根据n的奇偶性进行具体分析．要特别注意当n为偶数时最后结果的准确表示及化简．例如对于最后一个小题，由于涉及字母a，b，其结果要用绝对值的形式表示，所以需要对这两个字母的大小关系进行分类讨论后再化简．

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）

设计意图：通过练习，学生可以巩固n次方根的概念，以及前面探究得到的关于的性质．

问题5：负整数指数幂是用于表示分式的，例如，其本质是把指数的范围从正整数拓展到全体整数得到的．如果把指数的范围从整数拓展到分数，那么分数指数幂的意义又是什么呢？它与根式又什么关系？尝试给出一个合理的规定，在分数指数幂和根式之间建立起联系，并谈谈你对这样规定的合理性．

师生活动：学生分组讨论交流，教师提示在将整数指数幂拓展到分数整数幂时，需要与已有的整数指数幂的概念和运算性质相容．

追问1：根据n次方根的定义和数的运算，我们知道

这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．那么当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，比如，这样的根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？

师生活动：教师个别提问，学生类比猜想得到答案，全班讨论其答案是否合理．

我们规定，正数的正分数指数幂的意义是．于是，在条件a ＞ 0，m，n∈N*，n＞1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．

追问2：阅读教科书，并结合正数的负整数指数幂、正数的正分数指数幂的意义，你能说出正数的负分数指数幂的意义吗？

师生活动：学生阅读教科书，回答问题．

因为正数的负整数指数幂是在正整数指数幂的基础上取倒数，所以正数的负分数指数幂也是在正分数指数幂的基础上取倒数．我们规定

例如，．

追问3：0与负数有分数指数幂吗？为什么？

师生活动：学生讨论交流，教师讲授．

与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，0的正分数指数幂等于0．而因为0不能做分母，所以0的负分数指数幂没有意义．对于负数，根据前面的讨论已知，在实数范围内负数没有偶次方根，所以对于负数的分数指数幂，此时暂不做讨论．

设计意图：通过具体实例的归纳，由具体到抽象，由特殊到一般，建立了分数指数幂与n次方根的关系．学生通过根式与分数指数幂的互化，可以巩固、加深对根式和分数指数幂的理解，清楚分数指数幂意义的本质就是根式．

问题6：规定了分数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数．那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？为什么？

师生活动：教师引导学生回顾整数指数幂的运算性质，并检验这些性质是否也适用于有理数指数幂．作为示范，教师可以只对一个性质进行检验证明，剩下的交给学生自行完成．

整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质．

（1）；

（2）；

（3）．

可以通过n次方根与有理数指数幂的关系，对上述三个性质进行证明．下面以性质（1）为例．

首先考虑r＞0，s＞0的情况．

由于r，s是有理数，所以可设，其中m，n，p，q都是正整数，且m与n互质，p与q互质，所以

．

对于r＜0，s＜0的情形，可以转化为正分数指数幂的情形进行证明．

设计意图：在将整数指数幂拓展到有理数指数幂的基础上，进一步研究有理数指数幂的运算性质．

例2  求值：

（1）；           （2）．

师生活动：学生独立完成后展示交流．

预设的答案：

解：（1）；

（2）．

设计意图：通过具体的数字运算，巩固分数指数幂的概念、意义以及分数指数幂中指数的运算性质．

例3  用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0）：

（1）；        （2）．

师生活动：学生独立完成后展示交流．教师可以提示：求解的依据是什么？学生应当想到依据就是分数指数幂和n次方根的关系．

预设的答案：

解：（1）；

（2）．

设计意图：通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和n次方根的互相转化，特别是把n次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式．

例4  计算下列各式（式中字母均是正数）：

（1）；  （2）；  （3）．

师生活动：学生独立完成后展示交流．

预设的答案：

解：（1）；

（2）；

（3）．

设计意图：本题具有一定的综合性，需要综合运用n次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的是巩固有理数指数幂的运算性质．

问题7：本节课研究了哪些内容？怎样研究的？有理数指数幂运算性质有什么特点？

师生活动：学生讨论交流．

预设的答案：

研究内容和路径可以用下图（图1）表示：

分数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到有理数后，其运算性质保持不变．其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的．

设计意图：加深对有理数指数幂的运算性质的理解．再次体会在数学中，引进一个新的概念或法则时，总是希望它与已有的概念或法则相容的这种思想．为以后的数学概念的拓展，在思想上和方法上奠定基础．

（五）目标检测设计

1．用根式的形式表示下列各式（a＞0）：

（1）；   （2）；   （3）；   （4）．

设计意图：检测根式与分数指数幂的互化．

2．用分数指数幂的形式表示下列各式：

（1）； （2）； （3）； （4）．

设计意图：检测根式与分数指数幂的互化．

3．计算下列各式：

（1）； （2）； （3）； （4）．

设计意图：检测有理数指数幂的运算性质．

参考答案：

1．（1）．     （2）．       （3）．    （4）．

2．（1）．      （2）．   （3）．   （4）．

3．（1）．    （2）18．         （3）．     （4）．

2. 课后作业

教科书第109页习题4.1第1,2,5题

（六）课后反思