第14讲 专题03 等腰（边）三角形的判定与性质（30题）-【同步精品】2024年八上数学同步精品讲义（人教版）

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专题第03讲 等腰（边）三角形的判定与性质 一．解答题（共30小题） 1．（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数． 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠DAF＝∠CAF，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性质得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根据角平分线定义得到ACE＝70°，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC， ∴∠DAF＝∠CAF， ∵AF∥BC， ∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠ACB＝∠B＝40°， ∴∠BAC＝100°， ∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°， ∵CG平分∠ACE， ∴ACE＝70°， ∵AF∥BC， ∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°． 2．（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F． （1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由； （2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形， 理由：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形； （2）∵△ABC的周长为18，BC＝6， ∴AB+AC＝18﹣6＝12， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴BE＝ED， 同理DF＝CF， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12． 3．（2023春•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F． （1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数． （2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长． 【分析】（1）由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可； （2）证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝35°， ∵AF⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∴∠AFE＝125°． （2）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝CDB＝90°， ∴△ABD≌△CBD（ASA）， ∴AB＝BC， ∵AB＝AC， ∴三角形ABC是等边三角形， ∴∠ABF＝30°， ∴AF＝4， 在Rt△ADF中， DF＝2． 4．（2023春•淄博期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长线于点E， （1）试判断AD、AE的大小关系，并说明理由； （2）当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【分析】（1）根据已知条件得出∠C+∠E＝90°，∠B+∠BDF＝90，再根据∠B＝∠C得出∠BDF＝∠E，最后根据∠BDF＝∠ADE，得出∠E＝∠ADE，即可证出AD＝AE． （2）作法同（1）完全相同． 【解答】解：（1）AD＝AE； 理由：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DF⊥BC， ∴∠BDF+∠B＝90°，∠C+∠E＝90°， ∴∠E＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠EDA， ∴∠E＝∠EDA， ∴AE＝AD； （2）成立； ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DF⊥BC， ∴∠BDF+∠B＝90°，∠C+∠FEC＝90°， ∴∠FEC＝∠BDF， ∵∠FEC＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AE＝AD． 5．（2023春•郫都区期末）如图，AM∥BN，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，DE∥BN交BC于点E．（解答过程要求写出每步推导的理由） （1）求∠BDC的度数； （2）若AB＝AC，求证：AE⊥BC． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CBN+∠BCM＝180°，再根据角平分线的定义可得∠NBD＝∠DBE＝∠NBC，∠ECD＝∠DCM＝∠BCM，然后再利用等式的性质可得∠DBC+∠ECD＝90°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△BED和△CED是等腰三角形，从而可得BE＝DE，CE＝DE，进而可得BE＝CE，然后根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【解答】（1）解：∵BN∥AM（已知）， ∴∠CBN+∠BCM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵CD、BD分别是∠BCM、∠CBN的角平分线（已知）， ∴∠NBD＝∠DBE＝∠NBC，∠ECD＝∠DCM＝∠BCM（角平分线的定义）， ∴∠DBC+∠ECD＝（∠NBC+∠BCM）＝90°（等式的性质）， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠ECD）＝90°（三角形内角和定理）； （2）证明：∵DE∥BN（已知）， ∴∠NBD＝∠BDE（两直线平行，内错角相等）， ∵∠NBD＝∠DBE（已证）， ∴∠BDE＝∠DBE（等量代换）， ∴EB＝ED（等角对等边）， ∵AM∥BN（已知）， ∴DE∥AM（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠EDC＝∠DCM（两直线平行，内错角相等）， ∵∠DCM＝∠ECD（已证）， ∴∠EDC＝∠ECD（等量代换） ∴EC＝ED（等角对等边）， ∴EB＝EC（等量代换）， ∵AB＝AC（已知） ∴AE⊥BC（等腰三角形的三线合一）． 6．（2023春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，若AB＝6，BD＝2，求CD的长． 解：在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE， ∵ED＝BD，AD⊥BC， ∴AB＝AE（ 　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等　）． ∴　∠ABE　＝∠AEB（ 　等边对等角　）． ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝2∠C． ∵∠AEB+∠AEC＝180°（ 　平角定义　）， ∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（ 　三角形内角和等于180°　）， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C． ∴　∠C　＝∠EAC． ∴　EA　＝　EC　（ 　等角对等边　）． ∴AB＝CE（ 　等量代换　）． ∵AB＝6，BD＝2， ∴CE＝6，ED＝2． ∴CD＝CE+ED＝6+2＝8． 【分析】在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，先根据线段垂直平分线的性质可得AB＝AE，从而可得∠ABE＝∠AEB，进而可得∠AEB＝2∠C．然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得∠AEB＝∠EAC+∠C，从而可得∠C＝∠EAC，进而可得EA＝EC，再利用等量代换可得AB＝CE＝6，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE， ∵ED＝BD，AD⊥BC， ∴AB＝AE（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）， ∴∠ABE＝∠AEB（等边对等角）． ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝2∠C． ∵∠AEB+∠AEC＝180°（平角定义）， ∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C． ∴∠C＝∠EAC． ∴EA＝EC（等角对等边）． ∴AB＝CE（等量代换）． ∵AB＝6，BD＝2， ∴CE＝6，ED＝2． ∴CD＝CE+ED＝6+2＝8， 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；∠ABE；等边对等角；平角定义；三角形内角和等于180°；∠C；EA；EC；等角对等边；等量代换． 7．（2023春•杨浦区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答； （2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 8．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数． 【分析】（1）利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC＝AD即可； （2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据已知条件得到∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝40°，根据平行线的选择得到∠ADC+∠ACD＝180°，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2． ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴AB＝AD． ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形； （2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3， ∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°， ∠ABC＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝40°， 由（1）知，AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°， ∴∠BDC＝50°． 9．（2023春•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC延长线上，点E在边AC上，且DE＝BE＝AE，延长线段DE交边AB于点F． （1）说明△AEF是等腰三角形的理由； （2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得：∠A＝∠AEF，从而可得结论； （2）设∠A＝x，∠D＝y，当△BEF是等腰三角形时，存在两种情况：①当∠BFE＝∠BEF时，2x＝2y，②当∠BEF＝∠ABE时，x＝2y，根据三角形内角和定理列方程可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BE＝DE， ∴∠CBE＝∠D， ∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE，∠ACB＝∠D+∠CED， ∴∠ABE＝∠CED， ∵AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE， ∵∠AEF＝∠CED， ∴∠A＝∠AEF， ∴AF＝EF， ∴△AEF是等腰三角形； （2）设∠A＝x，∠D＝y， ∴∠ABE＝x，∠BFE＝∠A+∠AEF＝2x，∠BEF＝∠D+∠DBE＝2y， ∴∠BFE≠∠ABE， ∴当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： ①当∠BFE＝∠BEF时，2x＝2y， ∴x＝y， △AEF中，2x+2y+x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠A＝36°； ②当∠BEF＝∠ABE时，x＝2y， ∵2x+2y+x＝180°， ∴4x＝180°， ∴x＝45°， ∴∠A＝45°， 综上，∠A的度数为36°或45°． 10．（2022秋•祁阳县期末）（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 【分析】（1）按要求画图（作AB的中垂线或作BC的中垂线）即可； （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有4种情况，分别画图即可； （3）根据（1）（2）中的图形总结即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）设分割线为AD，相应用的角度如图所示： 图1的最大角＝39°+78°＝117°，图2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°， 图3的最大角＝24°+66°＝90°，图4的最大角＝84°， 故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°； （3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一： ①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是最小角的2倍； ③该三角形有一个角是其中一个角的3倍． 11．（2022秋•阳谷县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O． （1）求证：△OBC是等腰三角形． （2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由． 【分析】（1）AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，可得∠OEB＝∠ODC＝90°；∠BOE＝∠COD，根据内角和定理，可得∠OBE＝∠OCD，∠OBC＝∠OCB，进而可证△OBC是等腰三角形； （2）欲证明O在∠BAC的平分线上，只需推知OE＝OD即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AC与AB边上的高BD、CE相交于点O， ∴∠OEB＝∠ODC＝90°， ∵∠BOE＝∠COD，∠OBE＝180°﹣（∠OEB+∠BOE），∠OCD＝180°﹣（∠ODC+∠COD）， ∴∠OBE＝∠OCD， ∵∠OBC＝∠ABC﹣∠OBE，∠OCB＝∠ACB﹣∠OCD， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰三角形； （2）解：在△BEO与△CDO中， ， ∴△BEO≌△CDO（AAS）， ∴OE＝OD， 又∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴O在∠BAC的平分线上． 12．（2022秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长． 【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论； （2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， 而∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形； （2）∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵∠F＝30°，BD＝4， ∴BE＝BD＝2， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝AD+BD＝6， ∴EC＝BC﹣BE＝4． 13．（2022秋•开福区校级期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC． （1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形； （2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD， ∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC， 即△CDE是等腰三角形； （2）解：∵DE∥BC，∠ABC＝30° ，∴∠ADE＝∠ABC＝30°， 又∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝30°， 由（1）可知，∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝30°， ∵BF＝DF， ∴∠B＝∠BDF＝30°， ∴∠DFC＝30°+30°＝60°， 在Rt△DFC中，∠FDC＝90°，∠FCD＝30°， ∴， 又∵DF＝BF，BC＝12， ∴． 14．（2022秋•沙依巴克区校级期末）如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数． 【分析】（1）证明△ABC≌△ADC，即可得出BC＝DC； （2）在等腰三角形BCD中先求出∠CBD＝∠CDB＝25°，即可求出∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝75°． 【解答】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴BC＝DC， ∴△BCD是等腰三角形； （2）∵BC＝DC，∠BCD＝130°， ∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣130°）＝25°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝50°+25°＝75°． 15．（2023春•东港市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 16．（2023春•榆阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： （1）△ADC是等边三角形； （2）点E在线段CD的垂直平分线上． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝60°，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据DE是AB的垂直平分线，可得，即可证明△ADC是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，进而可得AE平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DE＝DC，根据等边三角形的性质可得AD＝AC，即可得证． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴， ∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形； （2）证明：DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，DE⊥AB， ∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AE平分∠BAC， ∵DE⊥AB，AC⊥BC， ∴DE＝DC， ∵△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC， ∴点E在线段CD的垂直平分线上． 17．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠ADB＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝30°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCB＝∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形； （2）∵CE∥DA， ∴∠BEC＝∠ADB＝60， ∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝BE＝CB， ∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°， ∴BC＝BD， ∴CE＝BD， ∴E是BD的中点， ∴AE是边BD的中线， ∵△ADB是等边三角形， ∴AE⊥BD． 18．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可； （2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可． 【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE． （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵等边三角形DCE， ∴∠CED＝∠CDE＝60°， ∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED， ＝∠ADC+60°+∠BED， ＝∠CED+60°， ＝60°+60°， ＝120°， ∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°， 答：∠DOE的度数是60°． （3）证明：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC 又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点， ∴AM＝AD，BN＝BE， ∴AM＝BN， 在△ACM和△BCN中 ， ∴△ACM≌△BCN， ∴CM＝CN， ∠ACM＝∠BCN， 又∠ACB＝60°， ∴∠ACM+∠MCB＝60°， ∴∠BCN+∠MCB＝60°， ∴∠MCN＝60°， ∴△MNC是等边三角形． 19．（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证； （3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可． 【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF，BE＝CF， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD， ∴∠DEB＝∠ECF， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB＝EF， 则AE＝DB； （3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形， 如图所示，同理可得△DBE≌△CFE， ∵AB＝1，AE＝2， ∴BE＝1， ∵DB＝FC＝FB+BC＝2， 则CD＝BC+DB＝3． 故答案为：（1）＝；（2）＝ 20．（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． （1）求证：AN＝BM； （2）求证：△CEF为等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证； （2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形． 【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形， ∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°， ∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB， 在△ACN和△MCB中， ∵， ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴AN＝BM． （2）∵△CAN≌△CMB， ∴∠CAN＝∠CMB， 又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠MCF＝∠ACE， 在△CAE和△CMF中， ∵， ∴△CAE≌△CMF（ASA）， ∴CE＝CF， ∴△CEF为等腰三角形， 又∵∠ECF＝60°， ∴△CEF为等边三角形． 21．（2022秋•南充期末）如图，在等边△ABC中，AC＝12cm，点M以2cm/s的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点N以3cm/s的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时运动，运动时间为ts． （1）在点M，N运动过程中，经过几秒时△BMN为等边三角形？ （2）在点M，N运动过程中，△BMN的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间t；若不能，请说明理由． 【分析】（1）由等边三角形的判定，当BM＝BN时，△BMN是等边三角形，由此即可解决问题； （2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：BM＝2t，BN＝12﹣3t． 则当BM＝BN时，△BMN是等边三角形． ∴2t＝12﹣3t． 解得：t＝． ∴经过s时△BMN为等边三角形； （2）分两种情况： ①如图1，当∠BMN＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BNM＝30°． ∴． ∴． ∴． ②如图2，当∠BNM＝90°时，∠BMN＝30°． ∴． ∴． ∴t＝3． ∴在点M，N运动过程中，当运动时间或t＝3s时，△BMN为直角三角形． 22．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°． （1）求证：△ACD为等边三角形； （2）求∠BAC的度数． 【分析】（1）根据＝∠C＝60°计算出∠ADC＝60°，然后求出∠C＝60°，利用等边三角形的判定从而得证； （2）根据＝∠C＝60°°，然后求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠ADB＝120°， ∴∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°， ∵AE⊥BC，， ∴∠AEC＝90° ∴∠C+∠CAE＝90°． ∵∠CAE＝30°， ∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADC＝∠C＝60°， ∴AD＝AC， ∴△ACD为等边三角形； （2）由（1）得：∠C＝60°， ∵△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°． 23．（2022春•林甸县期末）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得出EC＝CD＝DB，进而可证得△ABD≌△ACE，从而可判断出结论． （2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，从而证得△ADF≌△EDC，进而得出结论． 【解答】（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠ABD＝60°，AB＝AC， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC ∵∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴∠DOC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠DOC﹣∠ACE＝30°， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴EC＝CD＝DB， ∴△ABD≌△ACE． ∴AD＝AE，且∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形； （2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF， ∵∠ACB＝60°， ∴△DCF是等边三角形， ∵∠ADF+∠FDE＝∠EDC+∠FDE＝60°， ∴∠ADF＝∠EDC， ∵∠DAF+∠ADE＝∠DEC+∠ACE， ∴∠DAF＝∠DEC， ∴△ADF≌△EDC（AAS）， ∴AD＝ED， 又∵∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 24．（2021秋•随县期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论； （2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD ∵∠EDF＝60°， ∴∠ABD＝∠EDF， ∴∠ABD﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF． 25．（2021秋•白水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB． （1）判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论； （2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解． 【解答】解：（1）△DEF是等边三角形， 理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）连接AC交BD于点O， ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 26．（2021秋•阎良区期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形； （2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长． 【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC， ∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN， ∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形； （2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP， ∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN， ∴BM+PB＝AB＝12cm， ∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴2PB＝BM， ∴2PB+PB＝12cm， ∴PB＝4cm， ∴MC＝4cm． 27．（2022春•汝州市期末）数学课上，张老师举了下面的例题： 例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°） 例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下： 变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数． （1）请你解答上面的变式题． （2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 　60°　． （3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数． 【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解； （2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时， ∠B＝＝50°； 当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°； 当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°， 综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°； （2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°， 故答案为：60°． （3）分两种情况：设∠A＝x°， ①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角， ∴∠B的度数只有一个； ②当0＜x＜90时， 若∠A为顶角，则∠B＝（）°； 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°． 当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x， 即x≠60时，∠B有三个不同的度数． 综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数． 28．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD， （1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED； （2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形； （3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB＝30°，∠ABC＝60°，根据AE＝EB＝BD，可得∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，根据等角对等边即可证得结论； （2）根据平行线的性质证得∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，即可证得结论； （3）先求得BE＝FC，然后证得△DBE≌△EFC即可； 【解答】证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∵E是AB中点， ∴AE＝BE， ∵AE＝BD ∴BE＝BD， ∴∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°， ∴∠EDB＝∠ECB， ∴EC＝ED； （2）如图2，∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°， ∴△AEF为等边三角形； （3）EC＝ED； 理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°， ∴∠EFC＝∠DBE＝120°， ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴ED＝EC． 29．（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　5　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 　BE+CF＝EF　，△AEF的周长是 　20　 （2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 　2　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长 （3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可； （3）由（2）知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系． 【解答】解：（1）BE+CF＝EF． 理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴DB＝DC ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD， ∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF， ∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF， 即BE+CF＝EF， △AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20． 故答案为：5；BE+CF＝EF；20； （2）BE+CF＝EF， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD， ∴BE＝DE，CF＝DF， ∴等腰三角形有△BDE，△CFD， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF． 可得△AEF的周长为18． （3）BE﹣CF＝EF， 由（1）知BE＝ED， ∵EF∥BC， ∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD， ∴CF＝DF， 又∵ED﹣DF＝EF， ∴BE﹣CF＝EF． 30．（2021秋•大荔县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形； （2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系； （3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形； （2）延长ED使得DW＝DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案； （3）利用等边三角形的性质得出∠H＝∠2，进而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图1所示： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°，BC＝． ∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°． ∴DA＝DB． ∵DE⊥AB于点E． ∴AE＝BE＝． ∴BC＝BE． ∴△EBC是等边三角形； （2）结论：AD＝DG+DM． 证明： 如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E， ∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD， 又∵DM＝DW， ∴△WDM是等边三角形， ∴MW＝DM， 在△WGM和△DBM中， ∵ ∴△WGM≌△DBM， ∴BD＝WG＝DG+DM， ∴AD＝DG+DM． （3）结论：AD＝DG﹣DN． 证明：延长BD至H，使得DH＝DN． 由（1）得DA＝DB，∠A＝30°． ∵DE⊥AB于点E． ∴∠2＝∠3＝60°． ∴∠4＝∠5＝60°． ∴△NDH是等边三角形． ∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°． ∴∠H＝∠2． ∵∠BNG＝60°， ∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7． 即∠DNG＝∠HNB． 在△DNG和△HNB中， ∴△DNG≌△HNB（ASA）． ∴DG＝HB． ∵HB＝HD+DB＝ND+AD， ∴DG＝ND+AD． ∴AD＝DG﹣ND．