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人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题导学案
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这是一份人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题导学案，文件包含第13讲最短路径-教师版2024年八上数学同步精品讲义人教版docx、第13讲最短路径-学生版2024年八上数学同步精品讲义人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。
知识点01 最短路径的基本原理
最短路径的基本原理：
①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短
②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。
知识点02 最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短
如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小：
方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。
解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。
证明：∵P与P’关于直线l对称
∴直线l是PP’的 垂直平分线
∴MP ＝ MP’
∴MP＋MQ＝ MP’ ＋MQ＝ P’ Q 。
∴MP＋MQ此时有最小值，为 P’ Q 的长度
题型考点：①基本作图。②求值计算。
【即学即练1】
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：如图，连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴BE+EF＝CE+EF，
∴当C、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD＝CF＝6，
即EF+BE的最小值为6．
故选：B．
知识点03 最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短
如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小：
方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。
解：如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时△PAB的周长最小。
证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称
∴OM是PP’的 垂直平分线 ，ON是PP’’的 垂直平分线 。
∴AP ＝ AP’，BP ＝ BP’’
∴＝ AP’ ＋AB＋ BP’’ ＝ P’ P’’
∴△PAB的周长最小。
题型考点：①基本作图。②求值计算。
【即学即练1】
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小．
故选：D．
【即学即练2】
4．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，
同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．
∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝5，
∴∠COD＝2α．
又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝5，
∴OC＝OD＝CD＝5，
∴△COD是等边三角形，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故选：A．
知识点04 最短路径基本类型——角内两点与角两边构成的四边形周长最短
如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小：
方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。
解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。此时四边形PQMN的周长最下。
证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称
∴OA是QD的 垂直平分线 ，OB是PC的 垂直平分线 。
∴MD ＝ MQ，NP ＝ NC。
＝PQ＋ MD ＋MN＋ NC
＝PQ＋ DC 。
∴四边形PQMN的周长最小。
题型考点：①基本作图。
【即学即练1】
5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图，四边形MNQP为所作．
知识点05 最短路径基本类型——造桥选址问题
如图：平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短：
方法点拨：在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。如下图：
题型考点：①基本作图。
【即学即练1】
6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），
只要AM+BN最短就行，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
题型01 最短路径的作图
【典例1】
小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴A′C＝AC，
∴AC+BC＝A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，
在△A′C′B中，两边之和大于第三边，
∴A′C′+BC′＞A′B，
∴AC′+BC′＞AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C．
【典例2】
如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线m于点Q，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．
故选：B．
【典例3】
如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQB．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQD．路线：PE→EF→FQ
【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，
则EF∥PP′且EF＝PP′，
于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
【典例4】
将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？
【解答】解：如图，线路M→P→Q→N时，MP+PQ+QN的值最小．
【典例5】
如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．
【解答】解：作出点A关于l1的对称点E，点B关于l2的对称点F，连接EF，交于l1，l2于点C，点D，
则AC，CD，BD是他走的最短路线，放羊的位置为C点，饮水的位置为D点．
【典例6】
如图：要求在l1、l2上找出M，N两点．使四边形PQNM的周长最小，在图上画出M，N的位置．（不写画法，保留作图痕迹）
【解答】解：①作P关于l1的对称点P′，作Q关于l2的对称点Q′，
②连接P′Q′，分别交l1和l2于点M和N点，
则PM+MN+QN＝P′M+MN+Q′N＝P′Q′的值最小，
∴此时PQ+PM+MN+QN＝PQ+P′Q′的值最小，
即四边形PQNM的周长最小．
故上图中的M、N两点就是所要求作的点．
题型02 最短路径的计算
【典例1】
如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝4，QD＝3，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝4cm，AD＝DC＝7，
∴QD＝DQ′＝3，
∴CQ′＝BP＝4，
∴AP＝AQ′＝10，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝10，
∴PE+QE的最小值为10．
故选：C．
【典例2】
如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝AC•HF＝CH•AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故选：B．
【典例3】
如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A．aB．2a﹣180°C．180°﹣aD．a﹣90°
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
【典例4】
如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．0.5mB．mC．1.5mD．2m
【解答】解：作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，
由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，
∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，
此时△DEF的周长最小，最小值为GH，
∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，
∴∠GOH＝2∠AOC，
∵∠AOC＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴△GOH是等边三角形，
∴GH＝OD，
∵DO＝m，
∴△DEF周长的最小值为m，
故选：B．
【典例5】
如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（ ）
A．13B．14C．15D．13.5
【解答】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13．
故选：A．
【典例6】
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．7B．9C．11D．14
【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC，，
∴，
∵BC＝6，
∴AF＝8，
∴△PBF周长＝AF+FB＝8+3＝11，
∴△PBF周长的最小值为11，
故选：C．
【典例7】
如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．B．C．a+bD．a
【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故选：B．
【典例8】
如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．αB．2αC．180﹣αD．180﹣2α
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝α°，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAB＝180°﹣α°，
∴∠AA′E+∠A″＝α°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝α°，
∴∠EAF＝180°﹣α°﹣α°＝180°﹣2α°．
故选：D．课程标准
学习目标
①最短路径的基本原理
②最短路径的基本模型
掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，点到直线的距离最短。
掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。
知识点01 最短路径的基本原理
最短路径的基本原理：
①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短
②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。
知识点02 最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短
如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小：
方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。
解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。
证明：∵P与P’关于直线l对称
∴直线l是PP’的 垂直平分线
∴MP ＝ MP’
∴MP＋MQ＝ MP’ ＋MQ＝ P’ Q 。
∴MP＋MQ此时有最小值，为 P’ Q 的长度
题型考点：①基本作图。②求值计算。
【即学即练1】
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：如图，连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴BE+EF＝CE+EF，
∴当C、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD＝CF＝6，
即EF+BE的最小值为6．
故选：B．
知识点03 最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短
如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小：
方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。
解：如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时△PAB的周长最小。
证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称
∴OM是PP’的 垂直平分线 ，ON是PP’’的 垂直平分线 。
∴AP ＝ AP’，BP ＝ BP’’
∴＝ AP’ ＋AB＋ BP’’ ＝ P’ P’’
∴△PAB的周长最小。
题型考点：①基本作图。②求值计算。
【即学即练1】
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小．
故选：D．
【即学即练2】
4．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，
同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．
∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝5，
∴∠COD＝2α．
又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝5，
∴OC＝OD＝CD＝5，
∴△COD是等边三角形，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故选：A．
知识点04 最短路径基本类型——角内两点与角两边构成的四边形周长最短
如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小：
方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。
解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。此时四边形PQMN的周长最下。
证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称
∴OA是QD的 垂直平分线 ，OB是PC的 垂直平分线 。
∴MD ＝ MQ，NP ＝ NC。
＝PQ＋ MD ＋MN＋ NC
＝PQ＋ DC 。
∴四边形PQMN的周长最小。
题型考点：①基本作图。
【即学即练1】
5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图，四边形MNQP为所作．
知识点05 最短路径基本类型——造桥选址问题
如图：平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短：
方法点拨：在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。如下图：
题型考点：①基本作图。
【即学即练1】
6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），
只要AM+BN最短就行，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
题型01 最短路径的作图
【典例1】
小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴A′C＝AC，
∴AC+BC＝A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，
在△A′C′B中，两边之和大于第三边，
∴A′C′+BC′＞A′B，
∴AC′+BC′＞AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C．
【典例2】
如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线m于点Q，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．
故选：B．
【典例3】
如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQB．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQD．路线：PE→EF→FQ
【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，
则EF∥PP′且EF＝PP′，
于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
【典例4】
将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？
【解答】解：如图，线路M→P→Q→N时，MP+PQ+QN的值最小．
【典例5】
如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．
【解答】解：作出点A关于l1的对称点E，点B关于l2的对称点F，连接EF，交于l1，l2于点C，点D，
则AC，CD，BD是他走的最短路线，放羊的位置为C点，饮水的位置为D点．
【典例6】
如图：要求在l1、l2上找出M，N两点．使四边形PQNM的周长最小，在图上画出M，N的位置．（不写画法，保留作图痕迹）
【解答】解：①作P关于l1的对称点P′，作Q关于l2的对称点Q′，
②连接P′Q′，分别交l1和l2于点M和N点，
则PM+MN+QN＝P′M+MN+Q′N＝P′Q′的值最小，
∴此时PQ+PM+MN+QN＝PQ+P′Q′的值最小，
即四边形PQNM的周长最小．
故上图中的M、N两点就是所要求作的点．
题型02 最短路径的计算
【典例1】
如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝4，QD＝3，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝4cm，AD＝DC＝7，
∴QD＝DQ′＝3，
∴CQ′＝BP＝4，
∴AP＝AQ′＝10，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝10，
∴PE+QE的最小值为10．
故选：C．
【典例2】
如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝AC•HF＝CH•AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故选：B．
【典例3】
如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A．aB．2a﹣180°C．180°﹣aD．a﹣90°
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
【典例4】
如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．0.5mB．mC．1.5mD．2m
【解答】解：作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，
由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，
∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，
此时△DEF的周长最小，最小值为GH，
∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，
∴∠GOH＝2∠AOC，
∵∠AOC＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴△GOH是等边三角形，
∴GH＝OD，
∵DO＝m，
∴△DEF周长的最小值为m，
故选：B．
【典例5】
如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（ ）
A．13B．14C．15D．13.5
【解答】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13．
故选：A．
【典例6】
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．7B．9C．11D．14
【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC，，
∴，
∵BC＝6，
∴AF＝8，
∴△PBF周长＝AF+FB＝8+3＝11，
∴△PBF周长的最小值为11，
故选：C．
【典例7】
如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．B．C．a+bD．a
【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故选：B．
【典例8】
如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．αB．2αC．180﹣αD．180﹣2α
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝α°，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAB＝180°﹣α°，
∴∠AA′E+∠A″＝α°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝α°，
∴∠EAF＝180°﹣α°﹣α°＝180°﹣2α°．
故选：D．课程标准
学习目标
①最短路径的基本原理
②最短路径的基本模型
掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，点到直线的距离最短。
掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。
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