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北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项37切线的判定与性质的综合应用(原卷版+解析)
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这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项37切线的判定与性质的综合应用(原卷版+解析)，共44页。
【类型一： 有公共点：连半径，证垂直】
【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．
【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．
【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC
于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．
【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．
【类型一： 没有公共点：作垂直，证半径】
【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．
1．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
2．（2022•八步区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC＝AB，⊙O与BC交于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝6，△ABC的面积．
3．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．
4．（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
5．（2022•宝鸡模拟）如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB＝4，BC＝2，求BE的长．
6．（2022•陇西县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tanB＝，求DE的长．
7．（2022秋•白云区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C为⊙O上的一点，∠A＝25°，∠D＝40°．
（1）求∠DOC的度数．
（2）求证：DC是⊙O的切线．
8．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
9．（2021秋•祥云县期末）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
10．（2022•城关区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求线段BF的长．
11．（2022•南海区校级模拟）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）如果PE＝BE，求证：∠P＝30°；
（3）若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．
12．（2022•赣州模拟）已知⊙O与正方形ABCD如图放置，点A，B在⊙O上．
（1）如图1，连接OC，OD，求证：OC＝OD；
（2）如图2，点M在⊙O上，连接DM，已知⊙O的半径为5，DM＝4，AB＝8；求证：DM是⊙O的切线．
13．（2022秋•南宁期中）小邕做数学题时遇到了如下问题：如图1，△ABD是⊙O的内接三角形，直线l经过点A，点E是直线l上的一点且∠ABD＝∠DAE．求证：直线l是⊙O的切线．小邕添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．
（1）请你根据小邕的思考，写出解决这一问题的过程；
（2）在图3中，作直径BC，连接CD，得到图3．若∠DAE＝30°，AD＝2，AB＝8，求CD的长．
14．（2022•襄城区模拟）如图，BE为⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD⊥BC于点F，DE＝4，OF＝2，求图中阴影部分的面积．
15．（2022•南丹县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，sinC＝，求BD的长．
专项37 切线的判定与性质的综合应用
【类型一： 有公共点：连半径，证垂直】
【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，
∴BP＝AP＝3，
∴BC＝2BP＝6．
【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
则四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝12．
解得：BE＝12，
∵AC是⊙O的切线，
∴CD2＝CE•CB，
即82＝CE（CE+12），
解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），
即CE的长为4．
【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，
∴122+r2＝（8+r）2，
∴r＝5，
∴半径的长度为5．
【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）设该圆的半径为x．
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，
∴1+x＝2x，
解得：x＝1
∴OA＝PD＝1，
所以⊙O的直径为2
【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝∠EFC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∴∠OEF＝∠EFC＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OG⊥AD，垂足为G，
∴∠OGF＝90°，
∵∠OEF＝∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OG＝EF＝3，
设⊙O的半径为x，
∴AB＝AC＝2x，
∵CD＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝2x﹣4，
∵OG⊥AD，
∴AG＝AD＝x﹣2，
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，
∴（x﹣2）2+9＝x2，
∴x＝，
∴⊙O的半径为．
【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC
于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED＝90°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥DO，
∴∠EDO＝180°﹣∠E＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵∠E＝∠EDO＝90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴DE＝CF，∠CFD＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵OD⊥BC，
∴CF＝BC＝4，
∴DE＝CF＝4，
∴ED的长为4
【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，又AO＝BO，
∴OD＝BC＝5，
由勾股定理得，AO＝＝3，
则⊙O的半径为3．
【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝90°，
∵四边形OAEC是平行四边形，
∴AO∥EC，
∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠AOB＝∠AOD，
又∵OA＝OA，OD＝OB，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
∴∠OBA＝∠ODA，
∴∠ODA＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝4，AB＝8，
∴S△ABO＝AB•OB＝×4×8＝16，
∵△AOB≌△AOD，
∴S△AOD＝16，
∴平行四边形OAEC的面积＝2S△AOD＝32．
【类型一： 没有公共点：作垂直，证半径】
【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【解答】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD＝DF，
∴AC与⊙D相切；
（2）解：在△BDE和△DCF中；
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，
∵BC是半圆O的切线，B为切点，
∴OB⊥BC，
∵CO平分∠BCD，
∴OE＝OB，
∵OB是半圆O的半径，
∴CD是半圆O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∴∠DFB＝90°，
∵AD是半圆O的切线，切点为A，
∴∠DAO＝90°，
∵OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴四边形ADFB是矩形，
∴AD＝BF＝20，DF＝AB，
∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，
∴DE＝AD＝20，EC＝BC，
∵CD＝50，
∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，
∴BC＝30，
∴CF＝BC﹣BF＝10，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
DF＝＝＝20，
∴AB＝DF＝20，
∴BC的长为30，AB的长为20．
1．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
2．（2022•八步区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC＝AB，⊙O与BC交于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝6，△ABC的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BC＝2BD，
在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝6，
∴AD＝AB＝3，
BD＝AB•cs30°＝6×＝3，
∴BC＝2BD＝6，
∴△ABC的面积＝BC•AD
＝×6×3
＝9，
∴△ABC的面积为9．
3．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切，
理由：如图，连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∵OB为半径，
∴直线BC与⊙O相切；
（2）在Rt△AOP中，sinA＝，
∵sinA＝，
∴设OP＝x，则AP＝5x，
∵OP2+OA2＝AP2，
∴，
解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），
∴OP＝×＝4，
∵∠OBC＝90°，
∴BC2+OB2＝OC2，
∵CP＝CB，OB＝OA＝8，
∴BC2+82＝（BC+4）2，
解得：BC＝6，
∴CB的长为6．
4．（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是的⊙O的切线；
（2）解：连接CD，BD，
∵DE⊥AE，DE＝2CE，
∴∠E＝90°，
∴CD＝＝＝CE，
∴＝＝，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠ECD＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠E，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝＝．
5．（2022•宝鸡模拟）如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB＝4，BC＝2，求BE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝45°，
∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE＝∠DOC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CF⊥DE于F，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，
由勾股定理得：AC＝＝2，
∵∠COD＝∠ODF＝∠CFD＝90°，
∴四边形ODFC是矩形，
∵OC＝OD，
∴四边形ODFC是正方形，
∴FC＝OC＝，
∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠E，
∴△CEF∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：CE＝，
∴BE＝CE+BC＝．
6．（2022•陇西县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tanB＝，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD＝BC＝3，∠C＝∠B，
∵tanB＝，
∴tanC＝，
设DE＝2x，CE＝3x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝＝x＝3，
∴x＝，
∴DE＝2×＝．
7．（2022秋•白云区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C为⊙O上的一点，∠A＝25°，∠D＝40°．
（1）求∠DOC的度数．
（2）求证：DC是⊙O的切线．
【解答】（1）解：∵OA＝OC，∠A＝25°，
∴∠A＝∠OCA＝25°，
∴∠DOC＝2∠A＝50°；
（2）证明：∵∠DOC＝50°，∠D＝40°，
∴∠DCO＝180°﹣∠D﹣∠DOC＝90°，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
8．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，又AO＝BO，
∴OD＝BC＝5，
由勾股定理得，AO＝＝3，
则⊙O的半径为3．
9．（2021秋•祥云县期末）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠CDB＝60°，
∵∠OBD＝30°，
∴OC⊥BD，
∵AC∥BD，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：扇形OBC的面积＝＝6π，
∵OB＝6，∠OBH＝30°，
∴OH＝3，BH＝3，
△OBH的面积＝×BH×OH＝×3×3＝，
△HCD的面积＝×6×3×＝，
∴阴影部分的面积＝6π﹣+＝6π．
10．（2022•城关区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求线段BF的长．
【解答】（1）证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠AFB＝∠ADC，
∴CD∥BF，
∴∠APD＝∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴PD＝CD，
设OC＝OB＝x，
∴PB＝x﹣1，
∵tan∠BCD＝，
∴PC＝2（x﹣1），
在Rt△POC中，OC2＝PC2+OP2，
∴x2＝（2x﹣2）2+12，
解得x＝，x＝1（舍去），
∴OB＝，
∴PD＝PC＝，AB＝，AP＝
∵∠PAD＝∠BAF，∠APD＝∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
11．（2022•南海区校级模拟）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）如果PE＝BE，求证：∠P＝30°；
（3）若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED＝90°．
∵OC＝OE，
∴∠1＝∠2．
又∵∠PED＝∠C，即∠PED＝∠1，
∴∠PED＝∠2，
∴∠PED+∠OED＝∠2+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB，CD是直径，
∴∠AEB＝∠CED＝90°，
∴∠3＝∠4，
∵AE∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠4，
∵∠CEF+∠4＝90°，
∴∠1+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝∠EFP＝90°，
∴BE⊥CD，
∵CD是直径，
∴EF＝FB，
∵EP＝EB，
∴PE＝2EF，
∴∠P＝30°；
（3）解：设EF＝x，则CF＝2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF＝2x﹣5，
在Rt△OEF中，OE2＝OF2+EF2，即52＝x2+（2x﹣5）2，
解得x＝4，
∴EF＝4，
∴BE＝2EF＝8，CF＝2EF＝8，
∴DF＝CD﹣CF＝10﹣8＝2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝6，
∵∠BEP＝∠A，∠EFP＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴＝，即＝，
∴PF＝，
∴PD＝PF﹣DF＝﹣2＝．
12．（2022•赣州模拟）已知⊙O与正方形ABCD如图放置，点A，B在⊙O上．
（1）如图1，连接OC，OD，求证：OC＝OD；
（2）如图2，点M在⊙O上，连接DM，已知⊙O的半径为5，DM＝4，AB＝8；求证：DM是⊙O的切线．
【解答】证明：（1连接OA、OB，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴OAB+∠BAD＝∠OBA+∠ABC，
即∠OAD＝∠OBC，
在△OAD和△OBC中，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD＝OC；
（2）过O点作OH⊥CD于H点，交AB于E点，连接OM、OD、OB，如图2，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∴AE＝BE＝4，
在Rt△OBE中，OE＝＝＝3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB＝AD＝8，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠BAD＝∠ADC＝∠EHD＝90°，
∴四边形AEHD为矩形，
∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝8，
在Rt△OHD中，∵DH＝4，OH＝11，
∴OD＝＝，
∵OM＝5，DM＝4，OD＝，
∴OM2+DE2＝OD2，
∴△OMD为直角三角形，∠OMD＝90°，
∴OM⊥DM，
∵OM为⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线．
13．（2022秋•南宁期中）小邕做数学题时遇到了如下问题：如图1，△ABD是⊙O的内接三角形，直线l经过点A，点E是直线l上的一点且∠ABD＝∠DAE．求证：直线l是⊙O的切线．小邕添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．
（1）请你根据小邕的思考，写出解决这一问题的过程；
（2）在图3中，作直径BC，连接CD，得到图3．若∠DAE＝30°，AD＝2，AB＝8，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图2，作直径AF，连接DF，
则∠ADF＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠AFD，
∵∠ABD＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠AFD，
∴∠DAF+∠DAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∵AF是⊙O的直径，
∴直线l是⊙O的切线；
（2）解：如图3，过点A作AH⊥BD于H，
∵∠DAE＝30°，∠ABD＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠DAE＝30°，AF＝2AD＝4，
∴AH＝AB＝4，BH＝AB＝4，
由勾股定理得：DH＝＝2，
∴BD＝BH+DH＝6，
∴CD＝＝2．
14．（2022•襄城区模拟）如图，BE为⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD⊥BC于点F，DE＝4，OF＝2，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B，
∵∠D＝∠B，
∴∠OAB＝∠D，
∵∠EAC＝∠D，
∴∠EAC＝∠OAB，
∴∠EAC+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴＝，
∴AE＝DE＝4，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中，AF2＝OA2﹣OF2＝r2﹣4，
在Rt△AEF中，AF2＝AE2﹣EF2＝16﹣（r﹣2）2，
∴r2﹣4＝16﹣（r﹣2）2，
∴r＝4或r＝﹣2（舍去），
∴OA＝OE＝4，
∵OA＝OE＝AE＝4，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
在Rt△OAC中，AC＝OA•tan60°＝4，
∴阴影部分的面积＝△OAC的面积﹣扇形OAE的面积
＝AC•OA﹣
＝×4×4﹣π
＝8﹣π，
∴阴影部分的面积为8﹣π．
15．（2022•南丹县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，sinC＝，求BD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BC＝4，
∴BC＝8，
∵sinC＝＝，
∴BD＝8×＝．
【类型一： 有公共点：连半径，证垂直】
【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．
【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．
【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC
于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．
【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．
【类型一： 没有公共点：作垂直，证半径】
【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．
1．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
2．（2022•八步区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC＝AB，⊙O与BC交于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝6，△ABC的面积．
3．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．
4．（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
5．（2022•宝鸡模拟）如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB＝4，BC＝2，求BE的长．
6．（2022•陇西县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tanB＝，求DE的长．
7．（2022秋•白云区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C为⊙O上的一点，∠A＝25°，∠D＝40°．
（1）求∠DOC的度数．
（2）求证：DC是⊙O的切线．
8．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
9．（2021秋•祥云县期末）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
10．（2022•城关区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求线段BF的长．
11．（2022•南海区校级模拟）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）如果PE＝BE，求证：∠P＝30°；
（3）若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．
12．（2022•赣州模拟）已知⊙O与正方形ABCD如图放置，点A，B在⊙O上．
（1）如图1，连接OC，OD，求证：OC＝OD；
（2）如图2，点M在⊙O上，连接DM，已知⊙O的半径为5，DM＝4，AB＝8；求证：DM是⊙O的切线．
13．（2022秋•南宁期中）小邕做数学题时遇到了如下问题：如图1，△ABD是⊙O的内接三角形，直线l经过点A，点E是直线l上的一点且∠ABD＝∠DAE．求证：直线l是⊙O的切线．小邕添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．
（1）请你根据小邕的思考，写出解决这一问题的过程；
（2）在图3中，作直径BC，连接CD，得到图3．若∠DAE＝30°，AD＝2，AB＝8，求CD的长．
14．（2022•襄城区模拟）如图，BE为⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD⊥BC于点F，DE＝4，OF＝2，求图中阴影部分的面积．
15．（2022•南丹县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，sinC＝，求BD的长．
专项37 切线的判定与性质的综合应用
【类型一： 有公共点：连半径，证垂直】
【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，
∴BP＝AP＝3，
∴BC＝2BP＝6．
【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
则四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝12．
解得：BE＝12，
∵AC是⊙O的切线，
∴CD2＝CE•CB，
即82＝CE（CE+12），
解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），
即CE的长为4．
【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，
∴122+r2＝（8+r）2，
∴r＝5，
∴半径的长度为5．
【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）设该圆的半径为x．
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，
∴1+x＝2x，
解得：x＝1
∴OA＝PD＝1，
所以⊙O的直径为2
【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝∠EFC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∴∠OEF＝∠EFC＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OG⊥AD，垂足为G，
∴∠OGF＝90°，
∵∠OEF＝∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OG＝EF＝3，
设⊙O的半径为x，
∴AB＝AC＝2x，
∵CD＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝2x﹣4，
∵OG⊥AD，
∴AG＝AD＝x﹣2，
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，
∴（x﹣2）2+9＝x2，
∴x＝，
∴⊙O的半径为．
【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC
于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED＝90°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥DO，
∴∠EDO＝180°﹣∠E＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵∠E＝∠EDO＝90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴DE＝CF，∠CFD＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵OD⊥BC，
∴CF＝BC＝4，
∴DE＝CF＝4，
∴ED的长为4
【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，又AO＝BO，
∴OD＝BC＝5，
由勾股定理得，AO＝＝3，
则⊙O的半径为3．
【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝90°，
∵四边形OAEC是平行四边形，
∴AO∥EC，
∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠AOB＝∠AOD，
又∵OA＝OA，OD＝OB，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
∴∠OBA＝∠ODA，
∴∠ODA＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝4，AB＝8，
∴S△ABO＝AB•OB＝×4×8＝16，
∵△AOB≌△AOD，
∴S△AOD＝16，
∴平行四边形OAEC的面积＝2S△AOD＝32．
【类型一： 没有公共点：作垂直，证半径】
【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【解答】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD＝DF，
∴AC与⊙D相切；
（2）解：在△BDE和△DCF中；
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，
∵BC是半圆O的切线，B为切点，
∴OB⊥BC，
∵CO平分∠BCD，
∴OE＝OB，
∵OB是半圆O的半径，
∴CD是半圆O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∴∠DFB＝90°，
∵AD是半圆O的切线，切点为A，
∴∠DAO＝90°，
∵OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴四边形ADFB是矩形，
∴AD＝BF＝20，DF＝AB，
∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，
∴DE＝AD＝20，EC＝BC，
∵CD＝50，
∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，
∴BC＝30，
∴CF＝BC﹣BF＝10，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
DF＝＝＝20，
∴AB＝DF＝20，
∴BC的长为30，AB的长为20．
1．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
2．（2022•八步区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC＝AB，⊙O与BC交于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝6，△ABC的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BC＝2BD，
在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝6，
∴AD＝AB＝3，
BD＝AB•cs30°＝6×＝3，
∴BC＝2BD＝6，
∴△ABC的面积＝BC•AD
＝×6×3
＝9，
∴△ABC的面积为9．
3．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切，
理由：如图，连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∵OB为半径，
∴直线BC与⊙O相切；
（2）在Rt△AOP中，sinA＝，
∵sinA＝，
∴设OP＝x，则AP＝5x，
∵OP2+OA2＝AP2，
∴，
解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），
∴OP＝×＝4，
∵∠OBC＝90°，
∴BC2+OB2＝OC2，
∵CP＝CB，OB＝OA＝8，
∴BC2+82＝（BC+4）2，
解得：BC＝6，
∴CB的长为6．
4．（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是的⊙O的切线；
（2）解：连接CD，BD，
∵DE⊥AE，DE＝2CE，
∴∠E＝90°，
∴CD＝＝＝CE，
∴＝＝，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠ECD＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠E，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝＝．
5．（2022•宝鸡模拟）如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB＝4，BC＝2，求BE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝45°，
∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE＝∠DOC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CF⊥DE于F，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，
由勾股定理得：AC＝＝2，
∵∠COD＝∠ODF＝∠CFD＝90°，
∴四边形ODFC是矩形，
∵OC＝OD，
∴四边形ODFC是正方形，
∴FC＝OC＝，
∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠E，
∴△CEF∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：CE＝，
∴BE＝CE+BC＝．
6．（2022•陇西县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tanB＝，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD＝BC＝3，∠C＝∠B，
∵tanB＝，
∴tanC＝，
设DE＝2x，CE＝3x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝＝x＝3，
∴x＝，
∴DE＝2×＝．
7．（2022秋•白云区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C为⊙O上的一点，∠A＝25°，∠D＝40°．
（1）求∠DOC的度数．
（2）求证：DC是⊙O的切线．
【解答】（1）解：∵OA＝OC，∠A＝25°，
∴∠A＝∠OCA＝25°，
∴∠DOC＝2∠A＝50°；
（2）证明：∵∠DOC＝50°，∠D＝40°，
∴∠DCO＝180°﹣∠D﹣∠DOC＝90°，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
8．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，又AO＝BO，
∴OD＝BC＝5，
由勾股定理得，AO＝＝3，
则⊙O的半径为3．
9．（2021秋•祥云县期末）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠CDB＝60°，
∵∠OBD＝30°，
∴OC⊥BD，
∵AC∥BD，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：扇形OBC的面积＝＝6π，
∵OB＝6，∠OBH＝30°，
∴OH＝3，BH＝3，
△OBH的面积＝×BH×OH＝×3×3＝，
△HCD的面积＝×6×3×＝，
∴阴影部分的面积＝6π﹣+＝6π．
10．（2022•城关区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求线段BF的长．
【解答】（1）证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠AFB＝∠ADC，
∴CD∥BF，
∴∠APD＝∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴PD＝CD，
设OC＝OB＝x，
∴PB＝x﹣1，
∵tan∠BCD＝，
∴PC＝2（x﹣1），
在Rt△POC中，OC2＝PC2+OP2，
∴x2＝（2x﹣2）2+12，
解得x＝，x＝1（舍去），
∴OB＝，
∴PD＝PC＝，AB＝，AP＝
∵∠PAD＝∠BAF，∠APD＝∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
11．（2022•南海区校级模拟）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）如果PE＝BE，求证：∠P＝30°；
（3）若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED＝90°．
∵OC＝OE，
∴∠1＝∠2．
又∵∠PED＝∠C，即∠PED＝∠1，
∴∠PED＝∠2，
∴∠PED+∠OED＝∠2+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB，CD是直径，
∴∠AEB＝∠CED＝90°，
∴∠3＝∠4，
∵AE∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠4，
∵∠CEF+∠4＝90°，
∴∠1+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝∠EFP＝90°，
∴BE⊥CD，
∵CD是直径，
∴EF＝FB，
∵EP＝EB，
∴PE＝2EF，
∴∠P＝30°；
（3）解：设EF＝x，则CF＝2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF＝2x﹣5，
在Rt△OEF中，OE2＝OF2+EF2，即52＝x2+（2x﹣5）2，
解得x＝4，
∴EF＝4，
∴BE＝2EF＝8，CF＝2EF＝8，
∴DF＝CD﹣CF＝10﹣8＝2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝6，
∵∠BEP＝∠A，∠EFP＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴＝，即＝，
∴PF＝，
∴PD＝PF﹣DF＝﹣2＝．
12．（2022•赣州模拟）已知⊙O与正方形ABCD如图放置，点A，B在⊙O上．
（1）如图1，连接OC，OD，求证：OC＝OD；
（2）如图2，点M在⊙O上，连接DM，已知⊙O的半径为5，DM＝4，AB＝8；求证：DM是⊙O的切线．
【解答】证明：（1连接OA、OB，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴OAB+∠BAD＝∠OBA+∠ABC，
即∠OAD＝∠OBC，
在△OAD和△OBC中，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD＝OC；
（2）过O点作OH⊥CD于H点，交AB于E点，连接OM、OD、OB，如图2，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∴AE＝BE＝4，
在Rt△OBE中，OE＝＝＝3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB＝AD＝8，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠BAD＝∠ADC＝∠EHD＝90°，
∴四边形AEHD为矩形，
∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝8，
在Rt△OHD中，∵DH＝4，OH＝11，
∴OD＝＝，
∵OM＝5，DM＝4，OD＝，
∴OM2+DE2＝OD2，
∴△OMD为直角三角形，∠OMD＝90°，
∴OM⊥DM，
∵OM为⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线．
13．（2022秋•南宁期中）小邕做数学题时遇到了如下问题：如图1，△ABD是⊙O的内接三角形，直线l经过点A，点E是直线l上的一点且∠ABD＝∠DAE．求证：直线l是⊙O的切线．小邕添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．
（1）请你根据小邕的思考，写出解决这一问题的过程；
（2）在图3中，作直径BC，连接CD，得到图3．若∠DAE＝30°，AD＝2，AB＝8，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图2，作直径AF，连接DF，
则∠ADF＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠AFD，
∵∠ABD＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠AFD，
∴∠DAF+∠DAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∵AF是⊙O的直径，
∴直线l是⊙O的切线；
（2）解：如图3，过点A作AH⊥BD于H，
∵∠DAE＝30°，∠ABD＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠DAE＝30°，AF＝2AD＝4，
∴AH＝AB＝4，BH＝AB＝4，
由勾股定理得：DH＝＝2，
∴BD＝BH+DH＝6，
∴CD＝＝2．
14．（2022•襄城区模拟）如图，BE为⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD⊥BC于点F，DE＝4，OF＝2，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B，
∵∠D＝∠B，
∴∠OAB＝∠D，
∵∠EAC＝∠D，
∴∠EAC＝∠OAB，
∴∠EAC+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴＝，
∴AE＝DE＝4，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中，AF2＝OA2﹣OF2＝r2﹣4，
在Rt△AEF中，AF2＝AE2﹣EF2＝16﹣（r﹣2）2，
∴r2﹣4＝16﹣（r﹣2）2，
∴r＝4或r＝﹣2（舍去），
∴OA＝OE＝4，
∵OA＝OE＝AE＝4，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
在Rt△OAC中，AC＝OA•tan60°＝4，
∴阴影部分的面积＝△OAC的面积﹣扇形OAE的面积
＝AC•OA﹣
＝×4×4﹣π
＝8﹣π，
∴阴影部分的面积为8﹣π．
15．（2022•南丹县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，sinC＝，求BD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BC＝4，
∴BC＝8，
∵sinC＝＝，
∴BD＝8×＝．
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