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北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项43定弦定角(原卷版+解析)
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这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项43定弦定角(原卷版+解析)，共33页。
若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。
备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。
原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
请在上方后面的图形中找到圆心。
【方法技巧】
解题技巧：构造隐圆
定弦定角解决问题的步骤：
（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。
（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）
（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置
（4）计算隐形圆的半径
（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来
（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径
【典例1】如图，已知矩形ABCD．
（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；
（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；
（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．
【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．4﹣3
【变式2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．
【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．6B．9C．6D．9
【变式3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
【典例4】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【变式4】（2022•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【典例5】（2020秋•无锡期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 ．
1．（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（ ）
A．1.5B．C．D．2
2．（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
3．（2021秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
4．（2022•巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．2﹣2B．C．4D．2
5．（2021•广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
7．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 ．
8．（2021•柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
9．（2021秋•灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是 ．
（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．
11．【问题提出】
（1）如图①，点O是正方形ABCD的对称中心，点E，F分别在AB，BC边上，且∠EOF＝90°，连接BO，则线段BE，BF，BO之间满足的等量关系为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，连接AD，求AD的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某县政府为解决农业灌溉问题，加强农田水利“最后一公里”建设，改善农田灌溉、生态治理等水利民生工作，计划给该县管辖下的村庄A，B，C修建总扬水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．为了灌溉更多的农田，需要三条支渠总长（AD+BD+CD）尽可能长．已知预建的总扬水站D及支渠BD，CD满足∠BDC＝60°．你认为该县政府的想法能否实现？若能，求出三条支渠总长的最大值；若不能，请说明理由．
专项43 定弦定角
若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。
备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。
原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
请在上方后面的图形中找到圆心。
【方法技巧】
解题技巧：构造隐圆
定弦定角解决问题的步骤：
（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。
（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）
（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置
（4）计算隐形圆的半径
（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来
（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径
【典例1】如图，已知矩形ABCD．
（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；
（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；
（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．
【解答】解：（1）如图，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O为圆心，OA为半径画圆，
则即为所求；
（2）如图，以AB为直径作圆，则即为所求（不与A、B重合）；
（3）如图，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求（不与A、B重合）；．
【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．4﹣3
【答案】A
【解答】解：连接CD，则∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135°
∵BC＝4，
∴点D在以BC为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°，
设圆心为O，连接BO、CO、DO，
则△BCO为等腰直角三角形，
∴CO＝4，∠BCO＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACO＝90°，
∴AO＝＝＝5，
∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（当且仅当D是AF与圆弧的交点时取等号），
∴线段AD的长的最小值为1，
故选：A．
【变式2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．
【答案】2﹣2
【解答】解：连接AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，
∴AB＝AC＝4，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．
故答案为2﹣2．
【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．6B．9C．6D．9
【答案】B
【解答】解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆⊙D，如图1，
∵OA＝OB＝6，AB＝6，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝6，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝9，
∴△ABC的最大面积为9．
故选：B．
【变式3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接OA、OB，如图1，
∵OA＝OB＝1，AB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝1，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如图2，作△ABC的外接圆D，
当点C在优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，
∴△ABC的最大面积为．
故选：D
【典例4】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【答案】﹣1
【解答】解：连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以A点为圆心，1为半径的圆上，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣1＝﹣1，
即CD的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【变式4】（2022•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【答案】2﹣2
【解答】解：连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣2＝2﹣2，
即CD的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【典例5】（2020秋•无锡期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 ．
【答案】﹣
【解答】解：如图，取OA是中点T，连接CT，DT，OP，OC，过点C作CH⊥AB于H．
∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∵CH⊥OB，
∴OH＝HB＝，CH＝OH＝，
∵AT＝TO＝，AD＝DP，
∴DT＝OP＝，
在Rt△CTH中，∵TH＝OT+OH＝1，CH＝，
∴CT＝＝＝，
∴CD≥CT﹣DT，
∴CD≥﹣，
∴CD的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
1．（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（ ）
A．1.5B．C．D．2
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，
设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴PD＝，BD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故选：B．
2．（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
取AB的中点E，连接DE，CE，
∴DE＝AB＝4，
∴OC＝OB＝4，
∵CD≥CE﹣DE，
∴CD的最小值为4﹣4，
故选：D．
3．（2021秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值为2﹣4，
故选：C．
4．（2022•巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．2﹣2B．C．4D．2
【答案】A
【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．
∵∠BPE＝∠EOB，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，
∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝3，AE：EB＝1：2，
∴BE＝2，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四边形AQOJ是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝2，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，
故选：A
5．（2021•广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABM＝60°，
∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，
∴BM＝CN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠ABP+∠CBN＝60°，
∴∠ABP+∠BAM＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∴点P在弧AB上运动，
∴当＝时，△PAB的面积最大，最大值＝×2×1＝，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】9+9
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，
当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，
由题意可知，BC边上的高的最大值为：3+3，
∴△ABC面积的最大值为：×6×（3+3）＝9+9，
故答案为：9+9．
7．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝5，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
8．（2021•柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cs30°＝2，OA＝OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1．
9．（2021秋•灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是 ．
（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故答案为2；
（2）如图2中，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，
∴DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（3）如图3中，
∵EF＝2，点G为EF的中点，
∴DG＝1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，
此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝2，AD＝3，
∴AA′＝4，
∴A′D＝5，
∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，
∴PA+PG的最小值为4，
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．
【解答】解：延长BA到D，使AD＝AC，连接DC，作△BDC的外接圆⊙O，
∴AB+AC＝DB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠D＝45°，
∴当BD是⊙O直径时，BD取得最大值，
即AB+AC取得最大值，
当BD是⊙O直径，∠D＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝6，
∴AB+AC的最大值为：6．
11．【问题提出】
（1）如图①，点O是正方形ABCD的对称中心，点E，F分别在AB，BC边上，且∠EOF＝90°，连接BO，则线段BE，BF，BO之间满足的等量关系为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，连接AD，求AD的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某县政府为解决农业灌溉问题，加强农田水利“最后一公里”建设，改善农田灌溉、生态治理等水利民生工作，计划给该县管辖下的村庄A，B，C修建总扬水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．为了灌溉更多的农田，需要三条支渠总长（AD+BD+CD）尽可能长．已知预建的总扬水站D及支渠BD，CD满足∠BDC＝60°．你认为该县政府的想法能否实现？若能，求出三条支渠总长的最大值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
连接OC，
∵四边形ABCD是正方形，O是对称中心，
∴∠BOC＝90°，OB＝OC，∠EBO＝∠FCO＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠BOC，
∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF，
∵BC＝OB，
∴BF+CF＝OB，
∴BF+BE＝OB，
故答案为：BF+BE＝；
（2）如图2，
作等腰直角△ABE，使∠AEB＝90°，AE＝BE，
∴∠ABE＝45°，＝，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠CBD＝45°，＝，
∴∠ABE＝∠CBD，＝，
∴∠ABC＝∠EBD，
∴△ABC∽△EBD，
∴＝，
∴DE＝AC＝，
∵AD≤AE+DE，
∴当点A、E、D共线时，AD最大，
∵AE＝AB＝2，
∴AD最大值为：3；
（3）如图3，
该县政府的想法能实现，理由如下：
∴∠BAC＝120°，∠BDC＝60°，
∴∠BAC+∠BCD＝180°，
∴四边形ABCD内接于圆O，
延长CD至E，使CE＝BD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠EAC＝∠BAD，AE＝AD，
∴∠EAC+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，DE＝CD+CE＝CD+BD，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴DE＝，
∴BD+AD+CD＝DE+AD＝（）AD，
∴当AD最大时，BD+AD+CD最大，
∴当AD是⊙O的直径时，BD+AD+CD最大，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ADB＝∠ACB＝30°，
∴直径R＝＝2AB＝12，
∴BD+AD+CD最大值为：12（）＝12+12．
若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。
备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。
原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
请在上方后面的图形中找到圆心。
【方法技巧】
解题技巧：构造隐圆
定弦定角解决问题的步骤：
（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。
（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）
（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置
（4）计算隐形圆的半径
（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来
（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径
【典例1】如图，已知矩形ABCD．
（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；
（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；
（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．
【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．4﹣3
【变式2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．
【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．6B．9C．6D．9
【变式3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
【典例4】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【变式4】（2022•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【典例5】（2020秋•无锡期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 ．
1．（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（ ）
A．1.5B．C．D．2
2．（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
3．（2021秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
4．（2022•巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．2﹣2B．C．4D．2
5．（2021•广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
7．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 ．
8．（2021•柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
9．（2021秋•灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是 ．
（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．
11．【问题提出】
（1）如图①，点O是正方形ABCD的对称中心，点E，F分别在AB，BC边上，且∠EOF＝90°，连接BO，则线段BE，BF，BO之间满足的等量关系为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，连接AD，求AD的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某县政府为解决农业灌溉问题，加强农田水利“最后一公里”建设，改善农田灌溉、生态治理等水利民生工作，计划给该县管辖下的村庄A，B，C修建总扬水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．为了灌溉更多的农田，需要三条支渠总长（AD+BD+CD）尽可能长．已知预建的总扬水站D及支渠BD，CD满足∠BDC＝60°．你认为该县政府的想法能否实现？若能，求出三条支渠总长的最大值；若不能，请说明理由．
专项43 定弦定角
若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。
备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。
原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
请在上方后面的图形中找到圆心。
【方法技巧】
解题技巧：构造隐圆
定弦定角解决问题的步骤：
（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。
（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）
（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置
（4）计算隐形圆的半径
（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来
（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径
【典例1】如图，已知矩形ABCD．
（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；
（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；
（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．
【解答】解：（1）如图，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O为圆心，OA为半径画圆，
则即为所求；
（2）如图，以AB为直径作圆，则即为所求（不与A、B重合）；
（3）如图，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求（不与A、B重合）；．
【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．4﹣3
【答案】A
【解答】解：连接CD，则∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135°
∵BC＝4，
∴点D在以BC为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°，
设圆心为O，连接BO、CO、DO，
则△BCO为等腰直角三角形，
∴CO＝4，∠BCO＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACO＝90°，
∴AO＝＝＝5，
∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（当且仅当D是AF与圆弧的交点时取等号），
∴线段AD的长的最小值为1，
故选：A．
【变式2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．
【答案】2﹣2
【解答】解：连接AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，
∴AB＝AC＝4，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．
故答案为2﹣2．
【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．6B．9C．6D．9
【答案】B
【解答】解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆⊙D，如图1，
∵OA＝OB＝6，AB＝6，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝6，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝9，
∴△ABC的最大面积为9．
故选：B．
【变式3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接OA、OB，如图1，
∵OA＝OB＝1，AB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝1，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如图2，作△ABC的外接圆D，
当点C在优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，
∴△ABC的最大面积为．
故选：D
【典例4】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【答案】﹣1
【解答】解：连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以A点为圆心，1为半径的圆上，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣1＝﹣1，
即CD的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【变式4】（2022•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【答案】2﹣2
【解答】解：连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣2＝2﹣2，
即CD的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【典例5】（2020秋•无锡期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 ．
【答案】﹣
【解答】解：如图，取OA是中点T，连接CT，DT，OP，OC，过点C作CH⊥AB于H．
∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∵CH⊥OB，
∴OH＝HB＝，CH＝OH＝，
∵AT＝TO＝，AD＝DP，
∴DT＝OP＝，
在Rt△CTH中，∵TH＝OT+OH＝1，CH＝，
∴CT＝＝＝，
∴CD≥CT﹣DT，
∴CD≥﹣，
∴CD的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
1．（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（ ）
A．1.5B．C．D．2
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，
设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴PD＝，BD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故选：B．
2．（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
取AB的中点E，连接DE，CE，
∴DE＝AB＝4，
∴OC＝OB＝4，
∵CD≥CE﹣DE，
∴CD的最小值为4﹣4，
故选：D．
3．（2021秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值为2﹣4，
故选：C．
4．（2022•巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．2﹣2B．C．4D．2
【答案】A
【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．
∵∠BPE＝∠EOB，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，
∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝3，AE：EB＝1：2，
∴BE＝2，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四边形AQOJ是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝2，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，
故选：A
5．（2021•广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABM＝60°，
∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，
∴BM＝CN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠ABP+∠CBN＝60°，
∴∠ABP+∠BAM＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∴点P在弧AB上运动，
∴当＝时，△PAB的面积最大，最大值＝×2×1＝，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】9+9
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，
当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，
由题意可知，BC边上的高的最大值为：3+3，
∴△ABC面积的最大值为：×6×（3+3）＝9+9，
故答案为：9+9．
7．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝5，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
8．（2021•柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cs30°＝2，OA＝OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1．
9．（2021秋•灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是 ．
（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故答案为2；
（2）如图2中，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，
∴DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（3）如图3中，
∵EF＝2，点G为EF的中点，
∴DG＝1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，
此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝2，AD＝3，
∴AA′＝4，
∴A′D＝5，
∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，
∴PA+PG的最小值为4，
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．
【解答】解：延长BA到D，使AD＝AC，连接DC，作△BDC的外接圆⊙O，
∴AB+AC＝DB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠D＝45°，
∴当BD是⊙O直径时，BD取得最大值，
即AB+AC取得最大值，
当BD是⊙O直径，∠D＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝6，
∴AB+AC的最大值为：6．
11．【问题提出】
（1）如图①，点O是正方形ABCD的对称中心，点E，F分别在AB，BC边上，且∠EOF＝90°，连接BO，则线段BE，BF，BO之间满足的等量关系为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，连接AD，求AD的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某县政府为解决农业灌溉问题，加强农田水利“最后一公里”建设，改善农田灌溉、生态治理等水利民生工作，计划给该县管辖下的村庄A，B，C修建总扬水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．为了灌溉更多的农田，需要三条支渠总长（AD+BD+CD）尽可能长．已知预建的总扬水站D及支渠BD，CD满足∠BDC＝60°．你认为该县政府的想法能否实现？若能，求出三条支渠总长的最大值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
连接OC，
∵四边形ABCD是正方形，O是对称中心，
∴∠BOC＝90°，OB＝OC，∠EBO＝∠FCO＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠BOC，
∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF，
∵BC＝OB，
∴BF+CF＝OB，
∴BF+BE＝OB，
故答案为：BF+BE＝；
（2）如图2，
作等腰直角△ABE，使∠AEB＝90°，AE＝BE，
∴∠ABE＝45°，＝，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠CBD＝45°，＝，
∴∠ABE＝∠CBD，＝，
∴∠ABC＝∠EBD，
∴△ABC∽△EBD，
∴＝，
∴DE＝AC＝，
∵AD≤AE+DE，
∴当点A、E、D共线时，AD最大，
∵AE＝AB＝2，
∴AD最大值为：3；
（3）如图3，
该县政府的想法能实现，理由如下：
∴∠BAC＝120°，∠BDC＝60°，
∴∠BAC+∠BCD＝180°，
∴四边形ABCD内接于圆O，
延长CD至E，使CE＝BD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠EAC＝∠BAD，AE＝AD，
∴∠EAC+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，DE＝CD+CE＝CD+BD，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴DE＝，
∴BD+AD+CD＝DE+AD＝（）AD，
∴当AD最大时，BD+AD+CD最大，
∴当AD是⊙O的直径时，BD+AD+CD最大，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ADB＝∠ACB＝30°，
∴直径R＝＝2AB＝12，
∴BD+AD+CD最大值为：12（）＝12+12．
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