北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项34利用垂径定理求线段长度(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项34利用垂径定理求线段长度(原卷版+解析)，共38页。

考点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，
∴ AE＝BE,
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦（不是直径），且AE＝BE.
弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【典例1】（2022秋•甘井子区校级期末）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．3D．
【变式1-1】（2022秋•潼南区期末）如图，AB是⊙O的直径，B是劣弧的中点，AB和CD相交于点E，AB＝10，OE＝4BE，则CD的长为（ ）
A．4B．6C．4D．8
【变式1-2】（2022秋•海港区期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的直径为4，则弦AB的长为（ ）
A．4B．C．D．2
【变式1-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．6
【典例2】（2022秋•丰满区校级期末）图1是吉林市的彩虹桥图片．图2是彩虹桥示意图，桥拱（ADB）可以近似看作半径为25m的圆弧，桥拱（弧AB）和路面（弦AB）之间用九根钢索相连，钢索垂直路面（弦AB），路面（弦AB）长度为40m，若这九根钢索将路面（弦AB）十等分，求最长钢索CD的长度．
【变式2-1】（2022秋•蔡甸区期末）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（2022秋•河西区校级期末）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，则弧CED所在圆的半径为（ ）
A．B．4C．5D．
【变式2-3】（2022秋•泰兴市期末）如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB＝48米，拱高CD＝16米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．则桥拱所在圆的半径为 米．
【典例3】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．
【变式3-1】（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
【变式3-2】（2022秋•铁西区月考）如图，某地有一座圆弧形拱桥其圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）夏季雨季来临时，当水面离桥顶C距离为1m时，就要禁止通行，某天暴雨后桥下水面宽度EF为3m，请通过计算说明是否要禁止通行．
1．（2022秋•河西区校级期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．米C．6米D．米
2．（2022秋•门头沟区期末）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 米．
3．（2021秋•任城区校级期末）在直径为20m的圆柱形油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB＝12m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为16m，那么液面上升了 m．
4．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是 cm．
5．（2022秋•孝南区期末）小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝4cm，AB＝16cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
（2022秋•越秀区校级期末）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径
为 m．
7．（2022秋•利通区期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是 ．
8．（2022秋•河北区校级期末）蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为 m．
9．（2022秋•凤凰县期末）如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10米，拱高CD＝7米，则此圆的半径OA＝ ．
10．（2022•防城区校级模拟）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，CD⊥AB且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为 ．
11．（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
12．（2022秋•江都区月考）将一个篮球放在高为18cm的长方体纸盒内，发现篮球的一部分露出纸盒，其截面如图所示，若测得AB＝24cm，则该篮球的半径为 cm．
13．（2022秋•咸宁月考）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是 寸．（1尺＝10寸）
14．（2020秋•禅城区校级期中）如图，某隧道的截面是一个半径为3.4米的半圆形，一辆宽3.2米的厢式卡车（截面是长方形）恰好能通过该隧道，则这辆卡车的高为多少米？
15．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD＝300m，EF＝50m，求这段弯路的半径．
16．（2022秋•新昌县期中）市区古城门外有一水门（也可以说是一种特殊的拱桥），已知水门的跨径（水门桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（水门桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此水门的桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）．
17．（2022秋•余杭区校级月考）如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度．
18．（2022秋•海淀区校级月考）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝10米，OE⊥CD于点E，此时测得OE：CD＝3：8．
（1）求CD的长；
（2）如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
19．（2022秋•湖口县期中）如图是某隧道入口的截面示意图，其上方是一个半圆，下方是一个长方形，现有一辆满载货物的卡车，宽3米，高4米，请判断这辆卡车能否通过该隧道．
20．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
21．（2022秋•红安县期中）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 米．
专项34 利用垂径定理求线段长度
考点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，
∴ AE＝BE,
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦（不是直径），且AE＝BE.
弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【典例1】（2022秋•甘井子区校级期末）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．3D．
【答案】B
【解答】解：∵弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OC为3cm，
∴AC＝BC＝4cm，∠ACO＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝＝5（cm）．
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•潼南区期末）如图，AB是⊙O的直径，B是劣弧的中点，AB和CD相交于点E，AB＝10，OE＝4BE，则CD的长为（ ）
A．4B．6C．4D．8
【答案】B
【解答】解：连接OC，
∵直径OB＝OC＝5，
∵OE＝4BE，
∴BE＝1，OE＝4，
∵AB是⊙O的直径，B是劣弧的中点，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE，
由勾股定理得：CE＝＝＝3，
∴CD＝3+3＝6，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•海港区期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的直径为4，则弦AB的长为（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】D
【解答】解：作半径OC⊥AB于H，连接OA，
∵⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，
∴AB垂直平分OC，
∴OH＝OC＝×2＝1，AB＝2AH，
∴AH＝＝＝，
∴AB＝2，
故选：D．
【变式1-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．6
【答案】B
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接AB，
∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），
∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，
∵AD⊥BC，AD过圆心A，
∴CD＝BD＝4，
由勾股定理得：AD＝＝＝3，
∴点A的横坐标是3，
故选：B．
【典例2】（2022秋•丰满区校级期末）图1是吉林市的彩虹桥图片．图2是彩虹桥示意图，桥拱（ADB）可以近似看作半径为25m的圆弧，桥拱（弧AB）和路面（弦AB）之间用九根钢索相连，钢索垂直路面（弦AB），路面（弦AB）长度为40m，若这九根钢索将路面（弦AB）十等分，求最长钢索CD的长度．
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OB，
设CD＝x，则OC＝25﹣x，由勾股定理得，
OC2+BC2＝OB2，
即（25﹣x）2+（）2＝252，
解得x＝10，
即CD＝10，
答：最长钢索CD的长度为10米．
【变式2-1】（2022秋•蔡甸区期末）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：连接OA，
设CD＝x，
∵OA＝OC＝10，
∴OD＝10﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB＝16，
由勾股定理可知：102＝82+（10﹣x）2，
∴x＝4，
∴CD＝4，
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•河西区校级期末）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，则弧CED所在圆的半径为（ ）
A．B．4C．5D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC，
设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，
∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，
∴CM＝DM＝CD＝2，
在Rt△OMC中，
由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
即R2＝（6﹣R）2+22，
解得：R＝，
∴弧CED所在圆的半径为．
故选：A．
【变式2-3】（2022秋•泰兴市期末）如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB＝48米，拱高CD＝16米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．则桥拱所在圆的半径为 米．
【答案】26
【解答】解：如图，设圆的半径为R米，
∵CD平分弧AB，且CD⊥AB，
∴圆心O在CD的延长线上，
∴CD平分AB，
∴AC＝AB＝24，
连接OA，在Rt△OAC中，AC＝24，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣16，
∵OA2＝OC2+AC2，
∴R2＝（R﹣16）2+242，
解得R＝26，
即拱桥所在圆的半径26米．
故答案为：26．
【典例3】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
答：拱桥的半径是6.5m；
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
【变式3-1】（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
【解答】解：（1）如图，连接OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝16m，
∴BD＝AB＝8（m），
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，
解得r＝10．
答：此圆弧形拱桥的半径为10m．
（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：
连接ON，
∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，
∴CE＝4﹣3＝1（m），
∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），
在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN＝＝＝，
∴MN＝2EN＝2m＜12m．
∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．
【变式3-2】（2022秋•铁西区月考）如图，某地有一座圆弧形拱桥其圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）夏季雨季来临时，当水面离桥顶C距离为1m时，就要禁止通行，某天暴雨后桥下水面宽度EF为3m，请通过计算说明是否要禁止通行．
【解答】解：（1）如图，连接OB，
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝7.2m，
∴BD＝AB＝3.6m．
又∵CD＝2.4m，
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，
解得r＝3.9．
答：拱桥的半径为3.9m；
（2）连接OF，
∵OC⊥EF，
∴G为EF中点，
∵EF＝3m，
∴GF＝EF＝1.5m．
∵OF＝3.9m，
在Rt△OFG中，OG2＝OF2﹣GF2＝3.92﹣1.52＝5.4×2.4＝12.96，
∴OG＝＝3.6m，
∴CG＝OC﹣OG＝3.9﹣3.6＝0.3＜1，
∴要禁止通行．
1．（2022秋•河西区校级期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．米C．6米D．米
【答案】A
【解答】解：设⊙O的半径是r米，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴⊙O的半径OA是5米．
故选：A．
2．（2022秋•门头沟区期末）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 米．
【答案】10
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝8米，
设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，
在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
即桥拱所在圆的半径是10米．
故答案为：10．
3．（2021秋•任城区校级期末）在直径为20m的圆柱形油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB＝12m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为16m，那么液面上升了 m．
【答案】2或14
【解答】解：设圆柱型油槽的圆心为O，
分两种情况：
①AB、GH在圆心O的同侧时，连接OA、OG，过O作OC⊥AB于C，
设GH交OD于E，
依题意得：OA＝OG＝10（m），AB∥GH，AB＝12m，GH＝16m，
则OC⊥GH，
由垂径定理，得AC＝AB＝6（m），EG＝GH＝8（m），
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC＝＝＝8（m），
在Rt△OEG中，由勾股定理得：OE＝＝＝6（m），
∴CE＝OC﹣OE＝2（m）；
②AB、G'H'在圆心O的异侧时，连接OG'，过O作OE'⊥G'H'于E'，
同①得：OE'＝6（m），
∴CE'＝OC+OE'＝14（m）；
综上所述，液面上升了2m或14m，
故答案为：2或14．
4．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是 cm．
【答案】5
【解答】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，
∴圆心在直线DE上，
设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，
则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，
∴BE＝CE＝BC＝4（cm），
在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即这个圆形工件的半径是5cm，
故答案为：5．
5．（2022秋•孝南区期末）小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝4cm，AB＝16cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
【答案】10
【解答】解：设圆的半径为rcm，
∵C为弧AB的中心，CD⊥AB，
∴延长CD必过圆的圆心，设圆心为O，连接OA，如图，
∴，
由勾股定理，得：OA2＝AD2+OD2，
即：r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10；
∴圆形瓦片所在圆的半径为：10cm；
故答案为：10．
（2022秋•越秀区校级期末）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径
为 m．
【答案】
【解答】解：连接BO，
由题意可得：AD＝BD＝3m，设B半径OC＝xm，
则DO＝（x﹣2）m，
由勾股定理可得：x2＝（x﹣2）2+32，
解得：x＝．
∴这座桥桥拱半径为m．
故答案为：．
7．（2022秋•利通区期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是 ．
【答案】（2，1）
【解答】解：分别作AB、BC的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，
由图知，圆心P的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
8．（2022秋•河北区校级期末）蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为 m．
【答案】4
【解答】解：∵CD垂直平分AB，
∴AD＝8．
∴OD＝＝6m，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为：4．
9．（2022秋•凤凰县期末）如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10米，拱高CD＝7米，则此圆的半径OA＝ ．
【答案】米
【解答】解：设此圆的半径为r，则OA＝OC＝r，
∵AB＝10（米），CD＝7（米），CD⊥AB，
∴AD＝AB＝×10＝5，OD＝CD﹣OC＝7﹣r，
在Rt△AOD中，
OA2＝OD2+AD2，即r2＝（7﹣r）2+52，
解得r＝（米）．
故答案为：米．
10．（2022•防城区校级模拟）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，CD⊥AB且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为 ．
【答案】25m
【解答】解：如图，连接OD，
∵点C是的中点，
∴O、D、C三点在同一直线上，
∵OC⊥AB，AB＝40m，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25，
∴这段弯路的半径为25m．
故选：25m．
11．（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
【答案】（﹣1，0）
【解答】解：根据不共线三点确定一个圆，如图，AB，BC的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
12．（2022秋•江都区月考）将一个篮球放在高为18cm的长方体纸盒内，发现篮球的一部分露出纸盒，其截面如图所示，若测得AB＝24cm，则该篮球的半径为 cm．
【答案】13
【解答】解：如图所示：取AB的中点为M，作MD⊥AB于点M，取DM上的球心为O，连接OA，设OA＝r，OM＝x，
∴DM＝OD+OM＝x+r＝18，
∴x＝18﹣r，
在Rt△AOM中利用勾股定理可得：，
将x＝18﹣r代入中可得：（18﹣r）2+122＝r2，
化简整理求得：r＝13．
故答案为：13．
13．（2022秋•咸宁月考）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是 寸．（1尺＝10寸）
【答案】26
【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB，．
则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故答案为：26．
14．（2020秋•禅城区校级期中）如图，某隧道的截面是一个半径为3.4米的半圆形，一辆宽3.2米的厢式卡车（截面是长方形）恰好能通过该隧道，则这辆卡车的高为多少米？
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，
则∠OEB＝90°，AB＝DC＝3.2米，
由垂径定理得：AE＝BE＝＝1.6（米），
在Rt△BEO中，∠BEO＝90°，BE＝1.6米，OB＝3.4米，由勾股定理得：OE＝＝＝3（米），
即这辆卡车的高为3米．
15．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD＝300m，EF＝50m，求这段弯路的半径．
【解答】解：连接OC．设这段弯路的半径为Rm，
则OF＝OE﹣EF＝（R﹣50）m，
∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×300＝150（m）．
根据勾股定理，得OC2＝CF2+OF2，
即R2＝1502+（R﹣50）2，
解得R＝250，
所以这段弯路的半径为250m．
16．（2022秋•新昌县期中）市区古城门外有一水门（也可以说是一种特殊的拱桥），已知水门的跨径（水门桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（水门桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此水门的桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）．
【解答】解：如图，设此水门的桥拱圆弧的圆心为O，过O作OD⊥AB于点D，交圆弧为点C，
设此水门的桥拱圆弧的半径为Rm，
则AD＝BD＝AB＝9.1m，OD＝（R﹣6.2）m，CD＝6.2m，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：R2＝9.12+（R﹣6.2）2，
解得：R≈9.8，
答：此水门的桥拱圆弧的半径约为9.8m．
17．（2022秋•余杭区校级月考）如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF中，HF＝＝16，
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
18．（2022秋•海淀区校级月考）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝10米，OE⊥CD于点E，此时测得OE：CD＝3：8．
（1）求CD的长；
（2）如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
【解答】解：（1）∵直径AB＝10米，
∴OD＝OB＝AB＝5（米），
∵OE⊥CD，
∴DE＝CD，
∵OE：CD＝3：8，
∴OE：DE＝3：4，
设OE＝3x米，则DE＝4x米，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝1（负值已舍去），
∴DE＝4米，
∴CD＝2DE＝8（米）；
（2）由（1）得：OE＝3米，
如图，延长OE交圆O于点F，
∴EF＝OF﹣OE＝5﹣3＝2（米），
∴2÷0.4＝5（小时），
答：经过5小时桥洞会刚刚被灌满．
19．（2022秋•湖口县期中）如图是某隧道入口的截面示意图，其上方是一个半圆，下方是一个长方形，现有一辆满载货物的卡车，宽3米，高4米，请判断这辆卡车能否通过该隧道．
【解答】解：如图，过直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，
如图所示，在Rt△ABO中，由题意知OA＝1.8米，车宽的一半DC＝OB＝1.5米，
所以AB2＝1.82﹣1.52＝0.99，
∴AB≈1，
∴AB+BC＝1+2.8＝3.8＜4，
所以卡车不可以通过．
答：卡车不可以通过．
20．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，
∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），
答：⊙O的半径是cm．
21．（2022秋•红安县期中）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 米．
【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH＝NH＝MN＝30，
∴EH＝＝40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．