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北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项31二次函数与矩形存在性问题(原卷版+解析)
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这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项31二次函数与矩形存在性问题(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了矩形的判定，题型分析等内容，欢迎下载使用。
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）对角线相等的平行四边形；
（3）有三个角为直角的四边形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
（AC为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；
（2）1个定点+3个半动点．
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
【例题】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有
在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
【典例1】（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式1-1】（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（辽阳）如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2022•汉川市模拟）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点A，B两点．与y轴交于C，D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点M是y轴上一动点，点Q为平面内任意一点，当以A，D，M，Q为顶点的四边形是矩形，直接写出点Q的坐标．
2．（2022•巨野县模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴，分别交x轴，BC于点E，F．
（1）求直线BC及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图①，若点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，求线段PD长的最大值；
（3）如图②，若点N是抛物线上另一动点，点M是平面内一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点，且以BC为边的矩形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
专项31 二次函数与矩形存在性问题
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）对角线相等的平行四边形；
（3）有三个角为直角的四边形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
（AC为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；
（2）1个定点+3个半动点．
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
【例题】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有
在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
【典例1】（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2； （2）点M坐标为（﹣4，6）
【解答】解：（1）把A（0，﹣2），B（4，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在．过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线相较于M，则M即为所求．
在y＝﹣2x+8中，令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴AB2＝42+22＝20，BC2＝42+82＝80，AC2＝102＝100，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∵CM∥AB，AM∥BC，
∴四边形ABCM是矩形，
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
∵CM∥AB，
∴直线CM的解析式为y＝x+8，
∵AM∥BC，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
联立方程组，
解得：，
∴点M坐标为（﹣4，6）．
【变式1-1】（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；（3）P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴C（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图（2）中，连接OP．设P（m，﹣m2﹣2m+3），
S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，
＝×3×（﹣m2﹣2m+3）××3×（﹣m）+×1×3
＝（﹣m2﹣3m+4）
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；
（3）存在，理由如下：
如图3﹣1中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（﹣1，4），N（0，4）；
如图3﹣2中，当四边形PMCN是矩形时，设M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t+1，0），
由题意，，
解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，
解得t＝，
∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
综上所述，满足条件的点P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
【变式1-2】（辽阳）如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y＝x2﹣x﹣3 （2）点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，
则A（3，0）B（0，﹣3），
把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，
则：C（6，0）；
（2）存在．
①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，
设：P′（m，n），
n＝m2﹣m﹣3…③，
P′C所在直线的k1＝，
P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，
③、④联立得：＝0，
解得：m＝0或6，
这两个点分别和点B、C重合，
与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．
②当BC为矩形一边时，
情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，
直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，
则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，
联立①⑤解得点P（﹣4，5），
则Q（2，8），
情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，
此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．
故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．
1．（2022•汉川市模拟）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点A，B两点．与y轴交于C，D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点M是y轴上一动点，点Q为平面内任意一点，当以A，D，M，Q为顶点的四边形是矩形，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1） A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）；
（2）点Q的坐标为（0，+2）或（0，﹣+2）或（﹣2，）或（2，）．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）设M（0，m），Q（x，y），
①当AD、MQ为矩形的对角线时，
，
∴x＝0，y＝4﹣m，
∵AD＝MQ，
∴2＝|y﹣m|，
∴y＝+2或y＝﹣+2，
∴Q（0，+2）或Q（0，﹣+2）；
②当AM、DQ为矩形的对角线时，
，
∴x＝﹣2，y＝m﹣4，
∵AM＝DQ，
∴1+m2＝9+（y﹣4）2，
∴y＝，
∴Q（﹣2，）；
③当AQ、DM为矩形的对角线时，
，
∴x＝2，y＝4+m，
∵AQ＝DM，
∴9+y2＝1+（4﹣m）2，
∴y＝，
∴Q（2，）；
综上所述：点Q的坐标为（0，+2）或（0，﹣+2）或（﹣2，）或（2，）．
2．（2022•巨野县模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴，分别交x轴，BC于点E，F．
（1）求直线BC及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3．
（2）点M的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3．
∴C（0，3）．
∵直线y＝﹣x+n经过C点，
∴n＝3．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
令y＝0，则x＝3．
∴B（3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．
∵C，D，M均在抛物线上，以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，
∴过点B且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点或过点C且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点即为点M．
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴设过点C且垂直于直线BC的直线为y＝x+3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（1，4）．
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴设过点B且垂直于直线BC的直线为y＝x﹣3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（﹣2，﹣5）．
综上，存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，点M的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
3．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，
当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴M1（，），
当M在N点下方时，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t1＝2，t2＝3，
∴M2（2，2），M3（3，1），
综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；
（3）存在，
①如图2，若AC是矩形的边，
设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD＝＝，
同理得：CR＝，RD＝2，
∴CD2+CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P1与点D重合，
当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，
∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），
∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），
此时直线P1C的解析式为：y＝x+2，
∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），
∴直线P2A的解析式为：y＝x﹣4，
∵点P2是直线y＝x﹣4与抛物线y＝﹣x2+4x的交点，
∴﹣x2+4x＝x﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），
∴P2（﹣1，﹣5），
当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，
∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），
∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（﹣4，﹣2）；
②如图3，若AC是矩形的对角线，
设P3（m，﹣m2+4m）
当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP3H，
∴＝，
∴＝，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m＝，
∴如图4，满足条件的点P有两个，即P3（，），P4（，），
当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，
∵P3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3（，），
当P4C∥AQ4，P4C＝AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，
∵P4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4（，）；
综上，点Q的坐标为（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．
4．已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图①，若点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，求线段PD长的最大值；
（3）如图②，若点N是抛物线上另一动点，点M是平面内一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点，且以BC为边的矩形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
∴﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PD⊥BC，
∴∠DFP＝45°，
∴DF＝DP＝PF，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t2+2t+3），则F（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴DP＝（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，DP的长的最大值为；
（3）存在以点B、C、M、N为顶点，且以BC为边的矩形，理由如下：
设N（n，﹣n2+2n+3），
当M、N在直线BC的上方时，过点N作NG⊥y轴交于点G，过点M作MH⊥x轴交于点H，
∵∠NCB＝90°，
∴∠GCN+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠GCN＝∠OBC，
∴△GCN∽△OBN，
∴CG＝GN，即n＝﹣n2+2n，
∴解得n＝1，
∴N（1，4），
∴CN＝，
∴BM＝，
∵∠HBM＝90°﹣∠OBC＝45°，
∴BH＝HM＝1，
∴M（4，1）；
当MN在直线BC下方时，过点B作PQ⊥x轴，过点C作CP⊥PQ交于P点，过点N作NQ⊥PQ交于Q点，过点M作MR⊥PC交于点R，
同理可得△BCP∽△NBQ，
∴NQ＝BQ，即3﹣n＝n2﹣2n﹣3，
解得n＝3（舍）或n＝﹣2，
∴N（﹣2，﹣5），
∴BN＝5，
∴CM＝5，
∵∠RCM＝45°，
∴CR＝RM＝5，
∴M（﹣5，﹣2）；
综上所述：M点坐标为（4，1）或（﹣5，﹣2）．
5．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（2，1）；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（，3﹣）；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝，
∴点N的坐标为（，）；
综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；
（3）设E（1，a），F（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，
∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝，或a＝，
∴E（1，）或（1，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，
∴m＝2，n＝或n＝，
∴点F的坐标为（2，）或（2，）；
②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），
综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）对角线相等的平行四边形；
（3）有三个角为直角的四边形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
（AC为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；
（2）1个定点+3个半动点．
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
【例题】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有
在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
【典例1】（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式1-1】（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（辽阳）如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2022•汉川市模拟）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点A，B两点．与y轴交于C，D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点M是y轴上一动点，点Q为平面内任意一点，当以A，D，M，Q为顶点的四边形是矩形，直接写出点Q的坐标．
2．（2022•巨野县模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴，分别交x轴，BC于点E，F．
（1）求直线BC及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图①，若点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，求线段PD长的最大值；
（3）如图②，若点N是抛物线上另一动点，点M是平面内一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点，且以BC为边的矩形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
专项31 二次函数与矩形存在性问题
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）对角线相等的平行四边形；
（3）有三个角为直角的四边形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
（AC为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；
（2）1个定点+3个半动点．
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
【例题】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有
在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
【典例1】（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2； （2）点M坐标为（﹣4，6）
【解答】解：（1）把A（0，﹣2），B（4，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在．过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线相较于M，则M即为所求．
在y＝﹣2x+8中，令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴AB2＝42+22＝20，BC2＝42+82＝80，AC2＝102＝100，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∵CM∥AB，AM∥BC，
∴四边形ABCM是矩形，
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
∵CM∥AB，
∴直线CM的解析式为y＝x+8，
∵AM∥BC，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
联立方程组，
解得：，
∴点M坐标为（﹣4，6）．
【变式1-1】（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；（3）P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴C（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图（2）中，连接OP．设P（m，﹣m2﹣2m+3），
S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，
＝×3×（﹣m2﹣2m+3）××3×（﹣m）+×1×3
＝（﹣m2﹣3m+4）
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；
（3）存在，理由如下：
如图3﹣1中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（﹣1，4），N（0，4）；
如图3﹣2中，当四边形PMCN是矩形时，设M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t+1，0），
由题意，，
解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，
解得t＝，
∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
综上所述，满足条件的点P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
【变式1-2】（辽阳）如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y＝x2﹣x﹣3 （2）点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，
则A（3，0）B（0，﹣3），
把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，
则：C（6，0）；
（2）存在．
①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，
设：P′（m，n），
n＝m2﹣m﹣3…③，
P′C所在直线的k1＝，
P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，
③、④联立得：＝0，
解得：m＝0或6，
这两个点分别和点B、C重合，
与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．
②当BC为矩形一边时，
情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，
直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，
则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，
联立①⑤解得点P（﹣4，5），
则Q（2，8），
情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，
此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．
故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．
1．（2022•汉川市模拟）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点A，B两点．与y轴交于C，D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点M是y轴上一动点，点Q为平面内任意一点，当以A，D，M，Q为顶点的四边形是矩形，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1） A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）；
（2）点Q的坐标为（0，+2）或（0，﹣+2）或（﹣2，）或（2，）．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）设M（0，m），Q（x，y），
①当AD、MQ为矩形的对角线时，
，
∴x＝0，y＝4﹣m，
∵AD＝MQ，
∴2＝|y﹣m|，
∴y＝+2或y＝﹣+2，
∴Q（0，+2）或Q（0，﹣+2）；
②当AM、DQ为矩形的对角线时，
，
∴x＝﹣2，y＝m﹣4，
∵AM＝DQ，
∴1+m2＝9+（y﹣4）2，
∴y＝，
∴Q（﹣2，）；
③当AQ、DM为矩形的对角线时，
，
∴x＝2，y＝4+m，
∵AQ＝DM，
∴9+y2＝1+（4﹣m）2，
∴y＝，
∴Q（2，）；
综上所述：点Q的坐标为（0，+2）或（0，﹣+2）或（﹣2，）或（2，）．
2．（2022•巨野县模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴，分别交x轴，BC于点E，F．
（1）求直线BC及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3．
（2）点M的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3．
∴C（0，3）．
∵直线y＝﹣x+n经过C点，
∴n＝3．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
令y＝0，则x＝3．
∴B（3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．
∵C，D，M均在抛物线上，以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，
∴过点B且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点或过点C且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点即为点M．
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴设过点C且垂直于直线BC的直线为y＝x+3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（1，4）．
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴设过点B且垂直于直线BC的直线为y＝x﹣3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（﹣2，﹣5）．
综上，存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，点M的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
3．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，
当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴M1（，），
当M在N点下方时，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t1＝2，t2＝3，
∴M2（2，2），M3（3，1），
综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；
（3）存在，
①如图2，若AC是矩形的边，
设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD＝＝，
同理得：CR＝，RD＝2，
∴CD2+CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P1与点D重合，
当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，
∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），
∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），
此时直线P1C的解析式为：y＝x+2，
∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），
∴直线P2A的解析式为：y＝x﹣4，
∵点P2是直线y＝x﹣4与抛物线y＝﹣x2+4x的交点，
∴﹣x2+4x＝x﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），
∴P2（﹣1，﹣5），
当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，
∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），
∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（﹣4，﹣2）；
②如图3，若AC是矩形的对角线，
设P3（m，﹣m2+4m）
当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP3H，
∴＝，
∴＝，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m＝，
∴如图4，满足条件的点P有两个，即P3（，），P4（，），
当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，
∵P3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3（，），
当P4C∥AQ4，P4C＝AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，
∵P4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4（，）；
综上，点Q的坐标为（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．
4．已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图①，若点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，求线段PD长的最大值；
（3）如图②，若点N是抛物线上另一动点，点M是平面内一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点，且以BC为边的矩形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
∴﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PD⊥BC，
∴∠DFP＝45°，
∴DF＝DP＝PF，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t2+2t+3），则F（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴DP＝（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，DP的长的最大值为；
（3）存在以点B、C、M、N为顶点，且以BC为边的矩形，理由如下：
设N（n，﹣n2+2n+3），
当M、N在直线BC的上方时，过点N作NG⊥y轴交于点G，过点M作MH⊥x轴交于点H，
∵∠NCB＝90°，
∴∠GCN+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠GCN＝∠OBC，
∴△GCN∽△OBN，
∴CG＝GN，即n＝﹣n2+2n，
∴解得n＝1，
∴N（1，4），
∴CN＝，
∴BM＝，
∵∠HBM＝90°﹣∠OBC＝45°，
∴BH＝HM＝1，
∴M（4，1）；
当MN在直线BC下方时，过点B作PQ⊥x轴，过点C作CP⊥PQ交于P点，过点N作NQ⊥PQ交于Q点，过点M作MR⊥PC交于点R，
同理可得△BCP∽△NBQ，
∴NQ＝BQ，即3﹣n＝n2﹣2n﹣3，
解得n＝3（舍）或n＝﹣2，
∴N（﹣2，﹣5），
∴BN＝5，
∴CM＝5，
∵∠RCM＝45°，
∴CR＝RM＝5，
∴M（﹣5，﹣2）；
综上所述：M点坐标为（4，1）或（﹣5，﹣2）．
5．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（2，1）；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（，3﹣）；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝，
∴点N的坐标为（，）；
综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；
（3）设E（1，a），F（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，
∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝，或a＝，
∴E（1，）或（1，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，
∴m＝2，n＝或n＝，
∴点F的坐标为（2，）或（2，）；
②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），
综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．
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