北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项36切线的证明方法归类(2大类型+5种方法)(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项36切线的证明方法归类(2大类型+5种方法)(原卷版+解析)，共28页。

证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法
（1）连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”
（2）作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”
【考点1 有公共点：连半径，证垂直】
方法1：特殊角计算法证垂直
【典例1】（2022•思明区校级一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
【变式1-1】（2021•广东二模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．
【变式1-2】（2021秋•潍坊期末）如图，A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝2，E是CD延长线上的一点，且AE＝AC．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求ED的长．
方法2：等角代换法证垂直
【典例2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．
【变式2-1】（2017秋•荆州区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半径．
【变式2-2】（2021秋•灌南县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．
方法3：平行线性质法证垂直
【典例3】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．求证：PD是⊙O的切线；
【变式3-1】（2022•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．求证：BC是⊙O切线；
【变式3-2】（2021•崆峒区一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
【变式3-3】（2022•百色一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；
方法4： 全等三角形法证垂直
【典例4】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，求证：DE是⊙O的切线．
【变式4-1】（2021秋•虎林市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，若E是AC的中点，连接DE．求证：DE为⊙O的切线．
【考点2 无公共点：做垂直，证半径】
方法5 ：角平分线的性质法证半径
【典例5】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．
求证：AC是⊙D的切线；
【变式5-1】（2018•天河区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E
求证：BC是⊙D的切线；
方法6 ： 全等三角形法证半径
【典例6】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AB＝10，sin∠ABC＝，求⊙O的半径．
【变式6】（2020秋•开福区月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF．求证：BF是⊙O的切线；
1．（2022秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．
2．（2019秋•黄冈期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点：
（2）求证：DE是⊙O切线．
3．（2022秋•宽城区校级期末）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点．
求证：AC是⊙O的切线．
4．（2022秋•天河区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求证：DE是⊙O的切线．
5．（2021秋•新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．
求证：DE是⊙O的切线．
6．（2022秋•长乐区期中）如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半径为3．
求证：AB是⊙O的切线．
7．（2020秋•厦门期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，过点O作OD∥BC交AC于D，∠ODA＝45°．求证：AC是⊙O的切线．
8．（2022秋•平潭县校级期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线．
专项36 切线的证明方法归类（2大类型+5种方法）
证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法
（1）连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”
（2）作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”
【考点1 有公共点：连半径，证垂直】
方法1：特殊角计算法证垂直
【典例1】（2022•思明区校级一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
【解答】如图，连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切．
【变式1-1】（2021•广东二模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，
∵OA＝OD，∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，
又∠BOD为△AOD的外角，
∴∠BOD＝∠DAB+∠ODA＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠BOD﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∵OD是⊙O的半径．
∴直线BD是⊙O的切线．
【变式1-2】（2021秋•潍坊期末）如图，A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝2，E是CD延长线上的一点，且AE＝AC．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求ED的长．
【解答】（1）证明：连接OA．
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠CAO＝30°，
∴∠AOE＝∠ACO+∠CAO＝30°+30°＝60°，
∵AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE＝30°，
∴∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
又∵OA是半径
∴AE是⊙O的切线；
方法2：等角代换法证垂直
【典例2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
又∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
又∵l⊥AD，即∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥l，
∴l是圆O的切线．
【变式2-1】（2017秋•荆州区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝∠BEC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴ED＝DC＝BD，
∴∠1＝∠2，
∵OE＝OC，
∴∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，
即∠OED＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OED＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
【变式2-2】（2021秋•灌南县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB⊥AC，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠DAO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵点E是AC的中点，
∴EA＝ED＝AC，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EDA+∠ODA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
方法3：平行线性质法证垂直
【典例3】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．求证：PD是⊙O的切线；
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
【变式3-1】（2022•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．求证：BC是⊙O切线；
【解答】（1）证明：连接OD；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠3．
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2．
∴∠2＝∠3．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切线．
【变式3-2】（2021•崆峒区一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
【变式3-3】（2022•百色一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵OA＝OB，
∵DO是△ABC的中位线，
∴DO∥BC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
方法4： 全等三角形法证垂直
【典例4】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，求证：DE是⊙O的切线．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
【变式4-1】（2021秋•虎林市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，若E是AC的中点，连接DE．求证：DE为⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD、OE，
∵BC是⊙O直径，E是AC的中点，
∴OE∥AB，
∴∠EOD＝∠ODB，∠EOC＝∠B，
又∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠EOD＝∠EOC，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△EOD≌△EOC（SAS），
∴∠EDO＝∠ECO（全等三角形的对应角相等），
又∵∠ACB＝90°，
∴∠EDO＝90°，
又∵点D在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线．
【考点2 无公共点：做垂直，证半径】
方法5 ：角平分线的性质法证半径
【典例5】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．
求证：AC是⊙D的切线；
【解答】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD＝DF，
∴AC与⊙D相切；
【变式5-1】（2018•天河区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E
求证：BC是⊙D的切线；
【解答】（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝DF．
∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切线；
方法6 ： 全等三角形法证半径
【典例6】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AB＝10，sin∠ABC＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵AD⊥BO于点D，
∴∠D＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∵∠AOD＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠OAD，
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
∴∠BCO＝∠D＝90°，
∵∠BOC＝∠AOD，
∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，
∴OE＝OC，
∵OE⊥AB，OE是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
【变式6】（2020秋•开福区月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF．求证：BF是⊙O的切线；
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵四边形AOCD是平行四边形,
∵OA＝OC，
∴四边形AOCD是菱形,
∴△OAD和△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠FOB＝60°,
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴∠FDO＝90°,
在△FDO和△FBO中,
,
∴△FDO≌△FBO（SAS）,
∴∠ODF＝∠OBF＝90°,
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
1．（2022秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．
【解答】证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在⊙D中，AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AD⊥AC，
又∵DA是半径，
∴AC是⊙D的切线．
2．（2019秋•黄冈期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点：
（2）求证：DE是⊙O切线．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴点D是BC的中点；
（2）连接OD，
∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
3．（2022秋•宽城区校级期末）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点．
求证：AC是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OE，
∵E是的中点，
∴∠OBE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠OEB＝∠CBE．
∴OE∥BC．
∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°．
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴DE⊥AC．
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
4．（2022秋•天河区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求证：DE是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，
∵AO＝OB，D为AC的中点，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
5．（2021秋•新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．
求证：DE是⊙O的切线．
【解答】证明：如图，连接OE、OD，
在△OED和△OAD中，
，
∴△OED≌△OAD（SAS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴OE⊥DE，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
6．（2022秋•长乐区期中）如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半径为3．
求证：AB是⊙O的切线．
【解答】证明：如图，过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝3，
∵⊙O的半径为3，
∴OC为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
7．（2020秋•厦门期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，过点O作OD∥BC交AC于D，∠ODA＝45°．求证：AC是⊙O的切线．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C＝45°，
∴∠B＝45°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴AC⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．
8．（2022秋•平潭县校级期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OA，作OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵OD⊥AB，
∴OF＝OD，
∴AC是⊙O的切线．