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2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数与一元二次方程
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数与一元二次方程，共23页。试卷主要包含了已知二次函数y＝x2﹣5x+m，新定义等内容，欢迎下载使用。
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．x＞4B．x＝1C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的其中一个交点为（3，0），另一个交点位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（不含端点），且与y轴交于（0，﹣2）．则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＞0B．a﹣b+c＜0C．2a+b＞0D．b2﹣4ac＜8a
3．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集为（ ）
A．﹣2≤x≤1B．x≤﹣2，或x≥1
C．1≤x≤4D．x≤1，或x≥4
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表：
根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（ ）
A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1
5．已知二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝5
二．填空题（共5小题）
6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的解为 ．
7．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 ．
8．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
9．如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是 ．
10．已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；
（3）若方程ax2+bx+c＝k无实数根，写出k的取值范围．
12．如图，A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点在二次函数y1＝ax2+bx﹣3与一次函数y2＝﹣x﹣m图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y1＜y2时，自变量x的取值范围 ．
13．如表是二次函数y＝﹣x2+4x+c的部分取值情况：
根据表中信息，回答下列问题：
（1）二次函数y＝﹣x2+4x+c图象的顶点坐标是 ；
（2）求c的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）观察图象，写出y＞0时x的取值范围： ．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴的交点坐标是 ，y轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 ．
15．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣8m（m≠0）．
（1）当y＝0时，求x的值；
（2）点Q（a，b）是抛物线上一点，若m＜0，且a≥0时b≤3，求m的值；
（3）当m＝﹣1时，把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，请求出n的取值范围．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．x＞4B．x＝1C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4
【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】函数的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点是（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），进而求解．
【解答】解：函数的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点是（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），
观察函数图象知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的其中一个交点为（3，0），另一个交点位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（不含端点），且与y轴交于（0，﹣2）．则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＞0B．a﹣b+c＜0C．2a+b＞0D．b2﹣4ac＜8a
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【答案】D
【分析】根据抛物线开口向上可知a＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，所以c0，由抛物线的对称轴在x轴正半轴可知x0，故可得出b＜0，故可对A作出判断；由函数图象可知，当x＝1时，y＜0，故可对，B作出判断；根据抛物线的对称轴可对C作出判断；由抛物线的顶点坐标可对D作出判断．
【解答】解：A、∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0．
∵抛物线的对称轴在x轴正半轴，
∴x0，
∴b＜0，
∵abc＞0，故A正确；
B、∵由函数图象可知，当x＝1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故B正确；
C、∵图象与x轴的其中一个交点为（3，0），另一个交点位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（不含端点），
∴抛物线的对称轴01，
∴0＜﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故C正确；
D、∵b2﹣4ac＞0，8a＞0，
∴b2﹣4ac与8a的大小不确定，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解得该题时，充分利用了抛物线的对称性．
3．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集为（ ）
A．﹣2≤x≤1B．x≤﹣2，或x≥1
C．1≤x≤4D．x≤1，或x≥4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】B
【分析】由ax2﹣bx﹣c≥0得出ax2≥bx+c，即抛物线在直线上方的部分，根据图象和A，B的坐标即可确定答案．
【解答】解：由ax2﹣bx﹣c≥0得：ax2≥bx+c，
∴满足不等式的解为抛物线在直线上方的部分，
∴x≤﹣2或x≥1，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数与不等式的关系，关键是要能由ax2﹣bx﹣c≥0得出ax2≥bx+c．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表：
根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（ ）
A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1”由此即可得出结论．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，
∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
5．已知二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝5
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两实数根，就是二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标．
【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣5x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x，
又∵二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性可知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（4，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性．
二．填空题（共5小题）
6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的解为 x＝﹣1或3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察图象可知抛物线的对称轴x＝1，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），推出x＝﹣1或x＝3是方程﹣x2+2x+m＝0的根，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知抛物线的对称轴x＝1，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴x＝﹣1或x＝3是方程﹣x2+2x+m＝0的根，
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的解为x＝﹣1或3．
故答案为x＝﹣1或3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 2＜x＜5 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图象及点A，B坐标求解．
【解答】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方，
∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n，
故答案为：2＜x＜5．
【点评】本题考查二次函数与不等式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解．
8．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ﹣2或2 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣2或2．
【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，然后根据判别式的意义得到Δ＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，从而解m的方程即可．
【解答】解：由题意得：二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，
Δ＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝2，
故答案为：﹣2或2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
9．如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是 （﹣1，0） ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（﹣1，0）．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为直线x＝2，然后写出点（5，0）关于直线x＝2的对称点即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，抛物线与x轴的交点关于抛物线的对称轴对称．
10．已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围是 m＜﹣3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】m＜﹣3．
【分析】求出k＝0，则二次函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，当直线y＝x+m过点A时，求出m＝﹣3，即可求解．
【解答】解：∵函数和x轴有2个交点，
则△═（﹣2k﹣2）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＞0，
解得：k＞﹣1，
当k取最小整数时，则k＝0，
则二次函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，
则x＝﹣1或3，
即点A（3，0），如下图：
当直线y＝x+m过点A时，
则0＝3+m，
解得：m＝﹣3，
故新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围：m＜﹣3，
故答案为：m＜﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．
三．解答题（共5小题）
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；
（3）若方程ax2+bx+c＝k无实数根，写出k的取值范围．
【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式．
【专题】综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（2）（3）利用图象法即可解决问题．
【解答】解：（1）观察图象可知，方程ax2+bx+c＝0的根，即为抛物线与x轴交点的横坐标，
∴x1＝0，x2＝2．
（2）观察图象可知：不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜0或x＞2．
（3）由图象可知，k＞2时，方程ax2+bx+c＝k无实数根．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
12．如图，A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点在二次函数y1＝ax2+bx﹣3与一次函数y2＝﹣x﹣m图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y1＜y2时，自变量x的取值范围 ﹣1＜x＜2 ．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）m＝1；二次函数的解析式为y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）﹣1＜x＜2．
【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y2＝﹣x﹣m，可求出m的值；利用待定系数法求二次函数的解析式即可．
（2）由图象可知，当y1＜y2时，﹣1＜x＜2．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y2＝﹣x﹣m，
得1﹣m＝0，
解得m＝1．
将A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y1＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）由图象可知，当y1＜y2时，﹣1＜x＜2．
故答案为：﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键．
13．如表是二次函数y＝﹣x2+4x+c的部分取值情况：
根据表中信息，回答下列问题：
（1）二次函数y＝﹣x2+4x+c图象的顶点坐标是 （2，5） ；
（2）求c的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）观察图象，写出y＞0时x的取值范围： 2x＜2 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）（2，5）；
（2）c＝1；
（3）2x＜2．
【分析】（1）先利用抛物线的性质得到对称轴为直线x＝2，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）把（2，5）代入y＝﹣x2+4x+c中可求出c的值，然后利用描点法画出二次函数的图象；
（3）先解方程确定抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（2，0），然后写出二次函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x2，
∴二次函数图象的顶点坐标为（2，5）
（2）把（2，5）代入y＝﹣x2+4x+c中得﹣4+8+c＝5，
解得c＝1，
如图，
（3）当y＝0时，﹣x2+4x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（2，0），
∴y＞0时x的取值范围为2x＜2．
故答案为：2x＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴的交点坐标是 （1，0），（3，0） ，y轴的交点坐标是 （0，3） ，顶点坐标是 （2，﹣1） ；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 ﹣1≤y＜3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【答案】（1）（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）；
（2）见解答．
（3）﹣1≤y＜3．
【分析】（1）令y＝0，可得y＝x2﹣4x+3＝0，解方程的x，可得与x轴交点的横坐标，令x＝0可得与y轴交点纵坐标，抛物线变形为y＝（x﹣2）2﹣1，可得顶点坐标；
（3）依据题意，根据抛物线与对称轴交点坐标及对称轴可得图象；
（4）由x＝﹣2时抛物线有最小值，再求x＝﹣4、x＝2时的函数值可y的范围．
【解答】解：（1）令y＝0，可得y＝x2﹣4x+3＝0，
∴x＝1或x＝3．
∴抛物线与x轴额交点坐标为（1，0），（3，0）．
令x＝0可得，y＝3．
∴与y轴交点为（0，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
故答案为：（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）；
（2）由（1）可画图象如下：
（3）由题意，当x＝2时抛物线有最小值y＝﹣1；
当x＝4时，y＝3；
当x＝1时，y＝0，
由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
【点评】本题考查的是考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，画出二次函数的图象是解答此题的关键．
15．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣8m（m≠0）．
（1）当y＝0时，求x的值；
（2）点Q（a，b）是抛物线上一点，若m＜0，且a≥0时b≤3，求m的值；
（3）当m＝﹣1时，把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，请求出n的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）x＝4或x＝﹣2；（2）m；（3）5＜n≤9．
【分析】（1）依据题意，由mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝0，结合m≠0，解方程即可得解；
（2）依据题意，y＝mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝m（x﹣1）2﹣9m，又m＜0，从而当x＝1时，函数y＝m（x﹣1）2﹣9m有最大值为﹣9m，又此时点Q（a，b）是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤3，进而﹣9m＝3，故可以得解；
（3）依据题意，当m＝﹣1时，抛物线G为y＝﹣（x﹣1）2+9，从而表示出H为y＝﹣（x﹣1）2+9﹣n，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，从而若当x1＝﹣1时，y＝5﹣n＝0，结合二次函数的性质，n＞5，又抛物线H与x轴有交点，故9﹣n≥0，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝0，
又m≠0，
∴x2﹣2x﹣8＝0．
∴（x﹣4）（x+2）＝0．
∴x＝4或x＝﹣2．
（2）由题意，y＝mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝m（x﹣1）2﹣9m．
∵m＜0，
∴当x＝1时，函数y＝m（x﹣1）2﹣9m有最大值为﹣9m．
又此时点Q（a，b）是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤3，
∴﹣9m＝3．
∴m．
（3）由题意，当m＝﹣1时，抛物线G为y＝﹣（x﹣1）2+9．
∴把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H为y＝﹣（x﹣1）2+9﹣n．
∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，
又若当x1＝﹣1时，y＝5﹣n＝0，
∴n＝5．
∵开口向下，
∴n＞5．
又抛物线H与x轴有交点，
∴9﹣n≥0．
∴n≤9．
∴5＜n≤9．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
8．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
10．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
11．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
13．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
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y
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x
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x
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0
2
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y
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c
5
1
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1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．x＞4B．x＝1C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的其中一个交点为（3，0），另一个交点位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（不含端点），且与y轴交于（0，﹣2）．则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＞0B．a﹣b+c＜0C．2a+b＞0D．b2﹣4ac＜8a
3．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集为（ ）
A．﹣2≤x≤1B．x≤﹣2，或x≥1
C．1≤x≤4D．x≤1，或x≥4
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表：
根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（ ）
A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1
5．已知二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝5
二．填空题（共5小题）
6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的解为 ．
7．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 ．
8．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
9．如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是 ．
10．已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；
（3）若方程ax2+bx+c＝k无实数根，写出k的取值范围．
12．如图，A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点在二次函数y1＝ax2+bx﹣3与一次函数y2＝﹣x﹣m图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y1＜y2时，自变量x的取值范围 ．
13．如表是二次函数y＝﹣x2+4x+c的部分取值情况：
根据表中信息，回答下列问题：
（1）二次函数y＝﹣x2+4x+c图象的顶点坐标是 ；
（2）求c的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）观察图象，写出y＞0时x的取值范围： ．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴的交点坐标是 ，y轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 ．
15．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣8m（m≠0）．
（1）当y＝0时，求x的值；
（2）点Q（a，b）是抛物线上一点，若m＜0，且a≥0时b≤3，求m的值；
（3）当m＝﹣1时，把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，请求出n的取值范围．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．x＞4B．x＝1C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4
【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】函数的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点是（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），进而求解．
【解答】解：函数的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点是（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），
观察函数图象知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的其中一个交点为（3，0），另一个交点位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（不含端点），且与y轴交于（0，﹣2）．则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＞0B．a﹣b+c＜0C．2a+b＞0D．b2﹣4ac＜8a
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【答案】D
【分析】根据抛物线开口向上可知a＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，所以c0，由抛物线的对称轴在x轴正半轴可知x0，故可得出b＜0，故可对A作出判断；由函数图象可知，当x＝1时，y＜0，故可对，B作出判断；根据抛物线的对称轴可对C作出判断；由抛物线的顶点坐标可对D作出判断．
【解答】解：A、∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0．
∵抛物线的对称轴在x轴正半轴，
∴x0，
∴b＜0，
∵abc＞0，故A正确；
B、∵由函数图象可知，当x＝1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故B正确；
C、∵图象与x轴的其中一个交点为（3，0），另一个交点位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（不含端点），
∴抛物线的对称轴01，
∴0＜﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故C正确；
D、∵b2﹣4ac＞0，8a＞0，
∴b2﹣4ac与8a的大小不确定，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解得该题时，充分利用了抛物线的对称性．
3．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集为（ ）
A．﹣2≤x≤1B．x≤﹣2，或x≥1
C．1≤x≤4D．x≤1，或x≥4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】B
【分析】由ax2﹣bx﹣c≥0得出ax2≥bx+c，即抛物线在直线上方的部分，根据图象和A，B的坐标即可确定答案．
【解答】解：由ax2﹣bx﹣c≥0得：ax2≥bx+c，
∴满足不等式的解为抛物线在直线上方的部分，
∴x≤﹣2或x≥1，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数与不等式的关系，关键是要能由ax2﹣bx﹣c≥0得出ax2≥bx+c．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表：
根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（ ）
A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1”由此即可得出结论．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，
∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
5．已知二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝5
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两实数根，就是二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标．
【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣5x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x，
又∵二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性可知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（4，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性．
二．填空题（共5小题）
6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的解为 x＝﹣1或3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察图象可知抛物线的对称轴x＝1，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），推出x＝﹣1或x＝3是方程﹣x2+2x+m＝0的根，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知抛物线的对称轴x＝1，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴x＝﹣1或x＝3是方程﹣x2+2x+m＝0的根，
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的解为x＝﹣1或3．
故答案为x＝﹣1或3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 2＜x＜5 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图象及点A，B坐标求解．
【解答】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方，
∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n，
故答案为：2＜x＜5．
【点评】本题考查二次函数与不等式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解．
8．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ﹣2或2 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣2或2．
【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，然后根据判别式的意义得到Δ＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，从而解m的方程即可．
【解答】解：由题意得：二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，
Δ＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝2，
故答案为：﹣2或2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
9．如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是 （﹣1，0） ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（﹣1，0）．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为直线x＝2，然后写出点（5，0）关于直线x＝2的对称点即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，抛物线与x轴的交点关于抛物线的对称轴对称．
10．已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围是 m＜﹣3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】m＜﹣3．
【分析】求出k＝0，则二次函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，当直线y＝x+m过点A时，求出m＝﹣3，即可求解．
【解答】解：∵函数和x轴有2个交点，
则△═（﹣2k﹣2）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＞0，
解得：k＞﹣1，
当k取最小整数时，则k＝0，
则二次函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，
则x＝﹣1或3，
即点A（3，0），如下图：
当直线y＝x+m过点A时，
则0＝3+m，
解得：m＝﹣3，
故新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围：m＜﹣3，
故答案为：m＜﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．
三．解答题（共5小题）
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；
（3）若方程ax2+bx+c＝k无实数根，写出k的取值范围．
【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式．
【专题】综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（2）（3）利用图象法即可解决问题．
【解答】解：（1）观察图象可知，方程ax2+bx+c＝0的根，即为抛物线与x轴交点的横坐标，
∴x1＝0，x2＝2．
（2）观察图象可知：不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜0或x＞2．
（3）由图象可知，k＞2时，方程ax2+bx+c＝k无实数根．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
12．如图，A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点在二次函数y1＝ax2+bx﹣3与一次函数y2＝﹣x﹣m图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y1＜y2时，自变量x的取值范围 ﹣1＜x＜2 ．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）m＝1；二次函数的解析式为y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）﹣1＜x＜2．
【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y2＝﹣x﹣m，可求出m的值；利用待定系数法求二次函数的解析式即可．
（2）由图象可知，当y1＜y2时，﹣1＜x＜2．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y2＝﹣x﹣m，
得1﹣m＝0，
解得m＝1．
将A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y1＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）由图象可知，当y1＜y2时，﹣1＜x＜2．
故答案为：﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键．
13．如表是二次函数y＝﹣x2+4x+c的部分取值情况：
根据表中信息，回答下列问题：
（1）二次函数y＝﹣x2+4x+c图象的顶点坐标是 （2，5） ；
（2）求c的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）观察图象，写出y＞0时x的取值范围： 2x＜2 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）（2，5）；
（2）c＝1；
（3）2x＜2．
【分析】（1）先利用抛物线的性质得到对称轴为直线x＝2，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）把（2，5）代入y＝﹣x2+4x+c中可求出c的值，然后利用描点法画出二次函数的图象；
（3）先解方程确定抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（2，0），然后写出二次函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x2，
∴二次函数图象的顶点坐标为（2，5）
（2）把（2，5）代入y＝﹣x2+4x+c中得﹣4+8+c＝5，
解得c＝1，
如图，
（3）当y＝0时，﹣x2+4x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（2，0），
∴y＞0时x的取值范围为2x＜2．
故答案为：2x＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴的交点坐标是 （1，0），（3，0） ，y轴的交点坐标是 （0，3） ，顶点坐标是 （2，﹣1） ；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 ﹣1≤y＜3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【答案】（1）（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）；
（2）见解答．
（3）﹣1≤y＜3．
【分析】（1）令y＝0，可得y＝x2﹣4x+3＝0，解方程的x，可得与x轴交点的横坐标，令x＝0可得与y轴交点纵坐标，抛物线变形为y＝（x﹣2）2﹣1，可得顶点坐标；
（3）依据题意，根据抛物线与对称轴交点坐标及对称轴可得图象；
（4）由x＝﹣2时抛物线有最小值，再求x＝﹣4、x＝2时的函数值可y的范围．
【解答】解：（1）令y＝0，可得y＝x2﹣4x+3＝0，
∴x＝1或x＝3．
∴抛物线与x轴额交点坐标为（1，0），（3，0）．
令x＝0可得，y＝3．
∴与y轴交点为（0，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
故答案为：（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）；
（2）由（1）可画图象如下：
（3）由题意，当x＝2时抛物线有最小值y＝﹣1；
当x＝4时，y＝3；
当x＝1时，y＝0，
由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
【点评】本题考查的是考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，画出二次函数的图象是解答此题的关键．
15．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣8m（m≠0）．
（1）当y＝0时，求x的值；
（2）点Q（a，b）是抛物线上一点，若m＜0，且a≥0时b≤3，求m的值；
（3）当m＝﹣1时，把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，请求出n的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）x＝4或x＝﹣2；（2）m；（3）5＜n≤9．
【分析】（1）依据题意，由mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝0，结合m≠0，解方程即可得解；
（2）依据题意，y＝mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝m（x﹣1）2﹣9m，又m＜0，从而当x＝1时，函数y＝m（x﹣1）2﹣9m有最大值为﹣9m，又此时点Q（a，b）是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤3，进而﹣9m＝3，故可以得解；
（3）依据题意，当m＝﹣1时，抛物线G为y＝﹣（x﹣1）2+9，从而表示出H为y＝﹣（x﹣1）2+9﹣n，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，从而若当x1＝﹣1时，y＝5﹣n＝0，结合二次函数的性质，n＞5，又抛物线H与x轴有交点，故9﹣n≥0，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝0，
又m≠0，
∴x2﹣2x﹣8＝0．
∴（x﹣4）（x+2）＝0．
∴x＝4或x＝﹣2．
（2）由题意，y＝mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝m（x﹣1）2﹣9m．
∵m＜0，
∴当x＝1时，函数y＝m（x﹣1）2﹣9m有最大值为﹣9m．
又此时点Q（a，b）是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤3，
∴﹣9m＝3．
∴m．
（3）由题意，当m＝﹣1时，抛物线G为y＝﹣（x﹣1）2+9．
∴把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H为y＝﹣（x﹣1）2+9﹣n．
∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，
又若当x1＝﹣1时，y＝5﹣n＝0，
∴n＝5．
∵开口向下，
∴n＞5．
又抛物线H与x轴有交点，
∴9﹣n≥0．
∴n≤9．
∴5＜n≤9．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
8．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
10．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
11．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
13．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 18:00:12；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968
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