2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之确定圆的条件

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A．点DB．点EC．点FD．点G
2．点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
3．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定
4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内B．点A在⊙C上C．点A在⊙C外D．无法确定
6．已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
7．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为4，则弦EF的长是（ ）
A．3B．2C．2D．2
8．若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定
9．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）
A．36°B．33°C．30°D．27°
10．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BAC＝38°，则∠BCD的度数是（ ）
A．38°B．76°C．52°D．60°
11．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，⊙O半径为5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
13．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
A．41°B．45°C．49°D．59°
14．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为200m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
15．如图，不等边△ABC内接于⊙O，下列结论不成立的是（ ）
A．∠AOB＝2∠ACBB．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4D．∠ABC＝∠1+∠3
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之确定圆的条件
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．在如图所示的方格型网格图中，取3个格点A、B、C并顺次连接得到△ABC，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接DC、DA、DB，则DC＝5，再根据勾股定理求得DA＝DB＝5，则DC＝DA＝DB，所以点D是△ABC的外心，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接DC、DA、DB，则DC＝5，
由勾股定理得DA＝DB5，
∴DC＝DA＝DB，
点D是△ABC的外心，
故选：A．
【点评】此题重点考查三角形外接圆的定义、勾股定理等知识，通过计算证明DC＝DA＝DB是解题的关键．
2．点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，
∴OP＞r，即0＜r＜6．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
3．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．
【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，属于基础题型，比较简单．
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内B．点A在⊙C上C．点A在⊙C外D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】A
【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC8，
∵AC＝6＜BC，
∴点A在⊙C内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
6．已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
7．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为4，则弦EF的长是（ ）
A．3B．2C．2D．2
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，先根据垂径定理证明OA垂直平分BC，则OA经过点D，再根据等腰三角形的“三线合一”证明∠OAB＝∠OBA＝60°，则△AOB是等边三角形，由EF∥AB，得∠ODH＝∠OAB＝60°，则∠DOH＝30°，所以DHOD＝1，OH，即可根据勾股定理求得EH＝FH，则EF＝2．
【解答】解：连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，则∠OHD＝∠OHF＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∴OA垂直平分BC，
∵D为弦BC的中点，
∴BD＝CD，OA经过点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA∠BAC＝60°，
∵OA＝OB＝4，
∴△AOB是等边三角形，
∵OA⊥BC于点D，
∴OD＝ADOA＝2，
∵EF∥AB，
∴∠ODH＝∠OAB＝60°，
∴∠DOH＝30°，
∴DHOD＝1，
∴OH，
∵OF＝4，
∴EH＝FH，
∴EF＝2，
故选：B．
【点评】此题重点考查垂径定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】根据点到圆心的距离即可得出答案．
【解答】解：∵点P到圆心的距离8cm大于圆的半径6cm，
∴点P在圆外．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外．会判断点与直线的位置关系是解题的关键．
9．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）
A．36°B．33°C．30°D．27°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【答案】A
【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．
【解答】解：连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BAC＝38°，则∠BCD的度数是（ ）
A．38°B．76°C．52°D．60°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】连接DB，求出∠DBC，∠BDC的度数，可得结论．
【解答】解：如图，连接BD．
∵CD是直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝38°，
∴∠BCD＝90°﹣38°＝52°．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
11．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】三角形的外接圆与外心；线段垂直平分线的性质；圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断．
【解答】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确．
③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确，
∴正确的有②④，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
12．如图，⊙O半径为5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据图中的点在圆的分布位置，即可作答．
【解答】解：A、因为点P在圆上，所以点P到圆心O距离即为半径，为5，故该选项是错误的；
B、因为点Q在圆内，所以点Q到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的；
C、因为点M在圆内，所以点M到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的；
D、因为点N在圆外，所以点N到圆心O距离大于半径5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是点N，故该选项是正确的；
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆心的位置关系，难度较小．
13．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
A．41°B．45°C．49°D．59°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】C
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA，进而可计算∠ABC．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝41°，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大．
14．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为200m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
【考点】点与圆的位置关系；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD的长，然后与200m比较大小，即可解答本题．
【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵点D是斜边AC的中点，
∴AD＝CD＝250m，
∵△ABC是直角三角形，BD是斜边AB的中线，
∴BDAC＝250m，
∵250＞200，
∴点A、B、C都不在圆内，
∴这三栋楼都不在该5G基站覆盖范围内．
故选：A．
【点评】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到D点的距离．
15．如图，不等边△ABC内接于⊙O，下列结论不成立的是（ ）
A．∠AOB＝2∠ACBB．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4D．∠ABC＝∠1+∠3
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可对A选项的结论进行判断；利用OA＝OB可对B选项的结论进行判断；由于不等边△ABC，则∠AOC≠∠BOC则∠1大小不一定与∠4相等；利用∠2＝∠1，∠OBC＝∠3可对D选项的结论进行判断．
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对，
∴∠AOB＝2∠ACB，所以A选项的结论成立；
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠2，所以B选项的结论成立；
∵△ABC为不等边三角形，
∴AC≠BC，
∴∠AOC≠∠BOC，
∴∠3≠∠4，所以C选项的结论不成立；
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠2+∠OBC＝∠1+∠3，所以D选项的结论成立．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．
考点卡片
1．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
5．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
6．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
7．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
8．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
9．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
10．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 18:06:21；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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