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2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之垂径定理
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之垂径定理，共26页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB＝4，则CD的长为（ ）
A．B．4C．D．
2．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．5.5米C．6米D．6.5米
3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3B．2C．D．
5．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为3.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m，则此桥拱的半径是（ ）
A．1.62mB．1.64mC．1.14mD．3.56m
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 ．
7．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 ．
8．如图，△OAC是直角三角形，∠OAC＝90°，点A表示的数是3，且AC＝1，若以点C圆心AC为半径画弧交OC于点B以点O为圆心，OB为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．
9．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．
10．如图，在⊙Q中，半径为5，GH，CD是两条弦，GH＝8，CD＝6，GH⊥MN于点E，CD⊥MN于点F．点P在MN上运动，则PG+PC的最小值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
12．HUAWEIMate60Pr于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
13．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．
14．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 米．
15．根据素材解决问题．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之垂径定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB＝4，则CD的长为（ ）
A．B．4C．D．
【考点】垂径定理；线段垂直平分线的性质．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OC，设AB和CD交于点P，根据作图得出CD垂直平分OB，利用勾股定理求出CM，再根据垂径定理得出结果．
【解答】解：连接OC，设AB和CD交于点P，
由作图可知：CD垂直平分OB，
∵AB＝4，
∴OPOBAB＝1，OCAB＝2，
∴CP，
∵CD⊥OB，
∴CD＝2CP，
故选：C．
【点评】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．
2．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．5.5米C．6米D．6.5米
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据垂径定理得到AD的长，再根据勾股定理即可求出半径．
【解答】解：由题意，得CD⊥AB，
∴ADAB，
设此圆的半径OA＝r米，
∵AB＝8米，CD＝8米，
∴AD＝4米，OD＝（8﹣r）米，
在Rt△OAD中，
由勾股定理，得OA2＝AD2+OD2，
即r2＝42+（8﹣r）2，
解得r＝5（米），
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】B
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BEAB8＝4，
在Rt△AEO中，OE3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3B．2C．D．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．
【解答】解：连接OB，
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝8，
∴BCAB4，
在Rt△OBC中，
∵OB＝5，BC＝4，
∴OC3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．
5．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为3.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m，则此桥拱的半径是（ ）
A．1.62mB．1.64mC．1.14mD．3.56m
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】设圆心为O，作OD⊥AB于点D，DO的延长线交圆弧为点C，设半径为Rm，根据垂径定理得AD＝BD＝1.6m，OD＝（2﹣R）m，由勾股定理得：R2＝1.62+（2﹣R）2，即可求出答案．
【解答】解：如图，设圆心为O，作OD⊥AB于点D，DO的延长线交圆弧为点C，则C为优弧AB的中点，设半径为R m，
∴AD＝BDAB＝1.6m，CD＝2m，
∴OD＝（2﹣R）m，
由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，
∴R2＝1.62+（2﹣R）2，
解得：R＝1.64，
故选：B．
【点评】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 16 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】16．
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴CE＝DECD，
∵AB＝20，
∴OCAB＝10，
在Rt△COE中，OE＝6，
∴CE8，
∴CD＝16，
故答案为：16．
【点评】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
7．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 4 ．
【考点】垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】4．
【分析】过O作OF⊥DC于F，连接OC，求出OA＝OB＝OC＝3，根据垂直定义得出∠OFE＝∠OFC＝90°，求出OE，根据勾股定理求出OF，再根据勾股定理求出CF，根据垂径定理得出DF＝CF，再求出答案即可．
【解答】解：
过O作OF⊥DC于F，连接OC，则∠OFE＝∠OFC＝90°，
∵BE＝1，AE＝5，
∴AB＝BE+AE＝6，
∴OB＝OA＝OC＝3，
∴OE＝3﹣1＝2，
∵∠AEC＝30°，
∴OFOE＝1，
∴CF2，
∵OF⊥CD，OF过圆心O，
∴DF＝CF＝2，
∴CD＝CF+DF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
8．如图，△OAC是直角三角形，∠OAC＝90°，点A表示的数是3，且AC＝1，若以点C圆心AC为半径画弧交OC于点B以点O为圆心，OB为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．
【考点】垂径定理；实数与数轴；坐标与图形性质．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意得出OA＝3，BC＝1，根据勾股定理求出，最后根据OD＝OB＝OC﹣BC，即可求解．
【解答】解：∵点A表示的数是3，
∴OA＝3，
∵AC＝1，
∴BC＝1，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴点D表示的数为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方．
9．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 1.3 m．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】1.3．
【分析】设半径为r m，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【解答】解：设圆的半径为r m，
由题意可知，DFCDm，EF＝2.5m，
Rt△OFD中，OF，r+OF＝2.5，
所以r＝2.5，
解得r＝1.3．
故答案为：1.3．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．
10．如图，在⊙Q中，半径为5，GH，CD是两条弦，GH＝8，CD＝6，GH⊥MN于点E，CD⊥MN于点F．点P在MN上运动，则PG+PC的最小值为 ．
【考点】垂径定理；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】作CA⊥GH于A点，连接HC，QG，CQ首先根据题意得到PG+PC＝PH+PC≤CH，得到当点C，P，H 共线时，PG+PC有最小值，即CH的长度，然后利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理结合线段的和差得到EF＝EQ+FQ＝3+4＝7，然后证明出四边形AEFC是矩形，得到AC＝EF＝7，AE＝CF＝3，最后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：作CA⊥GH于A点，连接HC，QG，CQ，
∵GH⊥MN，MN是⊙Q的直径，
∴点G和点H关于MN对称，
∴PG＝PH，
∴PG+PC＝PH+PC≤CH，
∴当点C，P，H 共线时，PG+PC有最小值，即CH的长度，
∵在⊙Q中，半径为5，
∴QG＝QC＝5，
∵GH⊥MN，CD⊥MN，GH＝8，CD＝6，
∴，，
∴，$QF＝\sqrt{C{Q}^{2}﹣C{F}^{2}}＝4，
∴EF＝EQ+FQ＝3+4＝7，
∵CA⊥GH，GH⊥MN，CD⊥MN，
∴四边形AEFC是矩形，
∴AC＝EF＝7，AE＝CF＝3，
∴AH＝AE+EH＝3+4＝7，
∴$CH＝\sqrt{A{H}^{2}+A{C}^{2}}＝7\sqrt{2}$．
故答案为：$7\sqrt{2}$．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，轴对称﹣最短路径问题等知识，解题的关键是根据题意得到当点C，P，H 共线时，PG+PC有最小值，即CH的长度．
三．解答题（共5小题）
11．唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】该桨轮船的轮子直径为7.5m
【分析】连接OB，构建Rt△OBD，利用勾股定理求出轮子的直径．
【解答】解：依题意，得OC⊥AB，AD＝BD＝3m，
如图，连接OB，设轮子的直径为d m，则其半径为 m．
则在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，
∴，
解得d＝7.5m，
故答案为该桨轮船的轮子直径为7.5m．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．
12．HUAWEIMate60Pr于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【答案】78mm．
【分析】设半径OA的长为r mm，则OA＝OC＝OB＝r mm，由已知可得OD＝（r﹣14）mm，ADAB＝40mm，然后在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2﹣OD2＝AD2，即r2﹣（r﹣14）2＝402，由此解出r即可．
【解答】解：设半径OA的长为r mm，
则OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高CD＝14mm，
∴OD＝（r﹣14）mm，
∵OC⊥AB，AB＝80mm，
∴ADAB＝40mm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，
即r2﹣（r﹣14）2＝402，
解得：r．
答：半径OA的长为mm．
【点评】此题主要考查了弓形的概念，熟练掌握弓形的概念，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
13．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】15分米．
【分析】连接AO，根据垂径定理求得AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根据勾股定理即可求得x．
【解答】解：连接AO，
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB＝18，C为AB的中点，
∴AC＝BC＝9，
设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，
∵CD＝27，
∴OC＝27﹣x，
在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，
∴92+（27﹣x）2＝x2，
∴x＝15（分米），
答：拱门所在圆的半径是15分米．
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
14．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 10 米．
【考点】垂径定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．
【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FBAB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH＝NHMN＝30，
∴EH40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用；由垂径定理和勾股定理求出半径是解决问题的关键．
15．根据素材解决问题．
【考点】垂径定理的应用；二次函数的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】圆形桥拱的半径10m，至少要增加吨的货物才能通过．
【分析】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
【解答】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，
设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m，
∵OC⊥AB，
∴m，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，
∴r＝10，
∴圆形拱桥的半径为10m．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴，
∴m，
∵OD＝6m，
∴，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度m．
∵，
∴吨，
∴至少要增加吨的货物才能通过．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
考点卡片
1．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
7．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
8．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
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素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
1．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB＝4，则CD的长为（ ）
A．B．4C．D．
2．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．5.5米C．6米D．6.5米
3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3B．2C．D．
5．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为3.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m，则此桥拱的半径是（ ）
A．1.62mB．1.64mC．1.14mD．3.56m
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 ．
7．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 ．
8．如图，△OAC是直角三角形，∠OAC＝90°，点A表示的数是3，且AC＝1，若以点C圆心AC为半径画弧交OC于点B以点O为圆心，OB为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．
9．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．
10．如图，在⊙Q中，半径为5，GH，CD是两条弦，GH＝8，CD＝6，GH⊥MN于点E，CD⊥MN于点F．点P在MN上运动，则PG+PC的最小值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
12．HUAWEIMate60Pr于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
13．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．
14．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 米．
15．根据素材解决问题．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之垂径定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB＝4，则CD的长为（ ）
A．B．4C．D．
【考点】垂径定理；线段垂直平分线的性质．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OC，设AB和CD交于点P，根据作图得出CD垂直平分OB，利用勾股定理求出CM，再根据垂径定理得出结果．
【解答】解：连接OC，设AB和CD交于点P，
由作图可知：CD垂直平分OB，
∵AB＝4，
∴OPOBAB＝1，OCAB＝2，
∴CP，
∵CD⊥OB，
∴CD＝2CP，
故选：C．
【点评】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．
2．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．5.5米C．6米D．6.5米
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据垂径定理得到AD的长，再根据勾股定理即可求出半径．
【解答】解：由题意，得CD⊥AB，
∴ADAB，
设此圆的半径OA＝r米，
∵AB＝8米，CD＝8米，
∴AD＝4米，OD＝（8﹣r）米，
在Rt△OAD中，
由勾股定理，得OA2＝AD2+OD2，
即r2＝42+（8﹣r）2，
解得r＝5（米），
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】B
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BEAB8＝4，
在Rt△AEO中，OE3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3B．2C．D．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．
【解答】解：连接OB，
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝8，
∴BCAB4，
在Rt△OBC中，
∵OB＝5，BC＝4，
∴OC3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．
5．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为3.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m，则此桥拱的半径是（ ）
A．1.62mB．1.64mC．1.14mD．3.56m
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】设圆心为O，作OD⊥AB于点D，DO的延长线交圆弧为点C，设半径为Rm，根据垂径定理得AD＝BD＝1.6m，OD＝（2﹣R）m，由勾股定理得：R2＝1.62+（2﹣R）2，即可求出答案．
【解答】解：如图，设圆心为O，作OD⊥AB于点D，DO的延长线交圆弧为点C，则C为优弧AB的中点，设半径为R m，
∴AD＝BDAB＝1.6m，CD＝2m，
∴OD＝（2﹣R）m，
由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，
∴R2＝1.62+（2﹣R）2，
解得：R＝1.64，
故选：B．
【点评】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 16 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】16．
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴CE＝DECD，
∵AB＝20，
∴OCAB＝10，
在Rt△COE中，OE＝6，
∴CE8，
∴CD＝16，
故答案为：16．
【点评】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
7．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 4 ．
【考点】垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】4．
【分析】过O作OF⊥DC于F，连接OC，求出OA＝OB＝OC＝3，根据垂直定义得出∠OFE＝∠OFC＝90°，求出OE，根据勾股定理求出OF，再根据勾股定理求出CF，根据垂径定理得出DF＝CF，再求出答案即可．
【解答】解：
过O作OF⊥DC于F，连接OC，则∠OFE＝∠OFC＝90°，
∵BE＝1，AE＝5，
∴AB＝BE+AE＝6，
∴OB＝OA＝OC＝3，
∴OE＝3﹣1＝2，
∵∠AEC＝30°，
∴OFOE＝1，
∴CF2，
∵OF⊥CD，OF过圆心O，
∴DF＝CF＝2，
∴CD＝CF+DF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
8．如图，△OAC是直角三角形，∠OAC＝90°，点A表示的数是3，且AC＝1，若以点C圆心AC为半径画弧交OC于点B以点O为圆心，OB为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．
【考点】垂径定理；实数与数轴；坐标与图形性质．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意得出OA＝3，BC＝1，根据勾股定理求出，最后根据OD＝OB＝OC﹣BC，即可求解．
【解答】解：∵点A表示的数是3，
∴OA＝3，
∵AC＝1，
∴BC＝1，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴点D表示的数为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方．
9．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 1.3 m．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】1.3．
【分析】设半径为r m，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【解答】解：设圆的半径为r m，
由题意可知，DFCDm，EF＝2.5m，
Rt△OFD中，OF，r+OF＝2.5，
所以r＝2.5，
解得r＝1.3．
故答案为：1.3．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．
10．如图，在⊙Q中，半径为5，GH，CD是两条弦，GH＝8，CD＝6，GH⊥MN于点E，CD⊥MN于点F．点P在MN上运动，则PG+PC的最小值为 ．
【考点】垂径定理；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】作CA⊥GH于A点，连接HC，QG，CQ首先根据题意得到PG+PC＝PH+PC≤CH，得到当点C，P，H 共线时，PG+PC有最小值，即CH的长度，然后利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理结合线段的和差得到EF＝EQ+FQ＝3+4＝7，然后证明出四边形AEFC是矩形，得到AC＝EF＝7，AE＝CF＝3，最后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：作CA⊥GH于A点，连接HC，QG，CQ，
∵GH⊥MN，MN是⊙Q的直径，
∴点G和点H关于MN对称，
∴PG＝PH，
∴PG+PC＝PH+PC≤CH，
∴当点C，P，H 共线时，PG+PC有最小值，即CH的长度，
∵在⊙Q中，半径为5，
∴QG＝QC＝5，
∵GH⊥MN，CD⊥MN，GH＝8，CD＝6，
∴，，
∴，$QF＝\sqrt{C{Q}^{2}﹣C{F}^{2}}＝4，
∴EF＝EQ+FQ＝3+4＝7，
∵CA⊥GH，GH⊥MN，CD⊥MN，
∴四边形AEFC是矩形，
∴AC＝EF＝7，AE＝CF＝3，
∴AH＝AE+EH＝3+4＝7，
∴$CH＝\sqrt{A{H}^{2}+A{C}^{2}}＝7\sqrt{2}$．
故答案为：$7\sqrt{2}$．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，轴对称﹣最短路径问题等知识，解题的关键是根据题意得到当点C，P，H 共线时，PG+PC有最小值，即CH的长度．
三．解答题（共5小题）
11．唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】该桨轮船的轮子直径为7.5m
【分析】连接OB，构建Rt△OBD，利用勾股定理求出轮子的直径．
【解答】解：依题意，得OC⊥AB，AD＝BD＝3m，
如图，连接OB，设轮子的直径为d m，则其半径为 m．
则在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，
∴，
解得d＝7.5m，
故答案为该桨轮船的轮子直径为7.5m．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．
12．HUAWEIMate60Pr于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【答案】78mm．
【分析】设半径OA的长为r mm，则OA＝OC＝OB＝r mm，由已知可得OD＝（r﹣14）mm，ADAB＝40mm，然后在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2﹣OD2＝AD2，即r2﹣（r﹣14）2＝402，由此解出r即可．
【解答】解：设半径OA的长为r mm，
则OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高CD＝14mm，
∴OD＝（r﹣14）mm，
∵OC⊥AB，AB＝80mm，
∴ADAB＝40mm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，
即r2﹣（r﹣14）2＝402，
解得：r．
答：半径OA的长为mm．
【点评】此题主要考查了弓形的概念，熟练掌握弓形的概念，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
13．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】15分米．
【分析】连接AO，根据垂径定理求得AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根据勾股定理即可求得x．
【解答】解：连接AO，
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB＝18，C为AB的中点，
∴AC＝BC＝9，
设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，
∵CD＝27，
∴OC＝27﹣x，
在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，
∴92+（27﹣x）2＝x2，
∴x＝15（分米），
答：拱门所在圆的半径是15分米．
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
14．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 10 米．
【考点】垂径定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．
【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FBAB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH＝NHMN＝30，
∴EH40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用；由垂径定理和勾股定理求出半径是解决问题的关键．
15．根据素材解决问题．
【考点】垂径定理的应用；二次函数的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】圆形桥拱的半径10m，至少要增加吨的货物才能通过．
【分析】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
【解答】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，
设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m，
∵OC⊥AB，
∴m，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，
∴r＝10，
∴圆形拱桥的半径为10m．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴，
∴m，
∵OD＝6m，
∴，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度m．
∵，
∴吨，
∴至少要增加吨的货物才能通过．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
考点卡片
1．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
7．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
8．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
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菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
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