【中考二轮】2024年中考数学 热点07+求阴影部分面积填空类（5题型+满分技巧+限时检测）-专题训练.zip

这是一份【中考二轮】2024年中考数学 热点07+求阴影部分面积填空类（5题型+满分技巧+限时检测）-专题训练.zip，文件包含中考热点07求阴影部分面积填空类5题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、中考热点07求阴影部分面积填空类5题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。


重庆中考对于此节的考查重点是不规则阴影面积的计算，近12年连续考查.不规则阴影面积的计算常以填空题或选择题的形式进行考查;常结合矩形、菱形等图形进行设题，涉及等积转化法、直接和差法、构造和差法等方法,难度中等.牢记扇形面积公式,加强不规则阴影面积的计算，熟练应用各种方法求解阴影面积
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc6775" 【题型1 规则图形作差求面积】 PAGEREF _Tc6775 \h 1
\l "_Tc32741" 【题型2 割补法求面积】 PAGEREF _Tc32741 \h 6
\l "_Tc26127" 【题型3 转化为扇形求面积】 PAGEREF _Tc26127 \h 11
\l "_Tc18464" 【题型4 转化为三角形或四边形求面积】 PAGEREF _Tc18464 \h 14
\l "_Tc7276" 【题型5 利用对称性求面积】 PAGEREF _Tc7276 \h 19
【题型1 规则图形作差求面积】
【例1】．（2024下·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，BC＝4，∠BCA＝30°，E为AD上一点，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点F，若BF＝AB，则图中阴影部分的面积为 （结果保留?）．
【答案】23−π3
【分析】由∠BAC＝90°，BC＝4，∠BCA＝30°，求得AB＝2，∠B＝60°，AC＝23，四边形ABCD是平行四边形，得到∠CAD＝∠BCA＝30°，∠ACD＝∠BAC＝90°，证明△ABF是等边三角形，得AE＝AF＝2，利用阴影部分的面积＝S△ACD−S扇形EAG代入数值即可得到答案．
【详解】解：连接AF，
∵∠BAC＝90°，BC＝4，∠BCA＝30°，
∴AB＝12BC＝2，∠B＝90°－∠BCA＝60°，AC＝BC2−AB2=42−22=23，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CAD＝∠BCA＝30°，∠ACD＝∠BAC＝90°，
∵BF＝AB，
∴△ABF是等腰三角形，
∵∠B＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF＝AB＝2，
∴AE＝AF＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ACD−S扇形EAG
＝12×23×2−30π×22360
＝23−π3．
故答案为：23−π3
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，扇形面积公式等知识，证明△ABF是等边三角形是解题的关键．
【变式1-1】．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期中）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，以A为圆心，AB为半径画弧，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】83− 8π3．
【分析】本题考查了菱形面积和扇形面积的计算，根据“阴影面积=菱形面积-扇形面积”求解即可．
【详解】解：过点D作DE⊥AB，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=4，
∴DE=AD⋅sin∠A=4⋅sin60°=4×32=23，
∴菱形的面积为：4×23=83；
扇形的面积为：60π×42360=83π
阴影部分的面积为：83−83π，
故答案为：83−83π．
【变式1-2】．（2023上·重庆渝北·九年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】43π−23
【分析】根据折叠的想找得到AC=AO,BC=BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO=∠AOC=60°，求得∠AOB=120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，
∴AC=AO,BC=BO，
∵AO=BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，则AB⊥OC，AB=2AD，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO=∠AOC=60°，AC=OA=2，
∴∠AOB=120°，
∵AB⊥OC，
∴OD=12OC=1，
∴AD=OA2−OD2=3，
∴AB=2AD=23，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB−S菱形AOBC=120π×22360−12×2×23=43π−23．
故答案为：43π−23．
【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明∠AOB=120°是解题的关键．
【变式1-3】．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=2,∠BAD的平分线交BC于点O，以O为圆心，OA为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π−4
【分析】由矩形的性质及角平分线的定义推出△ABO的等腰直角三角形，进而求出OA，∠AOB=45°，OB=1，证得Rt△ABO≌Rt△DCO，求得进而求得∠AOD=90°，根据阴影部分的面积=S扇形OAD−S△OAD即可求出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=∠C=90°，AB=CD，
∴∠DAO=∠BOA，
∵OA是∠BAD的平分线，
∴∠BAO=∠DAO，
∴∠BAO=∠BOA，
∴AB=OB=2，
∴∠BAO=∠BOA=180°−90°2=45°，
在Rt△ABO中，OA=AB2+OB2=22+22=22，
在Rt△ABO和Rt△DCO中，
AO=DOAB=DC，
∴Rt△ABO≌Rt△DCOHL，
∴∠DOC=∠AOB=45°，OC=OB=2，
∴BC=AD=4，
∴∠AOD=180°−45°−45°=90°，
∴△OAD的面积为12AD⋅AB=4，
则阴影部分的面积为：S扇形OAD−S△OAD= 90⋅π⋅222360−4=2π−4，
故答案为：2π−4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键．
【变式1-4】．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC⊥AB,以O为圆心,OA长为半径画弧交对角线于点E,以O为圆心，OC长为半径画弧交对角线BD于点F．若AB=2,BC=25,则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）

【答案】4−π/−π+4
【分析】首先根据勾股定理求出AC=BC2−AB2=4，然后利用平行四边形的性质得到AO=OC=12AC=2，然后得到∠ABO=∠AOB=45°，最后利用阴影部分的面积为2S△AOB−S扇形AOE代入求解即可．
【详解】∵AC⊥AB，AB=2,BC=25，
∴AC=BC2−AB2=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=12AC=2，
∴AB=AO，
∴∠ABO=∠AOB=45°，
由平行四边形的对称性可得，阴影ABE的面积和阴影CDF的面积相等，
∴阴影部分的面积为2S△AOB−S扇形AOE=2×12×2×2−45°×π×22360°=4−π．
故答案为：4−π．
【点睛】本题主要考查扇形面积、平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握扇形面积、平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型2 割补法求面积】
【例2】．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=4，以AC为直径的半圆交AB于点D，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】53−2π
【分析】本题考查利用扇形面积公式求解不规则图形面积，连接OD，过O作OE⊥AD于E，根据直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半及勾股定理求出AC，AD，OE，结合扇形面积公式即可得到答案；
【详解】解：连接OD，过O作OE⊥AD于E，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵BC=4，
∴AB=2BC=8，
∴AC=82−42=43，
∴OC=OA=OD=23，
∴∠ODA=∠BAC=30°，
∴∠OOC=60°，
∵OE⊥AD，
∴OE=12OA=3，AE=(23)2−(3)2=3，
∴AD=2AE=6，
∴S阴影=S△ABC−S△OAD−S扇形=12×4×43−12×6×3−60°×(23)2π360°=53−2π，
故答案为：53−2π．
【变式2-1】.（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，在三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，O是AB的中点，以点O为圆心，2为半径画弧分别与AC、BC相切于点D、点E，与AB交于点F．则图中阴影部分面积为 ．
【答案】3π2+2．
【分析】连接OD，OE，OC，根据切线的性质得到OD⊥AC，OE⊥BC，根据等腰三角形的性质和判定求得OD=AD=2，∠DOF=135°，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式求出S扇形ODF和S△ADO，再根据S阴影=S扇形ODF+S△ADO即可求出结果．
【详解】解：连接OD，OE，OC，
∵⊙O分别与AC、BC相切于点D、点E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，O是AB的中点，
∴AO＝BO，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，
∴∠AOD＝∠BOE＝45°，AO＝CO，
∴∠DOF＝180°﹣∠AOD＝135°，OD＝12AC＝2，∠A＝∠AOD，
∴AD＝OD＝2，
∴S阴影＝S扇形ODF+S△ADO
＝135πOD2360+12AD⋅OD
=135×π×22360+12×2×2
=3π2+2，
故答案为：3π2+2．
【点睛】此题综合考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质及扇形的面积计算方法，根据切线的性质得到OD⊥AC，OE⊥BC，根据等腰三角形的性质和判定求出OD=AD=2，∠DOF=135°是解决问题的关键．
【变式2-2】．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝30°，AB=23，点B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】π3/13π
【分析】连接BF，过F作HF⊥BC于H，解直角三角形得到BC=2，求得△BCF是等边三角形，得到∠CBF=60°，推出∠EBF=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接BF，过F作HF⊥BC于H，如下图，
∵∠BAC=30°，AB=23，
∴tan∠BAC=BCAB=33，
解得：BC=2，
∵∠BAC=30°
∴∠ACB=90°−∠BAC=60°
∵BC=BF，
∴△BCF为等边三角形，
∴∠CBF=60º，BF=FC=BC=2
∴sin∠HCF=FHFC=32，
∴FH=3，
∵矩形ABCD中∠ABC=90º
∴∠EBF=30º
∴S阴=S扇形BCF+S△ABC-2S△BCF-S扇形BEF
=60⋅π×22360+12×23×2−2×12×2×3−30×π×22360
=π3，
故答案为：π3．
【点睛】此题考查了阴影部分面积的求法，矩形的性质、等边三角形面积、等边三角形的判定和性质，扇形面积的求法，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用所学知识将阴影部分的面积转化为规则图形面积的和差情况．
【变式2-3】．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图，点N是矩形ABCD的BC边上的中点，以点N为圆心、BC为直径，在矩形ABCD的内部作出半圆⊙N，以点B为圆心、BA为半径在矩形ABCD内部作出四分之一圆⊙B，⊙N与⊙B相交于点M，连接MN，已知MN⊥BC，BC=8cm，图中阴影部分的面积 cm2．

【答案】8π+8
【分析】连接BM，由扇形面积公式，三角形面积公式，分别计算出扇形BAM的面积，扇形NMC的面积，△MBN的面积，即可得到阴影的面积．
【详解】解：如图所示，连接BM，
∵MN⊥BC，BN=MN，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠MBN=45°，BM=2BN，
∵N是BC中点，BC=8cm，
∴NB=CN=12BC=4cm，
∴BM=42cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABM=∠ABC−∠MBN=45°，
∵扇形BAM的面积=45×π×422360=4πcm2，扇形NMC的面积=90×π×42360=4πcm2，△MBN的面积=12NB⋅MN=12×4×4=8cm2，
∴阴影的面积=扇形BAM的面积+扇形NMC的面积+ △MBN的面积=8+4π+4π=8π+8cm2，
故答案为：8π+8．

【点睛】本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，关键是把阴影分割成扇形BAM，扇形NMC，△MBN．
【变式2-4】．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，已知等边△ABC中，AB＝6，以BC的中点D为圆心，BD为半径画弧，分别与AB、AC交于点E、点F，再以点A为圆心，AE为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】6π−93
【分析】根据等边三角形的性质可得出∠BDE=∠EDF=∠CDF=60°，BD=DC=DE=DF=3，可得△BDE≌△DEF≌△CDF，进而得出阴影部分的面积等于四个弓形EF的面积，求出弓形EF的面积即可．
【详解】解：如图，连接DE、DF、EF，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
又∵BD=DC=DE=DF=12×6=3，
∴∠BDE=∠EDF=∠CDF=60°
∴△BDE≌△DEF≌△CDF（SAS），
且这三个三角形都为边长为3的等边三角形，
即可求得高为3×32=332，
∴阴影部分的面积等于四个弓形EF的面积，
∵弓形EF的面积等于扇形EDF的面积减去三角形EDF的面积，
即60π×32360−12×3×332
=3π2−934，
∴阴影部分的面积=4×3π2−934=6π−93
故答案为：6π−93．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积、等边三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
【题型3 转化为扇形求面积】
【例3】．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，BC=1cm，则图中阴影部分的面积为 cm²．（结果保留π）
【答案】112π
【分析】根据阴影部分面积=扇形DCB −扇形EBC,根据圆的性质，证明△EBC为等边三角形，即可得出∠EBC的度数，即可解答．
【详解】解：∵扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，
∴△EBC为等边三角形，
∴ ∠EBC=60°，
∵四边形ABCD为正方形，BC=1cm，
∴S扇形EBC=60°360°×12×π=16πcm2，S扇形DCB=90°360°×12×π=14πcm2,
∴S阴影=14π−16π=112πcm2．
故答案为：112π
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积的求法，仔细观察图形，利用图形是解题的关键．
【变式3-1】．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在半径为23的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是圆弧AB上的一点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若点D为OA的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π
【分析】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△ODC，得到∠COD=60°，图中阴影部分的面积=扇形OAC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【详解】解：如图，连接OC，
∵∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OE=CD，DE=OC，
在△DOE和△ODC中，
OE=DCDE=COOD=DO，
∴△DOE≌△ODC(SSS)，
∵点D为OA的中点
∴OD=12OA=12OC
∴∠DCO=30°，
∴∠DOC=60°
∴图中阴影部分的面积=扇形OAC的面积，
∵S扇形OAC=60π⋅232360=2π，
∴图中阴影部分的面积=2π，
故答案为：2π．
【变式3-2】．（2023上·重庆南岸·九年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】83π
【详解】试题分析：过点O作OD⊥BC于点D，交BC于点E，连接OC，则点E是BEC的中点，由折叠的性质可得点O为BOC的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=12R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°，
∴∠AOC=60°，∴S阴影=S扇形AOC=60π×42360=8π3．
考点：扇形面积的计算．
【变式3-3】．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在扇形AOB中，半径OA的长为2，点C在弧AB上，连接AC，BC，OC，若四边形OBCA为菱形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含π的代数式表示）
【答案】23π
【分析】由菱形的性质和圆的基本性质可知：∠BOC=60°，S△OAC=S△OBC，可以得出阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵在扇形AOB中，半径OA的长为2，点C在弧AB上，
∴OA=OB=OC=2，
∵四边形OBCA为菱形，
∴OA=OB=OC=AC=BC=2，△OAC≌△OBC，
∴△OBC是等边三角形，S△OAC=S△OBC，
∴∠BOC=60°，
∴阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，
∴S阴影=S扇形OBC=60×π×22360=23π．
故答案为：23π．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积的应用，圆的基本性质等知识，利用割补法把不规则图形转化成规则图形求解的能力．把阴影部分的面积转化为扇形的面积求解是解题的关键．
【变式3-4】．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，直径AB=8的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A′，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】163π
【分析】利用S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′−S半圆AB=S扇形ABA′，进行求解即可．
【详解】∵半圆AB绕B点顺时针旋转30°得到半圆A′B，
∴S半圆A′B=S半圆AB，∠ABA′=30°，
∴S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′−S半圆AB=S扇形ABA′=30π×82360=163π．
故答案为：163π．
【点睛】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
【题型4 转化为三角形或四边形求面积】
【例4】．（2023年重庆实验外国语学校中考一模数学试题）如图，矩形ABCD中，AB=2， O为AB的中点，以O为圆心，AO为半径作半圆与边CD相交于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】34
【分析】连接OE，BE，根据题意得出△EOF，△BOE是等边三角形，得出S扇形FOE=S扇形EOB，根据阴影部分面积=S△OEF=34即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OE，BE
依题意，OE=OB=BE，
∴△BOE是等边三角形，
∴∠BOE=60°
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FEO=∠EOB=60°，
又∵OE=OF，
∴△EOF是等边三角形，
∵AB=2， O为AB的中点，
∴OB=OA=1，
∴S△OEF=S△OFB=34，
∵OF=OF=BO=1,∠FOE=∠OBE=60°，
∴S扇形FOE=S扇形EOB，
∴阴影部分面积=S△OEF=S△OFB=34，
故答案为：34．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，扇形面积，得出阴影部分面积等于S△OEF=S△OFB=34是解题的关键．
【变式4-1】．（2023下·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校联考期中）如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】1.
【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积＝S△CEB ，进而得出答案．
【详解】如图所示：连接BE，
可得，AE＝BE，∠AEB＝90°，
且阴影部分面积＝S△CEB＝12S△ABC＝14S正方形ABCD＝14×2×2＝1
故答案为1
【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形．
【变式4-2】．（2023下·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在扇形BCD中，∠BCD=120°，以点B为圆心，BC长为半径画弧交弧BD于点A，得扇形ABC，若BC=6，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】93
【分析】如图，连接AC,AD，由题意可知△ABC是等边三角形，且故扇形ABC全等于扇形ACD，运用割补法可知S阴影=S△ABC，运用等边三角形面积等于3a24进行计算．
【详解】解：如图，连接AC,AD，作AE⊥BC于E，
以点B为圆心，BC长为半径画弧交弧BD于点A，
∴AC=BC=AB=BC=6，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵AE⊥BC，
∴BE=3，
∴AE=AB2−BE2=62−32=33，
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=60°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
故扇形ABC全等于扇形ACD，
∴S阴影=S扇ACD−S弓形AC=S扇ACD−S扇ABC−S△ABC=S△ABC，
∴S阴影=S△ABC=12×6×33=93，
故答案为：93．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，割补法求不规则图形的面积；解题的关键是割补法求面积、用勾股定理求边长．
【变式4-3】．（2023上·重庆·九年级重庆市第七中学校校考期末）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【答案】163
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得△ABD是等边三角形，进而得出S阴影=S扇形BDC−S扇形ABD−S△ABD=S△ABD，求解即可．
【详解】如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴△ABD的高为32AB=43cm，
∴S△ABD=12×8×43=163cm2，
∴∠ABD=60°，
又∵菱形的对边AD∥BC，
∴∠ABC=180°−∠A=120°，
∴∠CBD=120°−∠ABC=60°，
∴S阴影=S扇形BDC−S扇形ABD−S△ABD=S△ABD=163cm2，
故答案为：163．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相关图形的形性质得出S阴影=S扇形BDC−S扇形ABD−S△ABD=S△ABD是解本题的关键．
【变式4-4】．（2022上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，以A为圆心，AB为半径画弧，分别与边CD交于点E，与AD的延长线交于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）

【答案】2−1/−1+2
【分析】过E作EG⊥CD交AB于点G，证明四边形BCEG，EGAD都是矩形，得到矩形EGAD是正方形，推出阴影部分的面积=矩形BCEG的面积，据此求解即可．
【详解】解：过E作EG⊥CD交AB于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形BCEG，EGAD都是矩形，
∵AB=2，AD=1，
∴AE=AF=AB=2，
∴DE=22−12=1，
∴矩形EGAD是正方形，
∴DE=EG，DF=BG，
∴阴影部分的面积=矩形BCEG的面积=BG×EG=2−1×1=2−1，
故答案为：2−1．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的判定和性质是正确解答的前提．
【题型5 利用对称性求面积】
【例5】．（2023下·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，以边BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】3−π2
【分析】根据题意和图形可知，阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-扇形BOC的面积-△AOD的面积，然后代入数据计算即可．
【详解】解：由图可知，
阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-扇形BOC的面积-△AOD的面积，
∵正方形ABCD的边长为2，∠ABC=90°，
∴AB=BC=2，
∴AC=AB2+BC2=22+22=22，
∴AO=OD=2，
∴阴影部分的面积是：2×2-180π×12360-2×22=3−π2，
故答案为：3−π2．
【点睛】本题考查了扇形的面积、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式5-1】．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称的两条弦，以弦AC、AD为折线将弧AC，弧AD折叠后过圆心O，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分的面积为 ．

【答案】83
【分析】根据对称性和直角三角形的边角关系求出扇形圆心角度数，再根据各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【详解】如图，过点O作OE⊥AD于点F，交⊙O于点E，连接OD，

则OA=OE=OD，由折叠对称可知，
OF=EF=12OA=2，
∴∠OAD=30°, ∠OED=2∠OAD=60°，△ODE是等边三角形，
∴∠AOE=∠DOE=∠BOD=60°，
∵⊙O的半径r=4，DF=23，
由题意可知，S阴影部分=2S△ODE=2×12×4×23=83，
故答案为：83．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，垂径定理、直角三角形的边角关系以及折叠轴对称的性质，掌握扇形面积的计算方法以及轴对称的性质是正确解答的提．
【变式5-2】．（2022上·重庆·九年级重庆十八中校考周测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】4−π
【分析】根据图形可得S阴影=SABCD−2S扇形，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】由图可知，
S阴影=SABCD−2S扇形，
SABCD=2×2=4，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴AC=22，
∵点O是AC的中点，
∴OA=2，
∴S扇形=90°π(2)2360°=π2,
∴S阴影=SABCD−2S扇形=4-π，
故答案为：4−π．
【点睛】本题考查了求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质，解题的关键是观察图形得出S阴影=SABCD−2S扇形．
【变式5-3】．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,BC=4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4−π
【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长，根据S阴影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案．
【详解】∵等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,BC=4，
∴AC=AB=22BC=22，∠B=∠C=45°，
∴S阴影=S△ABC-2S扇形CEF=12AC⋅AB−2×45π×22360=4−π，
故答案为：4−π
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键．
【变式5-4】．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图．在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，分别以点A、B、C、D为圆心，OA为半径画弧，弧分别与边AB、BC、CD、DA交于点E、F、G、H，则阴影部分的面积为 ．

【答案】4−π
【分析】根据正方形的性质得到相应条件，利用勾股定理求出OA，再利用SABCD−SOAE−SOBF−SOCG−SODH计算结果即可．
【详解】解：在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，∠OAE=∠OBF=∠OCG=∠ODH=45°，
∴OA=OB=OC=OD=12AC=1222+22=2，
∴阴影部分的面积为：
SABCD−S扇形OAE−S扇形OBF−S扇形OCG−S扇形ODH
=2×2−45×π×22360×4
=4−π，
故答案为：4−π．
【点睛】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是找出阴影部分面积的计算方法．
（建议用时：40分钟）
1．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、AB、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是 ．
【答案】2−1
【分析】本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．通过观察可知阴影部分的面积正好等于长方形ACDF的面积，直接根据相关条件求长方形ACDF的面积即可．
【详解】解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC=DE=CD=OE=1，
∴OD=OC2+CD2=2，∠DOE=∠DOC=45°，
∴AC=BE=OA−OC=2−1，BD⏜=AD⏜，
∴图形ACD是面积等于图形BED的面积，
∴S阴=长方形ACDF的面积=AC⋅CD=2−1．
故答案为：2−1
2．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，连接AE、DE．以E为圆心，BE长为半径画弧，分别与AE，DE交于点F，G．向该矩形ABCD游戏板随机发射一枚飞针，则击中图中阴影部分区域的概率为 ．

【答案】4−π8
【分析】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，利用矩形的性质求得AB=CD=2,BE=CE=2，进而可得∠BAE=∠AEB=∠DEC=∠CDE=45°，然后根据S阴影=2S△ABE−S扇形BEM解答即可．熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，E为BC的中点，
∴AB=CD=2,BE=CE=12BC=2，∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠BAE=∠AEB=∠DEC=∠CDE=45°，
∴S阴影=2S△ABE−S扇形BEF=2×12×2×2−45π×22360=2×2−12π=4−π，
∴击中图中阴影部分区域的概率为4−π2×4=4−π8；
故答案为：4−π8．
3．如图，Rt△ABC，∠C=90°，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=6时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查勾股定理和三角形的面积、圆的面积．根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解题的关键．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=42+62=213，
∴阴影部分的面积为：12×π×22+12×π×32+12×4×6−12×π×132=12，
∴阴影部分的面积为12．
故答案为：12．
4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=33，以点C为圆心，CD为半径画弧，交BD于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

【答案】943−34π
【分析】连接CE，过E作EG⊥BC，可求tan∠BDC=3，从而可得∠BDC=60°，求出S△BCE和S扇形ECF，即可求解．
【详解】解：连接CE，过E作EG⊥BC，
∴CE=CD，

∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，∠BCD=90°，
∴tan∠BDC=BCCD =333=3，
∴∠BDC=60°，
∵以点C为圆心，CD为半径画弧，交BD于点E，
∴CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，∠ECG=30°，CE=3，
∴EG=12CE=32，
∴S△BCE=12BC⋅EG
=12×33×32=943，
S扇形ECF=30×π×32360=34π，
∴S阴影=S△BCE−S扇形ECF
=943−34π；
故答案：943−34π．
【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定及性质，扇形的面积公式，掌握相关的性质及公式是解题的关键．
5．如图，在正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，BC为半径画弧分别交对角线BD于点E、F，连接AE、CF，若AD=1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】π4−1+22
【详解】如图，连接AC交BD于点O，根据S阴=2S扇形ADF−S△ADE，求解即可．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,AC=BD=12+12=2，
∴DE=BD−BE=2−1,OA=OC=22，
根据对称性可知，S阴=2(S扇形ADF−S△ADE)
=2×45π×12360−12×(2−1)×22
=π4−1+22；
故答案为：π4−1+22．
【点睛】本题考查扇形的面积，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AC=4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】23π
【分析】扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπR2360，由此即可计算．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO=30°，
∵∠DOA=∠B+∠BDO=30°+30°=60°，
∴图中阴影部分的面积为 60π×22360=23π．
故答案为：23π．
【点睛】本题考查了扇形的面积，求出扇形的圆心角和半径是解本题的关键．
7．如图，正方形的边长为4，分别以B，C为圆心，BC为半径作圆弧AC，BD并交于点E，则阴影图形的面积为 ．
【答案】163π−43
【分析】连接BE、CE，过点E作EF⊥BC于点F，先证明ΔBCE为等边三角形，根据勾股定理求出EF=23，求出△BCE的面积和扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接BE、CE，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示：
根据题意可知，CE=CB=BE=4，
∴ΔBCE为等边三角形，
∴∠BCE=∠CBE=60°，
∴BF=CF=12BC=2，
根据勾股定理得：EF=BE2−BF2=42−22=23，
∴SΔBCE=12×BC×EF=12×4×23=43，
S扇形BCE=S扇形CBE=60360π×42=83π，
∴S阴影=83π+83π−43=163π−43．
故答案为：163π−43．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，扇形面积的计算，作出辅助线，熟练掌握扇形面积公式，是解题的关键．
8．如图，半径为3的扇形AOB中，∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，若∠CDE=40°则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】π
【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝40°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【详解】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OD＝CE，DE＝OC，CD//OB
∵∠CDE＝40°，
∴∠DEO＝∠CDE＝40°，
在△DOE和△CEO中，
OD=ECDE=COOE=EO
∴△DOE≌△CEO（SSS），
∴∠COB＝∠DEO＝40°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC=40π×32360=π，
∴图中阴影部分的面积＝π，
故答案为：π．
【点睛】本题考查阴影部分的面积，矩形的判定定理，全等三角形的判定及性质，扇形面积公式，解题的关键是证明△DOE≌△CEO，得到图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积．
9．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积 ．
【答案】9π−123
【分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．
【详解】解：如图，连接OD，
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=12∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB•tan∠CBO=6×33 =23，
∴S△BDC=S△OBC=12×OB×OC=12×6×23=63，
S扇形AOB=90360π×62=9π，
∴整个阴影部分的面积为：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=9π-63-63=9π-123，
故答案为：9π−123.
【点睛】本题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
10．正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1为半径画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为 .
【答案】π−22
【分析】求出4个半圆的面积减去正方形的面积，即为阴影部分面积，用阴影面积除以正方形面积即得．
【详解】∵S阴影=4S半圆-S正方形ABCD
=4×12π×12−22
=2π−4，
∴小石子落在阴影部分的概率为，
P小石子落在阴影=S阴影S正方形ABCD
=2π−44
=π−22．
故答案为π−22．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的定义和基本图形面积公式是解决此类问题的关键．
满分技巧
此类题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键．需要迅速判断出阴影部分面积是哪些规则图形面积的和或差，也需用性质求出特殊角的度数。
满分技巧
此类题考查了阴影部分面积的求法，矩形的性质、等边三角形面积、等边三角形的判定和性质，扇形面积的求法，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用所学知识将阴影部分的面积转化为规则图形面积的和差情况．利用割补法把不规则图形分割或补全为规则图形是关键。
满分技巧
此类题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积的应用，圆的基本性质等知识，利用把不规则图形转化成规则图形求解的能力．把阴影部分的面积转化为扇形的面积求解是解题的关键．另外等积法经常应用在此类题中。
满分技巧
此类题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的判定和性质是正确解答的前提．还需要熟练掌握边三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，将不规则图形转化为三角形矩形等，解题的关键是用勾股定理求边长．
满分技巧
此类题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键．需要迅速判断出阴影部分面积是哪些规则图形面积的和或差，也需用性质求出特殊角的度数。并利用对称性求出其中一个然后乘以相应倍数即可。