第二十七章相似模型专题专练-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

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第二十七章相似模型专题讲练模型1 A字型相似和X字型相似模型2 作平行线构造相似模型3 双垂直型相似模型4 手拉手型相似模型5 一线三等角型相似模型1 A字型相似和X字型相似 ☆A字型基础模型： A字型（平行）反A字型（不平行） ☆X字型基础模型： X字型（平行）反X字型（不平行） A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 如图，在中，点D，E分别在，上，若，，且，则的长为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据即可解决问题．【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，故选：B．如图，，，已知，，那么等于（　　） A． B． C． D．【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的性质是解题的关键．由平行线分线段成比例可求，通过证明，可得，即可求解．【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：D．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点运动的速度为秒，点运动的速度为秒，如果两点同时开始运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或秒．【详解】解：当运动的时间是秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， ①当即时，， ∴秒； ②当即时，， ∴秒；综上所述，当为秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似．故选：A．如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（）． A． B． C． D．【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质；先证明结合中点的含义可得，再证明，从而可得答案．【详解】解：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故选D 如图，已知，若，，的面积是4，则的面积为．【答案】21 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相似三角形的面积之比等于相似比的平方．首先证明，然后根据“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”，求得的面积，即可获得答案．【详解】解：∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴．故答案为：21．如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为 . 【答案】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．设，则，求出，再由，即可求出答案．【详解】解：设，，，，解得，，，，．故答案为：．如图，，点H在上，与交于点G，，则长为．【答案】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．根据相似三角形的性质得出，，将两个式子相加，即可求出的长．【详解】解：，，，，，，，，，解得：；故答案为：．如图，在四边形中，平分，，在延长线上取一点B，连接，与交于点F，与交于点G，此时． (1)求证：四边形为菱形； (2)当，时，求线段的长度．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定和性质，能利用相似三角形的对应边成比例进行计算是解题的关键．（1）先根据两组对边分别平行的四边形推导是平行四边形，然后再证明，则可得到结论；（2）根据平行得到，然后得到，即，再根据得到，然后计算求解即可．【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形，又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；（2）解：∵是菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即．已知：如图，在四边形中，对角线交于点，求证：．【答案】见解析【分析】利用两角对应相等则两个三角形相似的判定方法可证相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质即可证得结论，本题考查了相似三角形的判定和性质．【详解】证明：∵， ∴ ∴ ∴ 如图，，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析； (2)．【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．（）利用已知条件推导出，再根据相似三角形的性质即可得到；（）先证明，得到，把这种关系代入到可得到，再通过可算出，解题的关键从图形中找到相似三角形并利用它的性质求解．【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；（2）解；∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，设，则，， ∵， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G． (1)求的值． (2)若， ①求证：． ②求证：．【答案】(1) (2)①见解析；②见解析【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理的和性质定理是解题的关键，（1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到即可；（2）①设，根据题意用表示出、，证明，根据相似三角形的对应角相等证明即可； ②证明，根据相似三角形的性质列式计算即可证明结论．【详解】（1）因为在中，，，又∵， ∴， ∴，（2）①证明：∵，可设，则，由（1）知：， ∴， ∴，， ∴，又∵， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴，又∵， ∴， ∴，又∵， ∴， ∴， ∴．模型2 作平行线构造相似 ☆解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题. 基础模型：如图，在中，，，，垂足为D，F为线段上一点，若，则为（） A． B． C．1 D．【答案】A 【分析】过点D作交于点H，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，求出，证明，得出，即，求出结果．【详解】解：过点D作交于点H，如图所示，在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识．熟练掌握中位线定理，证明三角形相似是解题的关键．已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；作交于，由中点的定义得出，由平行线得出，，得出对应边成比例，，所以，即可得出结论．【详解】证明：过点作交于，如图，为的中点，，，，，，，，．故答案为：．如图，在中，，，则．【答案】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，过点D作交于点G，根据得到，，根据的，，进而代入求解即可，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．【详解】如图所示，过点D作交于点G， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴ ∴．故答案为：．如图，中，D、F为边的三等分点，，连结并延长交于点H，则的值为 . 【答案】【分析】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质等知识点．作，可推出，设，则，可得，即可证，，据此即可求解．【详解】解：作，如图所示：则 ∵， ∴ 设，则， ∵D、F为边的三等分点， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为：如图，在中，E在边上，是的中点，连接并延长交于D，则．【答案】【分析】该题主要考查了相似性质，解题的关键是列出比例式；过点作，交于点，由，利用相似性质，可得出，结合，可得出，再由，利用相似性质解答即可；【详解】过点作，交于点，如图所示．，O是中点，故，故，即．故答案为：．如图，在中，D是的中点，过点C作交BD的延长线于点E，连结．若，，则的长为．【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，作，先证，求出，再证求出，进而求出，根据勾股定理求出结论即可，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．【详解】解：作，垂足分别为F、M、N，在中，，，，，，，，，是的中点，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，在中，，故答案为：．如图，在中，是中点，是线段延长线上的一点，连结并延长交于点． (1)如果，求证：； (2)求的值．【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断与性质，（1）过点作交于点，先证明，即有，，再证明，由，是的中点，可得，问题得证；（2）过点作交于点，先证明，即可得，再证明，即可得，进而有，则有，则．【详解】（1）证明：过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴；（2）过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．模型3 双垂直型相似 ☆直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD. 如图，在中，，于，若，，则．【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，证明，得到，由此即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：，，，，，，，，，，，即，解得：或（不符合题意，舍去），，故答案为：2．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则S1S2的值等于（　　） A．116 B．15 C．14 D．125 【分析】根据已知条件设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，由勾股定理得到AC=5a，根据相似三角形的性质得到BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC求得CE=5a5，AE=45a5，得到CEAE=14，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】∵ADAB=12，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC=5a， ∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC， ∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC ∴a2＝CE•5a，4a2＝AE•5a， ∴CE=5a5，AE=45a5，∴CEAE=14， ∵△CEF∽△AEB，∴S1S2=（CEAE）2=116，选A．【小结】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为　　．【分析】设AF＝x，所以FD＝2﹣x，由题意可知：EF＝FD＝2﹣x，易证△AFE∽△CBE，所以BE=2(2−x)x，再证明△AFE∽△BFA，根据相似三角形的性质即可列出方程求出x的值．【解析】设AF＝x，∴FD＝2﹣x，∴EF＝FD＝2﹣x， ∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AFBC=EFBE，∴x2=2−xBE，∴BE=2(2−x)x，∴BF＝BE+EF=4−x2x， ∵∠AFE＝AFB，∠AEF＝∠BAF＝90°， ∴△AFE∽△BFA，∴AF2＝EF•BF，∴x2=4−x2x•（2﹣x），解得：x=5−1，【小结】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．如图所示，在中，，是边上高，若，，求．【答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据是边上高，得，再根据直角三角形的特征得，进而可得，再利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．【详解】解：是边上高，， , ，，，，，即：，．如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，综合性强，难度不大．（1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论；（2）由，得，得出，由等面积法得出的长．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴；（2）∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，即， ∴．模型4 手拉手型相似 ☆基础模型：如图，与都是等腰直角三角形，，，，连接、．求证：；【答案】证明见解析【分析】根据等腰三角形的性质可得，，即可得出，，从而得出，即可得出结论．【详解】∵与都是等腰直角三角形， ∴，， ∴,， ∴， ∴， ∴．【点睛】本题考查了相似三角形判断与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握性质定理．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若，且，，求的长．【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论．【详解】（1）解：，，理由如下：四边形和四边形是正方形，，，，，，；如图2，延长交于，交于，，，，，，，，，故答案为：，；（2），，理由如下：如图3，延长交于，交于，四边形与四边形都为矩形，，，，，，，，，，，，，，，；（3）如图4，设与的交点为，，，在中，，，根据勾股定理得：，，，，四边形是平行四边形，，，点，，在同一条直线上，如图5，，在中，根据勾股定理得，，由（2）知，，，即，．【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明和是解本题的关键．【问题背景】（1）如图1，已知，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在和中，，，与相交于点，点在边上，． ①填空：． ②求的值．【拓展创新】（3）如图3，是内一点，，，，，直接写出的长．【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质及勾股定理．（1）由，推出，，得到，据此可证明；（2）①利用直角三角形的性质及勾股定理求得，再结合已知，即可求解； ②连接，证明和以及，利用相似三角形的性质即可求解；（3）作，与延长线交于点E，连接，证明和，再利用相似三角形的性质以及直角三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）证明：∵， ∴，， ∴，即，， ∴；（2）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，故答案为：1； ②连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，由①得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（3），作，与延长线交于点E，连接，同理：， ∴ 由（1）同理可证：， ∴，在中，， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴．故答案为：．模型5 一线三等角型相似 ☆基础模型：如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC. 如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：．【答案】见解析【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键．由，证明，可证得．【详解】证明：是等边三角形，，，，，，又，如图，在正方形中，点是边上一点(不与点，重合)，且，交边于点． (1)求证： ①； ②； (2)若，求证：．【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质；（1）①根据正方形的性质和已知条件证明，即可证明：；②根据相似三角形的对应边成比例求解即可；（2）结合（1）根据相似三角形的性质得出，根据正方形的性质推出，则，又因为，所以．【详解】（1）证明：①四边形是正方形，，，，，，．，； ②，，；（2），，，，，，又，．在中，，，以点为直角顶点作等腰．点在上，点在上，点在上，且． (1)求证； (2)若，求的长．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；（1）利用两角分别相等的两个三角形相似可证明出结论；（2）利用，求出，再证，可求，进而解答即可．【详解】（1），，， ∵是等腰直角三角形，，，， ∴；（2）由（1）知，， ∵是等腰直角三角形，，，，， ∵是等腰直角三角形，，，又， ∴，，即，，，（负的已舍），．如图，，点，分别在，上，，． (1)求证： (2)作于点，，，求的长．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形中两个锐角互余及等量代换得出，再由相似三角形的判定和性质得出，即可证明；（2）根据相似三角形的性质得出，再由相似三角形的判定确定，由勾股定理得出，，再由相似三角形的判定和性质得出，设，则，利用勾股定理求解即可【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．（2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，设，则， ∴， ∴，即，解得：（负值舍去），即．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的两个锐角互余等，正确理解题意熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．如图，在矩形中，，．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为， (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由．【答案】(1) (2)当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似，理由见解析【分析】（1）利用即可求出答案，数形结合是解题的关键；（2）分两种情况分别列出方程，解方程并检验即可得到答案，利用相似三角形的性质列方程和分类讨论是解题的关键．【详解】（1）解：当秒时，则，，，，，由（2）解：当点F在矩形的边上的边移动时，在和中，， ①若，即解得，经检验，是分式方程的解且符合题意，所以当时， ②若即，解得经检验，是分式方程的解且符合题意，所以当时，，综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．