2023-2024学年度高一寒假A版第2讲：平面向量的数量积及坐标运算(讲义+课后巩固+课后测+答案）

第2讲：平面向量的数量积及坐标运算 【重要考点目录】 模块1：平面向量的数量积 模块2：平面向量的投影 模块3：平面向量的基本定理及坐标运算 【重要考点讲解】 模块1：向量的数量积 【知识精讲】 1．两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，如图，作，，则叫做向量和的夹角． 记为 （2）向量夹角的范围： ．当时，与同向；当时，与反向，当，与垂直，记为． 2．向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或者内积），记作，即． 3．向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 （1）；（2）； （3）与同向时，；与反向时，；特别地，或； （4），当且仅当向量，共线，等号成立； （5）． 4．向量数量积运算律 （1）交换律：． （2）数乘结合律：． （3）分配律：． （4）两个重要的结论：；． 【典例精讲】 题型1：对向量数量积的理解和基础计算 例题1．（1）设为平面向量，下面的命题中正确的是________． ①；②；③；④；⑤ ⑥若，则或；⑦若，则；⑧； ⑨对非零向量，有． （2）已知，则　　． （3）已知等边三角形的边长为2，设，，，则　 　． （4）如图，，都是边长为1的等边三角形，，，三点共线，则　　． 题型2：向量数量积的性质 例题2．（1）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则　　 A． B． C． D． （2）已知为非零向量，则“与的夹角为锐角”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为　　 A． B． C．，， D．，， 题型3：向量的模的求法 例题3．（1）已知向量与的夹角为，则　　． （2）已知单位向量满足：，则　　． （3）已知向量，的夹角为，，，则的取值范围是　　． 题型4：向量夹角的求法 例题4．（1）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． （2）设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则　　 A． B． C． D．1 （3）已知向量、满足，则与的夹角是　　 A． B． C． D． （4）向量，且，则　　 A． B． C． D． 【能力提升】 例题5．（1）如图，在中，，，，是边一点，，则等于　　 A． B． C． D． （2）如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是　　 A．44 B．22 C．24 D．72 （3）在中，，，，为的中点，点在斜边的中线上，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 模块2：向量的投影 【知识精讲】 如图（1），设，是非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在的直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量的投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点，作，．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 一般地，如果，都是非零向量，则称（为向量，向量的夹角）为向量在向量上的投影． 【典例精讲】 题型5：向量的投影及投影向量 例题6．（1）已知，则在方向上的投影为 　　． （2）已知，，，则在方向上的投影是 　　． （3）设是单位向量，且的夹角为，若，在方向上的投影为 　　． （4）已知，是单位向量，若，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． （5）非零向量满足，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【能力提升】 例题7．若空间向量满足，则在方向上投影数量的最大值是　　 A． B．0 C． D．  模块3：平面向量的基本定理及坐标运算 【知识精讲】 1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使． 若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2）平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量，由平面向量的基本定理可知，有且仅有一对实数，，使．叫做向量的坐标，记作， 叫做向量的坐标表示． 显然，，． 3．平面向量的坐标运算 已知,,则有： ①加减运算：； ②模的运算：； ③单位向量：的单位向量； ④向量平行：； ⑤向量相乘运算：； ⑥向量垂直：； ⑦向量夹角． 【典例精讲】 题型6：向量的坐标运算 例题8．（1）已知向量，满足，，则　　． （2）已知向量，，则　 　． （3）已知向量，，，若，则　　． （4）已知，，，若，则　　． （5）已知向量，，，，则　　． 【能力提升】 题型7：建系法处理向量问题 例题9．（1）在矩形中，，，点为的中点，点在，若，则　　． （2）如图，在边长为1的正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 　　；若向量，则的最大值为 　　． 【高考真题体验】 1．（2020•天津）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为　　，若，是线段上的动点，且，则的最小值为　　． 2．（2018•天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为　　 A． B． C． D．0  第2讲：平面向量的数量积及坐标运算课后巩固 模块1：平面向量的数量积课后演练 1．下列关于向量，，的运算，一定成立的有　　 A． B． C． D． 2．（2022•甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则　　． 3．已知，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 　　． 4．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则　　． 5．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则　　． 6．（2021•甲卷）若向量，满足，，，则　　． 7．已知向量，满足，且，，则　　 A．5 B．3 C．2 D．1 8．（2022•乙卷）已知向量，满足，，，则　　 A． B． C．1 D．2 9．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 10．若向量、满足，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 11．（2023•甲卷）向量，，且，则，　　 A． B． C． D． 12．（2023•乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则　　 A． B．3 C． D．5 13．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 　　；若，则的最大值为 　　． 模块2：平面向量的投影课后演练 14．已知向量的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 15．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． 模块3：平面向量的基本定理及坐标运算课后演练 16．（2022•甲卷）已知向量，．若，则　　． 17．（2021•乙卷）已知向量，，若，则　　． 18．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则　　 A． B． C． D． 19．（2023•甲卷）已知向量，，则，　　 A． B． C． D． 20．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则　　 A． B． C．5 D．6 21．（2023•石家庄一模）设向量，满足，，若，，则向量与的夹角不等于　　 A． B． C． D． 22．在中，，，．在边上，平分，为线段上一点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 23．如图放置的边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则的取值范围为 　　． 【思维拓展训练】 1．已知平面向量、、满足，，，则的最大值为　　．