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【寒假自学】2023年人教A版高一数学必修第二册-第02讲《一元二次函数、方程和不等式》寒假精品讲学案（含解析）
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这是一份【寒假自学】2023年人教A版高一数学必修第二册-第02讲《一元二次函数、方程和不等式》寒假精品讲学案（含解析），文件包含寒假自学2023年人教A版高一数学必修第二册-第02讲《一元二次函数方程和不等式》寒假精品讲学案解析版docx、寒假自学2023年人教A版高一数学必修第二册-第02讲《一元二次函数方程和不等式》寒假精品讲学案原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
第02讲 一元二次函数、方程和不等式
【学习目标】
1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式—基本不等式．
2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想．
【考点目录】
考点一：等式性质与不等式性质
考点二：利用基本不等式求最值
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
考点四：恒成立问题
考点五：二次函数根的分布问题
考点六：不等式在实际问题中的应用
【基础知识】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
知识点四、基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
知识点五、用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
知识点七、一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【考点剖析】
考点一：等式性质与不等式性质
例1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，不妨取.
对于A：，故不成立；
对于B：，故不成立；
对于C：，故不成立；
对于D：因为，所以，所以，即.
故选：D
例2．（2022·湖北武汉·高一期末）已知.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，
而，
所以，即.
故选：C
例3．（2022·四川自贡·高一期末（文））对任意实数，命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则.
④若，则，
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①，若，，则，①错；
对于②，若，则，②错；
对于③，若，则，由不等式的基本性质可得，③对；
对于④，若，则，则，④对
故选：C
考点二：利用基本不等式求最值
例4．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）函数的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：C.
例5．（2022·青海玉树·高一期末）若实数，满足，则的最小值为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题设，且，，故，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以目标式的最小值为4.
故选：A
例6．（2022·湖北武汉·高一期末）已知正实数a，b，c满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ）
A．a＝4b B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】D
【解析】因为正实数a，b，c满足，所以，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
即，解得：，故，
的最小值为3，此时，A错误；
，B错误；
，
所以的最大值为，C错误，D正确.
故选：D
例7．（2022·湖北武汉·高一期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2.
故选：A
例8．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为负实数、满足，则，可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：A.
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
例9．（2022·安徽合肥·高一期末）已知关于的不等式的解集为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式的解集为，
所以是方程的两个根，
将代入方程得，
解得，
故选：C
例10．（2022·广东广州·高一期末）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解得：.
故选：C.
例11．（2022·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A
例12．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一期中）已知函数.
(1)若，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【解析】（1）可变形为，由已知在上恒成立，
下面分两种情况讨论
例13．当时，不等式可化为，不等式不恒成立，与已知矛盾；
例14．当时，由已知可得，即，解得
综上两种情况，的取值范围是；
（2）不等式化为，
1､当时，解集为；
2､当时，解集为；
3､当时，解集为；
4､当时，解集为；
例15．当时，解集为.
例16．（2022·黑龙江实验中学高一期中）已知不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)解不等式.
【解析】（1）因为不等式的解集为或，所以是方程的解，即，故的解为或，故；
（2），即，
当时，无解；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
考点四：恒成立问题
例17．（2022·陕西·长安一中高一期末）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，不等式恒成立，
对均成立．
由于，
当且仅当时取等号，
故的最小值等于3，
，
则实数a的取值范围是．
故选：D．
例18．（2022·广东揭阳·高一期末）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，由得：，
（当且仅当，即时取等号），，解得：，
即的取值范围为.
故选：D.
例19．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，不等式对一切恒成立，
当时，即时，不等式恒成立，符合题意；
当时，即时，
要使得不等式对一切恒成立，
则满足，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：B.
例20．（2022·云南丽江·高一期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当时，若不等式恒成立，则，于是.
故选：B．
例21．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高一期末）若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为，
由基本不等得
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8
由题可知， 即 ，解得，
故选：A
考点五：二次函数根的分布问题
例22．（2022·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，，解得，
经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为
故选：D
例23．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为__________．
【答案】-1
【答案】
【解析】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范围为.
故答案为：
考点六：不等式在实际问题中的应用
例25．（2022·上海师大附中高一期中）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
【解析】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，
所以屋子的前面墙的长度均为米（），
设甲工程队报价为元，
所以（元），
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.
例26．（2022·湖南·宁远县明德湘南中学高一期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（靠墙的一面不用篱笆）的矩形菜园,墙长,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积时多少?
【解析】设围成的矩形菜园的长为,宽为,菜园的面积为,
由已知得:,
,
,
当且仅当即时上式取等号,此时,
即当长为,宽为7.2m时,菜园的面积最大,最大面积为.
例27．（2022·安徽·淮北一中高一期中）某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．己知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求函数的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）根据题意，，化简得，
；
（2）由（1）得
，
当时，，
当时，，所以
，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当时，，
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元.
【真题演练】
1．（2007·全国·高考真题（文））不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，解得或.
故选：C
1．（2007·陕西·高考真题（理））已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
2．（2012·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2019·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
5．（2007·江西·高考真题（文））已知函数（为常数），且方程有两个实根为．
(1)求函数的解析式：
(2)设，解关于的不等式：．
【解析】（1）将代入方程，得，
解得，
所以；
（2）由（1）知，不等式即为，
可化为即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式可化为解集为，
当时，不等式的解集为.
6．（2007·上海·高考真题（文））解不等式：．
【解析】将两边同乘6得，即.
所以.
故不等式的解集为.
7．（2007·北京·高考真题（理））若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】不等式的解集为，则，解得；
不等式的解集不是空集，即，
故，解得或.
故答案为：；
【过关检测】
一、单选题
1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）函数的最小值是（ ）
A．7 B． C．9 D．
【答案】C
【解析】函数中
所以，当且仅当时，即时取等号.
所以函数的最小值为.
故选：C.
2．（2022·湖南湘西·高一期末）不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.
则有，变形可得，
故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.
对照四个选项，只有C符合.
故选：C．
3．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】、为互不相等的正实数，则，
所以，
，时，，
所以．
故选：A．
4．（2022·四川南充·高一期末（理））不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当即时，恒成立，满足题意，
当时，由题意得，解得，
综上，的取值范围是，
故选：B
5．（2022·四川绵阳·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A;若，时，则，故A错；
对于B;若取，则无意义，故B错；
对于C；根据不等式的可加性可知：若，则，故C正确；
对于D;若取，但,故D错；
故选：C
6．（2022·湖北武汉·高一期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2.
故选：A
7．（2022·陕西汉中·高一期末）若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞）
【答案】A
【解析】当时，，得，不合题意，
当时，因为关于x的不等式的解集是R，
所以，解得，
综上，m的取值范围是（1，+∞），
故选：A
8．（2022·四川自贡·高一期末（文））某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【解析】方案1：设米，则米，
则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为；
方案2：依题意，则，所以，当且仅当时取等号，
所以，即当且仅当，时取等号；
方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径米，
此时菜园最大面积；
故选：C．
二、多选题
9．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）若，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】取，，则，，显然，但是，A项错误；
因为，所以，，又，所以有，即成立，B项正确；
显然，因为，所以有，即成立，C项正确；
取，则，D项错误.
故选：BC.
10．（2022·福建省福州高级中学高一期末）当时，下列函数中最小值不是2的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以当时，取得最小值3，所以A符合题意，
对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，所以B符合题意，
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，所以C不符合题，
对于D，因为，当且仅当，取等号，而无解，所以取不到等号，所以的最小值不是2，所以D符合题意，
故选：ABD
11．（2022·湖北黄石·高一期末）下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数x，y满足，则的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所的最大值为，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，所以，
所以，
，当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，因为，所以x，y同号，则s，t同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：ABD.
12．（2022·湖北武汉·高一期末）已知关于x的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意得,故A错误，
因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数的图像，所以,即，B正确，
如图，又，所以，C正确，
当时，，，
所以，D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．（2022·上海市七宝中学高一期末）已知关于的方程的两根为、.若，则实数的值是______．
【答案】
【解析】关于的方程的两根为、，
所以，，
所以
所以.
故答案为：.
14．（2022·青海玉树·高一期末）已知关于x的不等式的解集为R，则b的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为开口向上，所以当恒成立时，，解得.
故答案为：
15．（2022·青海玉树·高一期末）已知，则__________．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】
【解析】，因为，所以，，所以，，
又因为，，
所以.
故答案为：.
16．（2022·天津南开·高一期末）已知，且，则的最小值是________
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
故的最小值是.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）某公司生产一种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，已知总收益满足函数，其中是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）
【解析】（1）设月产量为台，则总成本为，从而；
（2）当时，，
∴当时，， 当时，是减函数，
，
∴当时，， 即每月生产台仪器时利润最大，最大利润为元．
18．（2022·青海玉树·高一期末）（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）已知正数a，b满足，求的最大值．
【解析】（1）若不等式的解集为，
则方程的两根为，且
所以，则
不等式为，又
即，解得
则不等式的解集为：；
（2）已知正数a，b满足
所以
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.
19．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）设函数，当时，；
(1)若，求的最小值；
(2)若在上能成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意，可得，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
（2），即能成立，
由（1）知，，所以能成立，
当时，，符合题意；
当时，一定有解，符合题意；
当时，只需，得.
综上，实数的取值范围.
20．（2022·全国·高一期末）已知关于的不等式的解集为，或.
(1)求的值；
(2)当，且时，有恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以 ，解得 ，故.
（2）由（1）知，于是有，
故，
（当时等号成立）
依题意有，即，
解得，所以的取值范围为.
21．（2022·湖南常德·高一期末）已知二次函数（为实数）
(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；
(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；
(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．
【解析】（1）依题意知，，且方程的两根为1，2
由根与系数间的关系得，则．
故不等式
解得：，即原不等式的解集为．
（2）因为时，恒成立，
故得，那，即，
所以（当且仅当时等号成立）
（3）令，则，所以．
对任意，恒成立，
所以恒成立．
所以且
所以，此时，
因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）
验证，成立
故ab的最大值为．
22．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
【解析】（1）因为不等式的解集是．
所以－1和3是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意
（2）若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，
所以，
解得，所以m的取值范围是．
第02讲 一元二次函数、方程和不等式
【学习目标】
1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式—基本不等式．
2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想．
【考点目录】
考点一：等式性质与不等式性质
考点二：利用基本不等式求最值
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
考点四：恒成立问题
考点五：二次函数根的分布问题
考点六：不等式在实际问题中的应用
【基础知识】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
知识点四、基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
知识点五、用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
知识点七、一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【考点剖析】
考点一：等式性质与不等式性质
例1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，不妨取.
对于A：，故不成立；
对于B：，故不成立；
对于C：，故不成立；
对于D：因为，所以，所以，即.
故选：D
例2．（2022·湖北武汉·高一期末）已知.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，
而，
所以，即.
故选：C
例3．（2022·四川自贡·高一期末（文））对任意实数，命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则.
④若，则，
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①，若，，则，①错；
对于②，若，则，②错；
对于③，若，则，由不等式的基本性质可得，③对；
对于④，若，则，则，④对
故选：C
考点二：利用基本不等式求最值
例4．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）函数的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：C.
例5．（2022·青海玉树·高一期末）若实数，满足，则的最小值为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题设，且，，故，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以目标式的最小值为4.
故选：A
例6．（2022·湖北武汉·高一期末）已知正实数a，b，c满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ）
A．a＝4b B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】D
【解析】因为正实数a，b，c满足，所以，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
即，解得：，故，
的最小值为3，此时，A错误；
，B错误；
，
所以的最大值为，C错误，D正确.
故选：D
例7．（2022·湖北武汉·高一期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2.
故选：A
例8．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为负实数、满足，则，可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：A.
考点三：二次函数与一元二次方程、不等式
例9．（2022·安徽合肥·高一期末）已知关于的不等式的解集为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式的解集为，
所以是方程的两个根，
将代入方程得，
解得，
故选：C
例10．（2022·广东广州·高一期末）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解得：.
故选：C.
例11．（2022·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A
例12．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一期中）已知函数.
(1)若，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【解析】（1）可变形为，由已知在上恒成立，
下面分两种情况讨论
例13．当时，不等式可化为，不等式不恒成立，与已知矛盾；
例14．当时，由已知可得，即，解得
综上两种情况，的取值范围是；
（2）不等式化为，
1､当时，解集为；
2､当时，解集为；
3､当时，解集为；
4､当时，解集为；
例15．当时，解集为.
例16．（2022·黑龙江实验中学高一期中）已知不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)解不等式.
【解析】（1）因为不等式的解集为或，所以是方程的解，即，故的解为或，故；
（2），即，
当时，无解；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
考点四：恒成立问题
例17．（2022·陕西·长安一中高一期末）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，不等式恒成立，
对均成立．
由于，
当且仅当时取等号，
故的最小值等于3，
，
则实数a的取值范围是．
故选：D．
例18．（2022·广东揭阳·高一期末）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，由得：，
（当且仅当，即时取等号），，解得：，
即的取值范围为.
故选：D.
例19．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，不等式对一切恒成立，
当时，即时，不等式恒成立，符合题意；
当时，即时，
要使得不等式对一切恒成立，
则满足，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：B.
例20．（2022·云南丽江·高一期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当时，若不等式恒成立，则，于是.
故选：B．
例21．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高一期末）若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为，
由基本不等得
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8
由题可知， 即 ，解得，
故选：A
考点五：二次函数根的分布问题
例22．（2022·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，，解得，
经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为
故选：D
例23．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为__________．
【答案】-1
【答案】
【解析】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范围为.
故答案为：
考点六：不等式在实际问题中的应用
例25．（2022·上海师大附中高一期中）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
【解析】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，
所以屋子的前面墙的长度均为米（），
设甲工程队报价为元，
所以（元），
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.
例26．（2022·湖南·宁远县明德湘南中学高一期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（靠墙的一面不用篱笆）的矩形菜园,墙长,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积时多少?
【解析】设围成的矩形菜园的长为,宽为,菜园的面积为,
由已知得:,
,
,
当且仅当即时上式取等号,此时,
即当长为,宽为7.2m时,菜园的面积最大,最大面积为.
例27．（2022·安徽·淮北一中高一期中）某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．己知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求函数的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）根据题意，，化简得，
；
（2）由（1）得
，
当时，，
当时，，所以
，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当时，，
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元.
【真题演练】
1．（2007·全国·高考真题（文））不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，解得或.
故选：C
1．（2007·陕西·高考真题（理））已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
2．（2012·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2019·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
5．（2007·江西·高考真题（文））已知函数（为常数），且方程有两个实根为．
(1)求函数的解析式：
(2)设，解关于的不等式：．
【解析】（1）将代入方程，得，
解得，
所以；
（2）由（1）知，不等式即为，
可化为即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式可化为解集为，
当时，不等式的解集为.
6．（2007·上海·高考真题（文））解不等式：．
【解析】将两边同乘6得，即.
所以.
故不等式的解集为.
7．（2007·北京·高考真题（理））若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】不等式的解集为，则，解得；
不等式的解集不是空集，即，
故，解得或.
故答案为：；
【过关检测】
一、单选题
1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）函数的最小值是（ ）
A．7 B． C．9 D．
【答案】C
【解析】函数中
所以，当且仅当时，即时取等号.
所以函数的最小值为.
故选：C.
2．（2022·湖南湘西·高一期末）不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.
则有，变形可得，
故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.
对照四个选项，只有C符合.
故选：C．
3．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】、为互不相等的正实数，则，
所以，
，时，，
所以．
故选：A．
4．（2022·四川南充·高一期末（理））不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当即时，恒成立，满足题意，
当时，由题意得，解得，
综上，的取值范围是，
故选：B
5．（2022·四川绵阳·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A;若，时，则，故A错；
对于B;若取，则无意义，故B错；
对于C；根据不等式的可加性可知：若，则，故C正确；
对于D;若取，但,故D错；
故选：C
6．（2022·湖北武汉·高一期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2.
故选：A
7．（2022·陕西汉中·高一期末）若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞）
【答案】A
【解析】当时，，得，不合题意，
当时，因为关于x的不等式的解集是R，
所以，解得，
综上，m的取值范围是（1，+∞），
故选：A
8．（2022·四川自贡·高一期末（文））某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【解析】方案1：设米，则米，
则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为；
方案2：依题意，则，所以，当且仅当时取等号，
所以，即当且仅当，时取等号；
方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径米，
此时菜园最大面积；
故选：C．
二、多选题
9．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）若，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】取，，则，，显然，但是，A项错误；
因为，所以，，又，所以有，即成立，B项正确；
显然，因为，所以有，即成立，C项正确；
取，则，D项错误.
故选：BC.
10．（2022·福建省福州高级中学高一期末）当时，下列函数中最小值不是2的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以当时，取得最小值3，所以A符合题意，
对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，所以B符合题意，
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，所以C不符合题，
对于D，因为，当且仅当，取等号，而无解，所以取不到等号，所以的最小值不是2，所以D符合题意，
故选：ABD
11．（2022·湖北黄石·高一期末）下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数x，y满足，则的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所的最大值为，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，所以，
所以，
，当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，因为，所以x，y同号，则s，t同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：ABD.
12．（2022·湖北武汉·高一期末）已知关于x的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意得,故A错误，
因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数的图像，所以,即，B正确，
如图，又，所以，C正确，
当时，，，
所以，D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．（2022·上海市七宝中学高一期末）已知关于的方程的两根为、.若，则实数的值是______．
【答案】
【解析】关于的方程的两根为、，
所以，，
所以
所以.
故答案为：.
14．（2022·青海玉树·高一期末）已知关于x的不等式的解集为R，则b的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为开口向上，所以当恒成立时，，解得.
故答案为：
15．（2022·青海玉树·高一期末）已知，则__________．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】
【解析】，因为，所以，，所以，，
又因为，，
所以.
故答案为：.
16．（2022·天津南开·高一期末）已知，且，则的最小值是________
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
故的最小值是.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）某公司生产一种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，已知总收益满足函数，其中是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）
【解析】（1）设月产量为台，则总成本为，从而；
（2）当时，，
∴当时，， 当时，是减函数，
，
∴当时，， 即每月生产台仪器时利润最大，最大利润为元．
18．（2022·青海玉树·高一期末）（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）已知正数a，b满足，求的最大值．
【解析】（1）若不等式的解集为，
则方程的两根为，且
所以，则
不等式为，又
即，解得
则不等式的解集为：；
（2）已知正数a，b满足
所以
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.
19．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）设函数，当时，；
(1)若，求的最小值；
(2)若在上能成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意，可得，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
（2），即能成立，
由（1）知，，所以能成立，
当时，，符合题意；
当时，一定有解，符合题意；
当时，只需，得.
综上，实数的取值范围.
20．（2022·全国·高一期末）已知关于的不等式的解集为，或.
(1)求的值；
(2)当，且时，有恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以 ，解得 ，故.
（2）由（1）知，于是有，
故，
（当时等号成立）
依题意有，即，
解得，所以的取值范围为.
21．（2022·湖南常德·高一期末）已知二次函数（为实数）
(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；
(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；
(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．
【解析】（1）依题意知，，且方程的两根为1，2
由根与系数间的关系得，则．
故不等式
解得：，即原不等式的解集为．
（2）因为时，恒成立，
故得，那，即，
所以（当且仅当时等号成立）
（3）令，则，所以．
对任意，恒成立，
所以恒成立．
所以且
所以，此时，
因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）
验证，成立
故ab的最大值为．
22．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
【解析】（1）因为不等式的解集是．
所以－1和3是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意
（2）若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，
所以，
解得，所以m的取值范围是．
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