高一数学寒假作业同步练习题空间几何体含解析

空间几何体

1．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（    ）

A．10 B． C． D．

【答案】B

【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为，

所以底面圆的半径为r=10，

所以圆锥的高为.故选：B

2．如图是一个空间几何体的三视图（单位：），这个几何体的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由三视图可知，该几何体是由圆柱中挖去一个圆锥构成的.

则这个几何体的体积为故选：D

3．已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，平面BCD，，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，可将四面体ABCD还原为正方体，则四面体的外接球即为正方体的外接球

因此球O的半径，表面积

故选：C.

4．圆亭，为圆台体型的建筑物，《九章算术》中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，则该圆亭的母线与底面所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，是圆台的轴截面，于，则，，，

圆锥母线与底面的所成角为，正切值为.故选：B．

5．正方体的棱长为4，E，F为，的中点，点P是面ABCD上一动点，，则FP的最小值为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】A

【解析】如图所示：

连接AP，因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

由题意得，E为的中点，所以AE=2，

在中，，

所以P在面ABCD上的轨迹是以A为圆心，为半径的四分之一圆，

取BC中点Q，连接FQ，PQ，AQ，

因为,

所以四边形为平行四边形，

所以，又平面ABCD，

所以平面ABCD，又平面ABCD，

所以，

在中，，

所以当PQ最小时，FP最小，

在中，，PQ的最小值为AQ-AP=，

所以PF的最小值为，故选：A

6．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】由三视图可知：该几何体为一个底面是边长为的正方形，高为的正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图：

四个侧面剩余的部分为全等的梯形，侧面积为，

底面为全等三角形，底面积为：，

新切割面为的等边三角形：面积为，

所以表面积为.

，故选：A

7．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直观图正方形的边长为，，

原图形为平行四边形，其中，高，

，原图形的周长.故选：B.

8．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_________．

【答案】

【解析】该六面体是两个正四面体组合而成，正四面体棱条为1，如图，在正四面体中，棱长为1，取中点，连接，作平面于，垂足在中，且是中心，，

由对称性，当六面体内有一球，且球体积最大时，球心为，且该球与相切，过球心作于，就是球半径．

，，

由得，

∴球体积为．

故答案为：．

9．在直四棱柱中，底面是边长为6的正方形，点在线段上，且满足，过点作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为，则直四棱柱外接球的半径为_________.

【答案】

【解析】因为四棱柱是直棱柱，且底面是正方形，

所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作，

过点向底面作垂线，垂足为，则，

连接，因为底面是边长为6的正方形，所以点为的中点，

取中点为，连接，，，

设，则，所以外接球的半径为，

因为点在线段上，且满足，则，

又，所以，

因为直四棱柱中，侧面，，所以侧面，

所以，又底面，而底面，所以，

又，故平面，因平面，所以，

则；

根据球的特征，过点作直四棱柱外接球的截面，

当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为；

当截面时，截面圆面积最小，此时截面圆半径为，此时截面圆面积为；

又截面面积的最大值与最小值之差为，

所以，

因此，即，所以.

故答案为：

10．乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4cm．某厂家计划生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球，现有两种方案，方案甲：6个乒乓球放一排；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多_______cm2．

【答案】64

【解析】由题意，方案甲：6个乒乓球放一排，每个球的直径为4cm，长方体包装盒的长为：6×4=24（cm），宽为4cm，高为4cm，所以方案甲中包装盒的表面积为：2×(24×4+24×4+4×4)=416cm2；

方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，

每个球的直径为4cm，长方体包装盒的长为：4×3=12（cm），宽为4×2=8cm，高为4cm，

所以方案乙中包装盒的表面积为：2×(12×8+12×4+8×4)=352cm2；

所以方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多416－352=64cm2

故答案为：64

11．如图，正三棱柱中，，.一只蚂蚁从点出发，沿每个侧面爬到，路线为，则蚂蚁爬行的最短路程是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．

【答案】B

【解析】将三棱柱的侧面展开得如图，

所以蚂蚁爬行的最短路程是线段.故选：B.

12．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（    ）

A．128.4米 B．132.4米 C．136.4米 D．110.4米

【答案】C

【解析】设胡夫金字塔原来的高度为h，

所以，

解得h=（米），

所以胡夫金字塔现在的高度大约为146.4－10=136.4，

故选：C.

13．在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为______

【答案】

【解析】设三棱锥外接球的半径为、球心为，的外心为、外接圆的半径为，连接，

过作平行线交于，连接，，如图所示，则，，，所以为的中点.

在中，由正弦定理得，解得.

在中，由余弦定理，可得，得.

所以.

因为，所以.连接，又，所以四边形为平行四边形，

，所以.

所以该三棱锥的外接球的表面积.

故答案为：.

14．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用).已建的仓库的底面直径为m，高m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来增加(高不变)；二是高度增加m(底面直径不变).

（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

（3）哪个方案更经济些？

【答案】（1）；（2）；（3）方案二比方案一更加经济.

【解析】

（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成，则仓库的体积，

如果按方案二，仓库的高变成，则仓库的体积；

（2）如果按方案一，仓库的底面直径为，半径为，

圆锥的母线长，则仓库的表面积，

如果按方案二，仓库的高变为，圆锥的母线长，

则仓库的表面积；

（3）由（1）（2）可知，，第二种方案的体积大，可以贮藏更多的食盐，第二种方案的表面积（不含底面积）小，则用料少，成本低，所以选择方案二更经济.