2023-2024学年度高一寒假第6讲：解三角形练习(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：最值与范围问题
模块2：定比分线问题
【重要考点讲解】
模块1：最值与范围问题
【知识精讲】
①问题形式：已知三角形的一个内角，求或或的最值与范围；
已知三角形的一个内角与这个内角的对边，求或或的最值与范围．
②处理策略：利用，两角和差公式，辅助角公式，降幂公式等恒等变换公式进行处理，将问题转化为形式来解决最值和范围问题．
【典例精讲】
例题1．（1）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为 ．
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则周长的取值范围为 ，面积的最大值为 ．
（3）在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为
A．B．C．D．
（4）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为
A．B．C．D．
（5）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，，则的取值范围是 ．
模块2：定比分线问题
【知识精讲】
斯特瓦尔特定理：设已知及其底边上两点间的一点，则有．
重要形式：．
证明：由余弦定理得，整理得．
推论1：若，则一定有；
推论2：特例之极化恒等式：当为中点时，有；
推论3：若为的角平分线，则．
【典例精讲】
例题2．（1）在中，，，为边上的中点，且的长度为，则 ．
（2）中，为边的中线，，，，则中线的长为 ．
（3）在中，角，，的对边分别为，，，，，为的中点，，则的周长为 ．
例题3．（1）在中，，．若点在边上，且满足，则 ．
（2）已知中，点在边上，，，，当取最大值时， ．
（3）在 中，，点在上，且，，则面积的最大值为 ．
例题4．（1）在中，，的角平分线交于，则 ．
（2）已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为 ．
（3）中，的角平分线交于点，若且，则面积的最小值为 ．
【高考真题体验】
1．（2023•甲卷）在中，，，，为上一点，为的平分线，则 ．
2．（2022•甲卷）已知中，点在边上，，，．当取得最小值时， ．
3．（2021•浙江）在中，，，是的中点，，则 ； ．
4．（2021•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
（1）证明：；
（2）若，求．
第6讲：解三角形练习课后巩固
模块1：最值与范围问题课后演练
1．已知的三个内角，，的对边分别为，，，，且，则面积的取值范围为 ．
2．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，，且，则的周长的取值范围是
A．，B．C．D．
3．已知是锐角三角形，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．已知在中，角，，所对边分别为，，，满足，且，则的取值范围为 ．
模块2：定比分线问题课后演练
5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边上的中线长是 ．
6．在三角形中，已知，，边上的中线，则三角形的面积为 ．
7．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，则 ；的中线的最大值为 ．
8．已知在中，为边上的中线，且，则的取值范围为 ．
9．在中，角，，所对的边分别为，，．，，若点在边上，且，则的最大值是 ．
10．在中，若，，点在边上，为的平分线，的面积为，则的值为 ．
11．在中，，，，的角平分线交于，则
A．B．2C．D．
12．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为
A．1B．2C．3D．4
13．在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在边上，，，，求的面积．
【思维拓展训练】
1．在中，内角、、所对的边分别为、、，为边上一点，若．
（1）证明：①平分，②；
（2）若，求的最大值．