人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品课后练习题

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1．等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (公式一).
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (公式二).
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )n，令 SKIPIF 1 < 0 =A， SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =B，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +Bn.
(1)当A=0，B=0(即d=0， SKIPIF 1 < 0 =0)时， SKIPIF 1 < 0 =0是常数函数，{ SKIPIF 1 < 0 }是各项为0的常数列.
(2)当A=0，B≠0(即d=0， SKIPIF 1 < 0 ≠0)时, SKIPIF 1 < 0 =Bn是关于n的一次函数，{ SKIPIF 1 < 0 }是各项为非零的常数列.
(3)当A≠0，B≠0(即d≠0， SKIPIF 1 < 0 ≠0)时， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +Bn是关于n的二次函数(常数项为0).
3．等差数列前n项和的性质
【题型1 求等差数列的通项公式】
【方法点拨】
根据所给条件，利用等差数列的前n项和，求解等差数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·全国·高二课时练习）记为等差数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·广西·模拟预测（文））记为等差数列的前项和，若，则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2020·四川·高三期中（文））已知等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 等差数列前n项和的性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等差数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.
【例2】（2022·河南新乡·一模（文））设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2021·全国·高二）设等差数列与的前n项和分别为和， 并且对于一切都成立，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2021·陕西·高二期中（理））已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型3 等差数列的前n项和与二次函数的关系】
【方法点拨】
根据题意，分析所给的等差数列的前n项和与二次函数的关系，转化求解即可.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（2021·福建省高二开学考试）等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2022·河北·高三阶段练习）已知是各项不全为零的等差数列，前项和是，且，若，则正整数（ ）
A．20B．19C．18D．17
【变式3-3】（2021·江苏·高二专题练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【题型4 求等差数列的前n项和】
【方法点拨】
根据条件，求出等差数列的基本量，得到首项和公差，利用等差数列的前n项和公式，进行求解即可.
【例4】（2022·江苏·高二期中）已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（ ）
A．14B．28C．35D．70
【变式4-1】（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，且．若，则（ ）
A．116B．232C．58D．87
【变式4-2】（2022·江苏扬州·高二期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（ ）
A．30B．36C．42D．48
【变式4-3】（2022·山东·高三期中）已知数列成等差数列，其前n项和为，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【题型5 等差数列前n项和的最值】
【方法点拨】
1.通项法
若 SKIPIF 1 < 0 >0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组 SKIPIF 1 < 0 来确定；
若 SKIPIF 1 < 0 <0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组 SKIPIF 1 < 0 来确定.
2.二次函数法
对于公差为非零的等差数列{an}，由于 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )n，所以可用求函数最值的方法
来求前n项和Sn的最值.这里应由n SKIPIF 1 < 0 及二次函数图象对称轴的位置来确定n的值.
【例5】（2022·内蒙古·高一阶段练习）已知等差数列的前项和为，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2022·甘肃·高二期中）记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）
A．12B．12或11C．11或10D．10
【变式5-2】（2022·陕西·高二期中）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
【变式5-3】（2022·北京高三阶段练习）等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 等差数列的实际应用】
【方法点拨】
对于等差数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等差数列，进行求解.
【例6】（2022·全国·模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方．记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（ ）
A．555B．101C．505D．1010
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在点处里程碑上刻着“〣〤”，在点处里程碑上刻着“〩〢”，则从点到点的所有里程碑上所刻数字之和为（ ）
A．1560B．1890C．1925D．1340
【变式6-3】（2022·江西上饶·高二期末（文））广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）
A．352B．387C．332D．368