第四章 数列求和（专题训练卷）-【单元测试】2022-2023学年高二数学尖子生选拔卷（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列求和 专题训练卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2021秋•河南月考）设数列的前项和为，若，，则　　 A．620 B．630 C．640 D．650 【答案】A 【解析】当为奇数时，， 故数列的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列； 所以， 当为偶数时，，，， 所以：； 所以． 故选A． 2．（2021秋•运城月考）已知函数在[0，上的最小值是，，设的前项和为，若对，恒成立，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．，， D．， 【答案】C 【解析】由题意知：， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 即在处取得极小值，即最小值， 故， 所以， 则， 由于恒成立， 故，解得． 故选C． 3．（2021•让胡路区一模）已知数列的前项和为，前项积为，且，．若，则数列的前项和为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 即，所以，所以． 所以， 整理得． 又因为，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以． 所以． 故选A． 4．（2021春•兴庆区期末）已知数列中，，，，求数列的前项和为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列中，，， 整理得：， 故（常数）， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列； 所以， 故（首项符合通项）． 所以， 故选C． 5．（2021•浙江开学）已知数列中，，是自然对数的底数）．记数列的前项和为，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，可得， 当时，，函数递增； 当时，，函数递减． 可得函数在处取得极小值，且为最小值0， 则， 所以， 即， 所以，又， 则， 又， 得， 所以． 即． 故选B． 6．（2021春•昌江区期末）对于实数，[]表示不超过的最大整数．已知数列的通项公式，前项和为，则　　 A．223 B．218 C．173 D．168 【答案】C 【解析】由， 可得， 所以 ． 故选C． 7．（2021秋•嘉兴月考）设数列满足，，记，则使成立的最小正整数是　　 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，即， ． 又，所以数列为递增数列， ，，， ， ， 当时，， 当时，， 故使成立的最小正整数是2023， 故选D． 8．（2021春•瑶海区月考）已知数列同时满足： ①对于任意的，有； ②数列的最大项为； ③若对任意的，，2，3，，，都存在，使得． 则数列的所有项和为　　 A．2021 B．2022 C．4042 D．4044 【答案】B 【解析】由条件有，及． 若，则，所以数列的前3项为，，，，与③矛盾； 故，所以；以此类推，可以归纳并证明． 由，得，所以前2021项和为． 故选B． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（2021春•沙坪坝区月考）已知，分别是等差数列的公差及前项和，，设，则数列的前项和为，则下列结论中正确的是　　 A． B． C．时，取得最小值 D． 【答案】BC 【解析】是等差数列的前项和，， 所以，， 即①，故，故错误； ，所以②， 由①②可得，，故正确； 由题意可得，显然，即数列单调递增， 且满足，，，，，， 所以，，，都是负数，，，，，都是正数， 且， 所以取得最小值，故正确； 又， ，而， 所以，故错误． 故选BC． 10．（2020秋•邯郸期末）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是　　 A．若，则是等差数列 B．若，则数列的前项和为 C．若，则是等比数列 D．若，则 【答案】ACD 【解析】当时，由题设可得：，即， ，，即， 又，，，， ，故选项正确，选项错误； 又当时，由题设可得：，即， ，，， 又，，，即， ，故选项、正确， 故选ACD． 11．（2021春•瑶海区月考）已知数列的前项和为，，且，满足，数列的前项和为，则下列说法中错误的是　　 A． B． C．数列的最大项为 D． 【答案】CD 【解析】由可得：，即：，， 又由可得：， 数列是首项、公差均是2的等差数列，，即， ，解得：，选项正确； ，，，选项正确； ，， 令，则， ， ， 随增大而增大，（1），数列的最小值为，故选项错误； ，，， ，故选项错误， 故选CD． 12．（2021秋•湖北月考）在平面直角坐标系中，是坐标原点，，是圆上两个不同的动点，是，的中点，且满足．设，到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是　　 A．向量与向量所成角为 B． C． D．若，则数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】因为是，的中点， 所以， 因为， 所以， 即， 解得，所以，故正确； ，故错误； 由可得点在圆上， ，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍， 点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和， 而圆的圆心到直线的距离， 所以，故正确； 若， 则， 所以数列的前项和为，故正确． 故选ACD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（2021春•正阳县月考）已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为 　　． 【答案】 【解析】数列的前项和为，，且满足， 所以（常数）， 数列是以为首项，1为公差的等差数列； 所以， 整理得：， 当时，， 故，，，则的最小值为：． 故答案为：． 14．（2021•鸡冠区三模）在数列中，，，，，记是数列的前项和，则　　． 【答案】1720 【解析】由题意知，当是奇数时，，又， 所以数列中的偶数是以3为首项，2为公差的等差数列， 则， 当是偶数时，， 所以数列中的相邻的两个奇数项之和均等于2， 所以， 则． 故答案为：1720． 15．（2021春•丹东期末）等差数列中，，，若为的前项和，则使取最小值时的值为 　　． 【答案】5 【解析】设等差数列的公差为，则 ， 于是由题意知：，所以， 所以，所以． 设，则，所以在上递减，在，上递增． 因为，所以比较（5）与（6）大小可知：当时，取最小值． 故答案为：5． 16．（2019秋•分宜县月考）设为不超过的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前项的和，则下列结论正确的是 　　． （1）； （2）190是数列中的项； （3）； （4）当时，取最小值． 【答案】（1）（3）（4） 【解析】当时，，，，，故，即， 当时，，，，，，，故，，即， 当时，，，，1，，，，，故，1，4，，即， 以此类推，当，，时，，1，2，，，，，，， 故可以取的个数为， 即，， 当时也满足上式，故，， 对（1），，故（1）正确； 对（2），令，即无整数解，故（2）错误； 对（3），， 则， ，故（3）正确； 对（4），，当且仅当时取等号， ，当时，，当时，， 故当时，取最小值，故（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4）． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2021秋•顺德区月考）已知数列，的各项均为正数．在等差数列中，，；在数列中，，． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和为． 【答案】（Ⅰ）在等差数列中，设首项为，公差为， 由于，； 所以， 解得， 故． 数列中，，． 整理得：，即有，或（舍去）； 故数列是以1为首项，为公比的等比数列； 所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：， 所以①， ②， ①②得： 整理得：， 化简得：． 18．（2021秋•渝水区月考）已知正项数列的前项和满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）正项数列的前项和满足①， 当时，解得， 当时，，②， ①②得：， 整理得：（常数）， 所以：； （2）由（1）得：， 所以：①， ②， ①②得：， 整理得：； （3）若对任意恒成立， 故； 整理得：， 当时，最大值为， 故． 19．（2021秋•道里区期中）已知数列的前项和为满足，数列是等比数列，，． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ）数列的前项和为，， 整理得：（首项符合通项）， 所以：， 数列是等比数列，，， 所以公比， 所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：， 所以：． 20．（2021秋•新郑市月考）已知数列是首项为2，公差为2的等差数列．其中，数列是公比为2的等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）数列是首项为2，公差为2的等差数列； 所以：， 数列是以，公比为2的等比数列， 所以， 所以； 证明：（2）由（1）得：， 所以． 21．（2021秋•辽宁月考）已知正项等比数列的前项和为，满足，． （1）求的通项公式； （2）求数列前项和； （3）在（2）的条件下，若，，求的最小值． 【答案】（1）由题意可得，， 若，则，即不成立， 所以不为1， 所以， 化为， 解得，1舍去）， 所以； （2）， 前项和， ， 上面两式相减可得 ， 化简可得； （3）即为， 设， ， 当时，， 当时，，即，即有， 综上可得的最大值为， 所以， 故的最小值为． 22．（2020秋•西城区期末）对于数列，定义，设的前项和为． （Ⅰ）设，写出，，，； （Ⅱ）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （Ⅲ）已知首项为0，项数为的数列满足： ①对任意且，有，0，； ②． 求所有满足条件的数列的个数． 【答案】（Ⅰ）因为，，，，， 根据题意可得，，，． （Ⅱ）证明：必要性：对，有， 因此． 对任意且，有，， 两式作差，得，即， 因此， 综上，对任意，有． 充分性：若对任意，有，则， 所以． 综上，“对任意，”的充要条件是“对任意，”． （Ⅲ）构造数列，， 则对任意且，有，． 结合（Ⅱ）可知，， 又，因此． 设，，，中有项为0， 则 ，即． 因为，0，，所以或1． 若，则与，，，中有0项为0，即矛盾，不符题意． 若，则，所以当，，，，中有一项为0， 其余项为时，数列满足条件． ，，，中有一项为0，共种取法； 其余项每项有1或两种取法， 所以满足条件的数列的个数为．