人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列导学案

4.2.2等差数列的前n项和公式（1）  导学案

1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(难点)

2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点)

3.掌握等差数列的前n项和的简单性质．(重点、难点)

重点： 等差数列的前n项和的应用

难点：等差数列前n项和公式的推导方法

等差数列的前n项和公式

功能1：已知a1，an和n，求Sn .

功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个.

一、新知探究

  据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

                                         1＋2＋3＋…＋100=？

你准备怎么算呢？

探究新知高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.

问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.

高斯的算法：

（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=

高斯的算法实际上解决了求等差数列：

1，2，3，…，前100项的和问题

等差数列中，下标和相等的两项和相等.

设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，…

如果数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*，

且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at

可得：

问题2：  你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？

问题3：  你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？

问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？

问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？

倒序求和法

二、典例解析

例6.已知数列{an}是等差数列.

（1）若a1=7, =101,求；

（2）若a1=2, = ,求；

（3）若=，d= , = 5,求 ；

等差数列中的基本计算

(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn

这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，

便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．

(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：

若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．

跟踪训练1　已知等差数列{an}．

(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；

(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.

例7.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？

一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。

1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　)

A．20　　　　B．30          C．40     D．50

2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)

A．5           B．7           C．9             D．11

3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则(　　)

A．an＝2n＋1               B．an＝－2n＋1

C．an＝－2n－1              D．an＝2n－1

4．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.

5．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12.

参考答案：

知识梳理

学习过程

  一、新知探究

  等差数列中，下标和相等的两项和相等.

设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，…

如果数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*，

且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at

可得：

问题3： 需要对项数的奇偶进行分类讨论.

当n为偶数时，

+

当n为奇数数时， n－1为偶数

+

对于任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n

问题4：

将上述两式相加，得

所以

倒序求和法

.

二、典例解析

例6

分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用a1和的值求出d ，再利用公式 求和；（3）已知公式 中的，和，解方程即可求得

解：（1）因为a1=7, =101 ，根据公式，可得

=2700.

（2）因为a1=2, = ， 所以d= .根据公式 ，可得

=

（3）把=，d= , = 5代入 ，得

整理，得

解得或（舍）,所以

跟踪训练1　[解]　(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.

又Sn＝na1＋d＝－5，

解得n＝15或n＝－4(舍)．

(2)由已知，得S8＝＝＝172，

解得a8＝39，

又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.

例7. 分析 可得到两个关于的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得

解

=310, =1220,

把它们代入公式

得

解方程组，得

所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。

(法二)∵数列{an}为等差数列，

∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，

∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，

即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，

∴S30＝2 730.

 (法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

由题意，得

解得

∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2 730.

 (法四)由Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)，

∴是以a1为首项，为公差的等差数列，

∴，，成等差数列，

∴＋＝2×，

∴S30＝30＝30×(122－31)＝2 730.

达标检测

1．【答案】C　[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，

∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，

∴a7＝20.

∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]

2．【答案】A　[由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.

∴a3＝1又∵S5＝＝＝5.]

3．【答案】B　[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，

当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．

∴an＝－2n＋1.]

4．【答案】190　[S19＝＝＝190.]

5．【答案】∵Sn＝n·＋·－＝－15，

整理得n2－7n－60＝0，

解之得n＝12或n＝－5(舍去)，

a12＝＋(12－1)×＝－4.