人教A版高中数学必修第一册第3章微专题2函数性质的综合问题课时学案

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微专题2　函数性质的综合问题 函数的性质(包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等)是高中数学的核心内容，也是日常考试的核心命题点之一，命题时常将多种性质结合在一起进行考查，或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用． 类型1　函数的奇偶性与对称性 性质：函数的对称轴与对称中心 (1)若函数f (x)的定义域为D，对∀x∈D都有f (a＋x)＝f (a－x)(a为常数)，则x＝a是f (x)的对称轴． (2)若函数f (x)的定义域为D，对∀x∈D都有f (a＋x)＋f (a－x)＝2b(a，b为常数)，则点(a，b)是f (x)的对称中心． 【例1】　(1)定义在R上的偶函数y＝f (x)，其图象关于点12，0对称，且x∈[0，1]时，f (x)＝－x＋12，则f 32等于(　　) A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．32 (2)(多选)(2022·浙江杭州学军中学月考)已知y＝f (x＋4)是定义域为R的奇函数，y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，且y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则(　　) A．y＝f (x)是奇函数 B．y＝g(x)是偶函数 C．y＝f (x)关于直线x＝2对称 D．y＝g(x)关于点(4，0)对称 (1)B　(2)ACD　[(1)∵y＝f (x)的图象关于点12，0对称，∴f 12+x＋f 12-x＝0， 即f (1＋x)＋f (－x)＝0． 又∵y＝f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)， ∴f (1＋x)＋f (x)＝0，即f (1＋x)＝－f (x)， ∴f 32＝－f 12＝0． (2)由于y＝f (x＋4)是定义域为R的奇函数，则y＝f (x)的图象关于点(4，0)成中心对称，y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，则y＝g(x)的图象关于x＝－2对称，因为y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则y＝f (x)的图象关于x＝2对称， 又y＝f (x)的图象关于点(4，0)成中心对称，则y＝f (x)的图象关于点(0，0)成中心对称， 故y＝f (x)为奇函数，A正确； 因为y＝f (x)为奇函数，故f (－x)＝－f (x)， 由y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，可得f (x)＝g(－x)，g(x)＝f (－x)， 故g(－x)＝f (x)＝－f (－x)＝－g(x) ，故y＝g(x)为奇函数，B错误；由A的分析可知y＝f (x)的图象关于x＝2对称，故C正确；由A的分析可知y＝f (x)的图象关于点(4，0)成中心对称，y＝f (x)为奇函数， 则y＝f (x)的图象也关于点(－4，0)成中心对称， 而y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称， 则y＝g(x)的图象关于点(4，0)成中心对称，故D正确，故选ACD．] 类型2　函数的奇偶性、单调性与最值 性质：已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0．特别地，若奇函数f (x)在D上有最值，则f (x)max＋f (x)min＝0，且若0∈D，则f (0)＝0． 【例2】　(1)设函数f (x)＝x3+x+12x2+1在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 024的值为________． (2)奇函数f (x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________． (1)1　(2)－7　[(1)f (x)＝x3+x+12x2+1＝x3+2xx2+1＋1， 设g(x)＝x3+2xx2+1，则g(－x)＝-x3-2xx2+1＝－g(x)，可知函数g(x)为奇函数， g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0， 故M＋N＝2，∴(M＋N－1)2 024＝(2－1)2 024＝1． (2)由题意，函数f (x)在[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为4，最小值为－1， 故f (3)＝－1，f (6)＝4． ∵f (x)是奇函数， ∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7．] 类型3　函数的奇偶性、单调性与不等式 性质：具有奇偶性的函数的单调性的特点： (1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性． (2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 【例3】　(1)设定义在R上的奇函数f (x)满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有fx2-fx1x2-x1<0，且f (2)＝0，则不等式3f-x-2fxx≥0的解集为(　　) A．(－∞，－2]∪(0，2] B．[－2，0]∪[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2] (2)(多选)定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的为(　　) A．f (b)－f (－a)g(a)－g(－b) C．f (a)＋f (－b)g(b)－g(－a) (1)C　(2)AC　[(1)由题意可得，函数的图象关于原点对称， 对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2， 都有fx2-fx1x2-x1<0， 故函数在(0，＋∞)上单调递减， 故函数在(－∞，0)上也单调递减． 由不等式3f-x-2fxx≥0可得fxx≤0． 再由f (2)＝0可得f (－2)＝0，故由不等式结合图象可得x≥2，或x≤－2，故选C． (2)函数f (x)为R上的奇函数，且为减函数， 偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，由a>b>0，得f (a)0上f (a)＝g(a))，所以A正确； 对于B，f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)>0，这与f (b)<0矛盾，所以B错误； 对于C，f (a)＋f (－b)g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]>0，这与f (a)x1，则F(x2)－F(x1)＝f (x2)－f (－x2)－f (x1)＋f (－x1)， ∵x2>x1， ∴－x2<－x1， ∵f (x)为定义在R上的增函数， ∴f (x2)>f (x1)，f (－x1)>f (－x2)， ∴F(x2)－F(x1)＝[f (x2)－f (x1)]＋[f (－x1)－f (－x2)]>0， ∴F(x)为定义在R上的增函数． 综上所述，F(x)必为增函数且为奇函数．故选A．] 3．若f (x)是定义在R上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有fx2-fx1x2-x1<0，则(　　) A．f (3)0的解集为(　　) A．-12，32 B．12，+∞ C．-∞，32 D．-∞，-12∪32，+∞ A　[由函数f (x)是定义在R上的偶函数，可得f (x)＝f (|x|)， 由f (x)在(－∞，0]上是增函数，可得f (x)在[0，＋∞)上是减函数， 又f (2)＝0，可得不等式f (2x－1)>0， 即为f (|2x－1|)> f (2)，即有|2x－1|<2，即-2<2x－1<2，解得-120，g(x)<0， 即h(x)<0， 当00，即h(x)<0， 所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2)．] 8．设f (x)是定义在R上的奇函数，且y＝f (x)的图象关于直线x＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________． 0　[∵f (x)是定义在R上的奇函数，∴f (0)＝0． 又f (x)的图象关于直线x＝12对称， ∴f 12-x＝f 12+x．　① 在①式中，当x＝12时，f (0)＝f (1)＝0． 在①式中，以12＋x代替x，得 f 12-12+x＝f 12+12+x， 即f (－x)＝f (1＋x)． ∴f (2)＝f (1＋1)＝f (－1)＝－f (1)＝0， f (3)＝f (1＋2)＝f (－2)＝－f (2)＝0， 同理，f (4)＝f (5)＝0． ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)． (1)当a为何值时，函数f (x)为偶函数； (2)若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝0时，f (x)＝x2为偶函数；当a≠0时，f (x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)设x2>x1≥2， f (x1)－f (x2)＝x12＋ax1-x22－ax2＝x1-x2x1x2[x1x2·(x1＋x2)－a]， 由x2>x1≥2得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0， 要使f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增只需f (x1)－f (x2)<0， 即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16． 10．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数y＝f (x)满足f (xy)＝f (x)－f 1y，且函数f (x)在(－∞，0)上单调递减． (1)求f (－1)，并证明函数y＝f (x)是偶函数； (2)若f (2)＝1，解不等式f 2-4x－f 1x≤1． [解]　(1)令y＝1x≠0，则f x·1x＝f (x)－f (x)，得f (1)＝0， 再令x＝1，y＝－1，可得f (－1)＝f (1)－f (－1)， 得2f (－1)＝f (1)＝0， 所以f (－1)＝0， 令y＝－1，可得f (－x)＝f (x)－f (－1)＝f (x)， 又该函数的定义域关于原点对称， 所以f (x)是偶函数． (2)因为f (2)＝1，又该函数为偶函数， 所以f (－2)＝1． 因为函数f (x)在(－∞，0)上单调递减， 所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f 2-4x－f 1x＝f 2x-4x·x＝f (2x－4)， 所以f (|2x－4|)≤f (2)，即2x-4≠0，2x-4≤2， 解得1≤x<2或2