人教A版高中数学必修第一册第4章探究课2互为反函数的两个图象间的关系课时学案
展开互为反函数的两个图象间的关系 1.反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.其图象间的关系,如图(1)(2)所示. (1) (2) 2.互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. (2)原函数的图象过点(a,b),反函数的图象必过点(b,a). (3)原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域. (4)互为反函数的两个函数的单调性相同. 【典例】 (1)(2022·福建泉州月考)设函数f (x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(0,1),其反函数的图象过点(2,1),则a+b等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值. (1)A [f (x)的反函数的图象过点(2,1),则f (x)的图象过点(1,2), 所以a0+b=1,a1+b=2,解得a=2,b=0,所以a+b=2,故选A.] (2)[解] 将方程整理得2x=-x+3, log2x=-x+3. 如图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3交点A的横坐标, b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3交点B的横坐标. 由于函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得出A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标为A(a,b),B(b,a).而A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入),或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3. 1.函数y=log3x13≤x≤81的反函数的定义域为( ) A.(0,+∞) B.13,81 C.(1,4) D.[-1,4] D [由y=log3x13≤x≤81,可知y∈[-1,4]. 所以反函数的定义域为x∈[-1,4].] 2.已知函数f (x)=logax(a>0,且a≠1). (1)若函数f (x)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,且点P(2,16)在函数h(x)的图象上,求实数a的值; (2)已知函数g(x)=f x2fx8,x∈12,8.若g(x)的最大值为8,求实数a的值. [解] (1)因为函数f (x)=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,所以h(x)=ax(a>0,且a≠1). 因为点P(2,16)在函数h(x)的图象上,所以16=a2, 解得a=4,或a=-4(舍去). (2)g(x)=logax2·logax8=(logax-loga2)(logax-loga8)=(logax)2-4loga2·logax+3(loga2)2. 令t=logax. ①当01时,由12≤x≤8,有-loga2≤logax≤3loga2, 二次函数φ(t)=t2-4tloga2+3(loga2)2的对称轴为t=2loga2, 可得最大值为φ(-loga2)=(loga2)2+4(loga2)2+3(loga2)2=8(loga2)2=8, 解得a=2或a=12舍去. 综上,实数a的值为12或2.