人教A版高中数学必修第一册第4章4-1第1课时根式课时学案

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4.1　指数 第1课时　根式 1．理解n次方根、根式的概念．(数学抽象) 2．能正确运用根式运算性质化简求值．(数学运算) 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数2诞生了． 问题：若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫做3的什么？如何表示？ 知识点1　根式及相关概念 (1)a的n次方根的定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． (2)a的n次方根的表示 (3)根式 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 知识点2　根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，nan＝a． (2)n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，-a，a<0． (3)n0＝0． (4)负数没有偶次方根． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当a≥0时，na表示一个数． (　　) (2)实数a的n次方根有且只有一个． (　　) (3)当n为偶数，a≥0时，na≥0． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．(1)27的立方根是________； (2)已知x6＝2 023，则x＝________； (3)若4x+3有意义，则实数x的取值范围为________． [答案]　(1)3　(2)±62 023　(3)[－3，＋∞) 3．(1)3-83＝________； (2)43-π4＝________． [答案]　(1)－8　(2)π－3 类型1　由根式的意义求取值范围 【例1】　写出使下列各式成立的实数x的取值范围． (1)31x-33＝1x-3； (2)x-5x2-25＝(5－x)x+5． [解]　(1)∵x－3≠0，∴x≠3． 即实数x的取值范围为{x|x≠3}． (2)由题意可知x+5≥0 x-5≤0，∴－5≤x≤5， ∴实数x的取值范围为{x|－5≤x≤5}． 　对于na，当n为偶数时应注意两点 (1)只有a≥0才有意义． (2)只要na有意义，则必有na≥0． [跟进训练] 1．若43a-14＝1－3a，则实数a的取值范围是________． -∞，13　[∵43a-14＝1－3a，∴1－3a≥0，∴a≤13．] 类型2　利用根式的性质化简求值 【例2】　化简下列各式： (1)5-25＋(5-2)5；(2)6-26＋(62)6；(3)4x+24． [解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4． (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4． (3)原式＝|x＋2|＝x+2，x≥-2，-x-2，x<-2． 　正确区分nan与(na)n (1)(na)n已暗含了na有意义，依据n的奇偶性可知a的范围． (2)nan中的a可以是全体实数，nan的值取决于n的奇偶性． [跟进训练] 2．化简下列各式： (1)43a-34(a≤1)；(2)3a3＋41-a4． [解]　(1)∵a≤1，∴3a－3≤0，∴43a-34＝|3a－3|＝3－3a． (2)3a3＋41-a4＝a＋|1－a|＝1，a≤1， 2a-1，a>1． 类型3　有限制条件的根式的化简 【例3】　(1)若x<0，则x＋|x|＋x2x＝________． (2)若－30， ∴x2-4x+4－x2+2x+1＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x． 1．(多选)已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子，其中有意义的是(　　) A．4-22n　　　 B．3-22n+1 C．4-22n D．3-a2 BCD　[结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD．] 2．已知m10＝2，则m等于(　　) A．102 B．－102 C．210 D．±10 2 D　[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±102．故选D．] 3．若a-2＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2，4)∪(4，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞) B　[由题意可知a-2≥0，a-4≠0，∴a≥2且a≠4．故选B．] 4．π-42＋3π-33＝________． 1　[π-42＋3π-33＝4－π＋π－3＝1．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．若xn＝a，则x的值如何表示？ [提示]　当n为奇数时，若xn＝a，则x＝na． 当n为偶数时，若xn＝a，则x＝±na(其中a≥0)． 2．nan与(na)n相同吗？ [提示]　nan与(na)n不同，前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者(na)n＝a是恒等式，只要(na)n有意义，其值恒等于a． 课时分层作业(二十六)　根式 一、选择题 1．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A．4m2　　　B．5m　　　C．6m　　　D．5-m C　[当m<0时，6m没有意义，其余各式均有意义．故选C．] 2．(多选)下列说法正确的有(　　) A．16的4次方根是2 B．416的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义 D．当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义 CD　[A中16的4次方根应是±2；B中416＝2，所以正确的应为CD．] 3．(多选)(2022·江苏省如皋中学月考)若xn＝a(x>0，n>1，n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　) A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为x C．当n为偶数时，x的n次方根为±a D．当n为偶数时，a的n次方根为±x BD　[当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x．所以BD说法是正确的．故选BD．] 4．化简a-b2＋5b-a5的结果是(　　) A．0 B．2(b－a) C．0或2(b－a) D．2(a－b) C　[a-b2＋5b-a5＝|a－b|＋(b－a)． 当a≥b时，原式＝a－b＋(b－a)＝0； 当a1，n∈N*) D．(na)n＝a(n>1，n∈N*) ACD　[因为3-5<0，故A正确；因为3.14-π2＝π－3.14≠0，故B错误；因为n>1，n∈N*时，2n为偶数，所以na2n＝a2，故C正确；因为(na)n＝a(n>1，n∈N*)，故D正确．] 二、填空题 6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________． －11或7　[因为81的平方根为±9，所以a＝±9． 又因为－8的立方根为b， 所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7．] 7．若x-1＋4x+y＝0，则x2 023＋y2 024＝________． 2　[∵x-1≥0，4x+y≥0，且x-1＋4x+y＝0， ∴x-1=0，x+y=0，即x=1，y=-1． ∴x2 023＋y2 024＝1＋(－1)2 024＝2．] 8．若a>2b，则3a-b3＋a-2b2＝________． 2a－3b　[因为a>2b， 所以3a-b3＋a-2b2＝a－b＋|a－2b|＝a－b＋a－2b＝2a－3b．] 三、解答题 9．化简：(1)nx-πn(x<π，n>1，n∈N*)； (2)4a2-4a+1a≤12． [解]　(1)∵x<π，∴x－π<0， 当n为偶数时，nx-πn＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，nx-πn＝x－π． 综上，n,x-πn＝π-x，n为偶数，n>1，n∈N* ，x-π，n为奇数，n>1，n∈N* ． (2)∵a≤12， ∴2a－1≤0， ∴4a2-4a+1＝2a-12＝|2a－1|＝1－2a． 10．化简4-23－4+23＝(　　) A．23 B．－23 C．2 D．－2 D　[4-23－4+23＝3-12－3+12＝3－1－(3＋1)＝－2，故选D．] 11．下列式子中成立的是(　　) A．a-a＝-a3 B．a-a＝－a3 C．a-a＝－-a3 D．a-a＝a3 C　[由a-a可知a≤0，∴a-a≤0，故选C．] 12．(2022·江苏省如皋中学月考)若4a2-4a+1＝31-2a3，则实数a的取值范围是________． -∞，12　[由题设得4a2-4a+1＝2a-12＝|2a－1|， 31-2a3＝1－2a，所以|2a－1|＝1－2a， 所以1－2a≥0，a≤12．] 13．已知f (x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则f (－1)＝________(用a，b表示)，式子4a-b4可化为________． a－b＋0.1　b－a　[∵f (－1)＝a－b＋0.1<0， ∴a－b<0， ∴4a-b4＝b－a．] 14．设－2