高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时学案，共12页。

1．通过具体的实例，了解指数函数的实际意义．(数学抽象)
2．理解指数函数的概念，会求指数函数的定义域．(数学运算)
3．能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题．(数学建模)
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝12
x＝2 y＝4＝22 S＝14＝122
x＝3 y＝8＝23 S＝18＝123
… … …
知识点1 指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R．
指数函数和幂函数的区别：
指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
知识点2 两类指数模型
(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当01．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)函数y＝2－x不是指数函数．( )
(3)函数f (x)＝xx为指数函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．某地2020年GDP现价总量为a亿元，若预计以后每年比上一年增长11%，那么2025年GDP现价总量约为________亿元．(参考数据1.114≈1.52，1.115≈1.69)
1.69a [2025年GDP现价总量为a(1＋11%)5＝a×1.115≈1.69a．]
类型1 指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1 B．2 C．3 D．0
(2)已知函数f (x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
(1)D (2)12，1∪(1，＋∞) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，所以不是指数函数；
③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．
(2)由题意可知2a-1>0，2a-1≠1，解得a>12且a≠1，
所以实数a的取值范围是12，1∪(1，＋∞)．]
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须在指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1．
[跟进训练]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
2 [由指数函数的定义知a2-3a+3＝1，①a>0且a≠1， ②
由①得a＝1或a＝2，结合②得a＝2．]
类型2 指数函数的解析式
【例2】 (1)若函数f (x)是指数函数，且f (2)＝2，则f (x)＝( )
A．(2)x B．2x
C．12x D．22x
(2)已知函数f (x)为指数函数，且f-32＝39，则f (－2)＝________．
(1)A (2)19 [(1)由题意，设f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由f (2)＝a2＝2，得a＝2(负值舍去)，所以f (x)＝(2)x．
(2)设f (x)＝ax(a>0且a≠1)，由f -32＝39得a-32＝39，所以a＝3，所以f (x)＝3x，所以f (－2)＝3-2＝19．]
[跟进训练]
2．如果指数函数y＝f (x)的图象经过点-2，14，那么f (4)·f (2)等于________．
64 [设y＝f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，
所以a-2＝14，所以a＝2，
所以f (4)·f (2)＝24×22＝64．]
类型3 指数函数的实际应用
【例3】 (源自湘教版教材)2012年某地区人均GDP为38 852元，2013年为43 992元；如果假定增速不变，取自变量x为2012年后的年数，将该地区人均GDP用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，依此估计2020年该地区人均GDP数量和相对于2012年的增长倍数，并说明底数a的意义．
[解] 按假设条件和数据，有
G(0)＝C·a0＝38 852，G(1)＝C·a1＝43 992．
解得C＝38 852，a＝43 992C＝43 99238 852≈1.132．
因此该函数的解析式为G(x)＝38 852·1.132x．
依此估计出2020年该地区人均GDP为
G(8)＝C×a8≈38 852×1.1328≈38 852×2.696≈104 745(元)，
相对于2012年，增长了约1.7倍．
底数a是每年人均GDP与上一年的比，平均增长率为(a－1)×100%≈13.2%．
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
[跟进训练]
3．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝0.957 6x100B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝0.957 6100xD．y＝1-0.042 4x100
A [由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957 6)x100．故选A．]
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x+1 B．y＝x3 C．y＝3·2x D．y＝3－x
D [结合指数函数的定义可知D正确，故选D．]
2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或2 B．－1 C．2 D．12
C [依题意，有m2-m-1＝1，m>0且m≠1，解得m＝2(m＝－1舍去)．]
3．若指数函数f (x)的图象过点(3，8)，则f (x)的解析式为( )
A．f (x)＝x3B．f (x)＝2x
C．f (x)＝12xD．f (x)＝x13
B [设f (x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f (3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f (x)＝2x，故选B．]
4．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为________．
1215 730 [设原物质的量为1，则经过一年后该物质剩余量为1215 730，即年衰变率为1215 730．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数f (x)＝ax是指数函数吗？
[提示] 不一定．当a>0且a≠1时，f (x)＝ax是指数函数．
2．指数模型的解析式具有怎样的形式？
[提示] 形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)．
课时分层作业(二十八) 指数函数的概念
一、选择题
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝12x-1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝122x－1．
A．0 B．1 C．3 D．4
B [由指数函数的定义可判定，只有②符合．]
2．指数函数y＝f (x)的图象经过点-2，19，那么f (2)·f (1)等于( )
A．－3 B．9 C．27 D．81
C [由指数函数y＝f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点-2，19，可得a-2＝19，解得a＝3，函数的解析式为f (x)＝3x，f (2)·f (1)＝32×31＝27．]
3．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为( )
A．a(1＋p%)元B．a(1－p%)元
C．a1-p% 3元D．a1+p% 元
C [设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，
∴x＝a1-p% 3．故选C．]
4．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2020年的耕地面积为m，则2025年的耕地面积为( )
A．(1－0.1250) mB．0.9110m
C．0.9250mD．1-0.9110 m
B [设每年减少的百分率为a，
由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
∴1－a＝0.9150，
由2020年的耕地面积为m，
得2025年的耕地面积为(1－a)5m＝0.9110m．]
5．(多选)若函数f (x)＝12a-3ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列结论正确的是( )
A．a＝8B．f (0)＝－3
C．f 12＝22D．f (2)＝16
AC [由题意知12a－3＝1，所以a＝8．所以f (x)＝8x，f (0)＝1，f 12＝812＝22，f (2)＝82＝64．故选AC．]
二、填空题
6．若函数f (x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
(－∞，1)∪1，43 [由题意可知4-3a>0，4-3a≠1，故a<43且a≠1．]
7．某农场今年计划种甘蔗100 hm2，以后每年比前一年多种20%，那么从今年算起，第四年应种甘蔗________hm2．
172.8 [因为今年计划种甘蔗100 hm2，以后每年比前一年多种20%，
所以第二年种100(1＋20%)hm2，
第三年种100(1＋20%)2hm2，
第四年种100(1＋20%)3＝172.8 hm2．]
8．f (x)为指数函数，若f (x)过点(－2，4)，则f (f (－1))＝________．
14 [设f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，
由f (－2)＝4，得a-2＝4，解得a＝12，
所以f (x)＝12x，
所以f (－1)＝12-1＝2，
所以f (f (－1))＝f (2)＝122＝14．]
三、解答题
9．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．
(1)求y与x的函数关系y＝f (x)，并写出定义域；
(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？
(3)哪一年年底的人口数将达到135万？
(参考数据：1.00311≈1.031；1.00312≈1.034；1.00313≈1.037；1.00314≈1.04)
[解] (1)2018年年底的人口数为130万；
经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)万；
经过2年，2020年年底的人口数为
130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；
经过3年，2021年年底的人口数为
130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．
……
所以经过x年后的人口数为
130(1＋3‰)x(万)．
即y＝f (x)＝130(1＋3‰)x(x∈N)．
(2)2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)．
(3)由(2)可知，2029年年底的人口数为
130(1＋3‰)11≈134<135．
2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.4(万)，
2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈134.8(万)．
2032年年底的人口数为130(1＋3‰)14≈135.2(万)
所以2032年年底的人口数将达到135万．
10．已知f (x)为R上的奇函数，当x<0时，f (x)＝3x，那么f (2)的值为( )
A．－9 B．19 C．－19 D．9
C [∵f (x)为奇函数，且x<0时f (x)＝3x，
∴f (2)＝－f (－2)＝－3-2＝－19．故选C．]
11．函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)对于任意实数x，y都有( )
A．f (xy)＝f (x)f (y)
B．f (xy)＝f (x)＋f (y)
C．f (x＋y)＝f (x)f (y)
D．f (x＋y)＝f (x)＋f (y)
C [f (x＋y)＝ax＋y＝axay＝f (x)f (y)．故选C．]
12．已知函数f (x)＝1-x-12 ，x>0，2x，x≤0， 则f f19等于________．
14 [∵f 19＝1－19-12＝1－3＝－2，
∴f f19＝f (－2)＝2-2＝14．]
13．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为y KB．
(1)y关于x的函数解析式为________；
(2)如果病毒占据内存不超过1 GB(1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB)时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用________分钟．
(1)y＝2x3+1，x∈(0，＋∞) (2)57 [(1)因为这种病毒开机时占据内存2 KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍，
所以，一个三分钟后它占据的内存为2×2＝22 KB；
两个三分钟后它占据的内存为2×2×2＝23 KB；
三个三分钟后它占据的内存为23×2＝24 KB；
…
所以x分钟后的病毒所占内存为2×2x3 KB，
所以y＝2x3+1，x∈(0，＋∞)．
(2)由题意，病毒占据内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，又1 GB＝220 KB，
故有2x3+1≤220，解得x≤57．
所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟．]
14．已知函数f (x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数．
(1)求f (x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f (x)－f (－x)的奇偶性，并加以证明．
[解] (1)由题意得a2－3a＋3＝1，a>0，且a≠1，解得a＝2或a＝1(舍去)，∴f (x)＝2x．
(2)F(x)为奇函数．证明：F(x)＝2x－2－x，定义域为R．
x∈R，－x∈R．
F(－x)＝2－x－2－(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数．
15．已知函数y＝f (x)，x∈R，且f (0)＝3，f1f0＝12，f2f1＝12，…，fnfn-1＝12，n∈N*，求函数y＝f (x)的一个解析式．
[解] 当x增加1时函数值都以12的衰减率衰减，
∴函数f (x)为指数衰减型函数模型，
令f (x)＝k12x(k≠0)，
又f (0)＝3，∴k＝3，∴f (x)＝3·12x．