人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-2第2课时奇偶性的应用课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-2第2课时奇偶性的应用课时学案，共16页。

第2课时　奇偶性的应用 1．会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式．(数学运算) 2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题．(逻辑推理、数学运算) 类型1　利用函数的奇偶性求解析式 【例1】　函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式． [解]　设x<0，则－x>0， ∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1， ∴当x<0时，f (x)＝－x－1． 又x＝0时，f (0)＝0， 所以f (x)＝-x-1，x<0，0，x=0， -x+1，x>0． 　利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)． 提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0． [跟进训练] 1．(1)函数f (x)是R上的偶函数，且当x<0时，f (x)＝x(x－1)，则当x>0时，f (x)＝________． (2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝1x-1，则函数f (x)的解析式为__________． (1)x(x＋1)　(2)f (x)＝1x2-1　[(1)设x>0，则－x<0，所以f (－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f (x)为R上的偶函数，故当x>0时，f (x)＝f (－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f (x)＝x(x＋1)． (2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)． 由f (x)＋g(x)＝1x-1，① 用－x代替x得f (－x)＋g(－x)＝1-x-1， ∴f (x)－g(x)＝1-x-1，② (①＋②)÷2，得f (x)＝1x2-1．] 类型2　利用函数的单调性与奇偶性比较大小 【例2】　设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　) A．f (π)＞f (－3)＞f (－2) B．f (π)＞f (－2)＞f (－3) C．f (π)＜f (－3)＜f (－2) D．f (π)＜f (－2)＜f (－3) A　[由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f (x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π， ∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)，故选A．] [母题探究] (1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系如何？ (2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小． [解]　(1)因为f (x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f (2)>f (3)>f (π)．又因为f (x)是R上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)>f (－3)>f (π)． (2)因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数， 因为－3<－2<π，所以f (－3)m， -2≤1-m≤2，-2≤m≤2， 解得m∈-1，12，故m的取值范围为-1，12． (2)若f (x)是偶函数，因为f (x)在[0，2]上单调递减，故在[－2，0)上单调递增， 由f (1－m)m， -2≤1-m≤2，-2≤m≤2， 解得m∈-1，12， 故m的取值范围为-1，12． 　利用函数奇偶性和单调性解不等式的策略 (1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)f (x2)的形式； (2)利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题． 提醒：利用好偶函数性质f (x)＝f (|x|)可以避免讨论，简化计算；同时注意函数自身定义域对参数的影响． [跟进训练] 3．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f (－3)＝0，则fxx<0的解集为________． (－3，0)∪(3，＋∞)　[结合题意，画出草图如图所示， 由fxx<0可知：当x<0时，f (x)>0，此时x∈(－3，0)，当x>0时，f (x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．] 类型4　证明函数图象的对称性 【例4】　(源自人教B版教材)求证：二次函数f (x)＝x2＋4x＋6的图象关于x＝－2对称． [证明]　任取h∈R，因为f (－2＋h)＝(－2＋h)2＋4(－2＋h)＋6＝h2＋2， f (－2－h)＝(－2－h)2＋4(－2－h)＋6＝h2＋2， 所以f (－2＋h)＝f (－2－h)， 这就说明函数的图象关于x＝－2对称． 　(1)要证明函数f (x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (h－x)＝f (h＋x)． (2)要证明函数f (x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b． [跟进训练] 4．证明函数f (x)＝xx+1的图象关于点(－1，1)对称． [证明]　函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． 任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， ∵f (－1＋x)＋f (－1－x)＝-1+x-1+x+1＋-1-x-1-x+1 ＝-1+xx＋1+xx＝2， 即f (－1＋x)＋f (－1－x)＝2×1， ∴f (x)的图象关于点(－1，1)对称． 1．(2022·陕西安康高一期中)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x＋2，则当x<0时，f (x)＝(　　) A．－x－2 B．－x＋2 C．x－2 D．x＋2 C　[∵当x<0时，－x>0，f (－x)＝－x＋2， ∴f (x)＝－f (－x)＝x－2，故选C．] 2．(2022·山西晋城一中月考)已知函数f (x)为定义在R上的奇函数，且x>0时，f (x)＝x2＋1，则f (－1)＋f (0)＝(　　) A．1　　　B．0　　　C．－2　　　D．2 C　[因为函数f (x)为定义在R上的奇函数， 所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)＝－(12＋1)＝－2， 所以f (－1)＋f (0)＝－2．故选C．] 3．(多选)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且有f (3)>f (1)，则下列各式中一定成立的是(　　) A．f (－1)f (2) D．f (2)>f (0) AB　[∵f (x)为偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，又f (3)>f (1)，∴f (－3)>f (1)，f (3)>f (－1)都成立．] 4．已知定义在R上的偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，若f (a)>f (3)，则实数a的取值范围是______． (－3，3)　[由题意可知|a|<3，解得－3f (b)，则a，b的大小关系如何？若f (x)为偶函数呢？ [提示]　奇函数时，a>b；偶函数时，|a|<|b|． 课时分层作业(二十三)　奇偶性的应用 一、选择题 1．设函数f (x)＝gx，x<0， x2-2x，>0，若f (x)是奇函数，则g(－2)等于(　　) A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2 B　[由已知可得g(－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－(22－2×2)＝0．] 2．定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，若f (a)b C．|a|<|b| D．0≤ab≥0 C　[∵f (x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增， ∴由f (a)1．] 5．(多选)(2022·安徽省六安中学期末)函数y＝f (x)是R上的奇函数，当x>0时f (x)＝x2－2x－3，则下列说法正确的是(　　) A．x<0时f (x)＝x2＋2x＋3 B．f (0)＝－3 C．x<0时f (x)＝－x2－2x＋3 D．f (－2)＝3 CD　[当x＝0时，f (0)＝0，选项B错误； 函数y＝f (x)是R上的奇函数，故f (－x)＝－f (x)． 当x<0时，－x>0，则 f (－x)＝x2＋2x－3＝－f (x)，故f (x)＝－x2－2x＋3，故C正确，A错误；又x＝－2<0，故f (－2)＝－4＋4＋3＝3，故D正确．故选CD．] 二、填空题 6．写出一个图象关于x＝2对称的函数：________． [答案]　f (x)＝x2－4x(答案不唯一) 7．若f (x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是________． f (－2)f (1)>f (2)＝f (－2)．] 8．已知f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f (x)＝________，g(x)＝________． x2－2　x　[f (－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f (x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f (x)－g(x)＝x2－x－2，又f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f (x)＝x2－2，g(x)＝x．] 三、解答题 9．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x)＝x5＋x3＋b． (1)求b的值； (2)若f (x)在[0，2]上单调递增，且f (m)＋f (m－1)>0，求实数m的取值范围． [解]　(1)因为函数f (x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f (0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意)． (2)因为函数f (x)在[0，2]上是增函数，又f (x)是奇函数，所以f (x)在[－2，2]上是增函数． 因为f (m)＋f (m－1)>0， 所以f (m－1)>－f (m)＝f (－m)， 所以m－1>－m，① 又需要不等式f (m)＋f (m－1)>0在函数f (x)定义域内有意义， 所以-2≤m≤2， -2≤m-1≤2，　② 解①②得12f (－1)>f (0)，即f (4)0成立． (1)判断f (x)在[－1，1]上的单调性，并证明； (2)解不等式：f x+120，又x1－x2<0， ∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)