【期中真题】2023-2024学年九年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题01 一元二次方程及其解法(4类经典题型 优选提升）.zip

专题01 一元二次方程及其解法

一元一次方程的定义

1．下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程；据此进行逐一判断，即可求解．

【详解】解：是一元一次方程，此项错误；

符合定义，是一元二次方程，此项正确；含有两个未知数，不是一元二次方程，此项错误；不是整式方程，此项错误；是一元二次方程，此项正确；

，当时，不含未知数的二次项，不符合一元二次方程的定义，此项错误；

其中一元二次方程的个数为：2；故选：A．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．

2．若是关于x的一元二次方程，则（　　）

A． B． C．，或 D．，且

【答案】D

【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义列式求解，即可得到答案．

【详解】解：是关于x的一元二次方程，

，

解得：，且，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握一元二次方程满足的两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0．

解一元二次方程

3．解方程：

(1)（用配方法解）

(2)（用公式法解）

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）用配方法求解即可；

（2）用公式法求解即可．

【详解】（1）解：

，；

（2）解：∴，，，

∴

∴

，．

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和用公式法解一元二次方程是解题的关键．

4．适当的方法解方程：

(1)

(2)

【答案】(1)，

(2)，

【分析】(1)直接开方，移项即可求解；

(2)先移项,然后提公因式,由此即可求解；

【详解】（1）解：

，

∴或

∴，．

（2）解：

∴，．

【点睛】本题主要考查开方法，因式分解法解一元二次方程，掌握开方法，因式分解是解题的关键．

5．若，则的值为        ．

【答案】或1/1或

【分析】先用换元法把方程转化为一元二次方程，再利用十字相乘法因式分解的形式求一元二次方程，即可求解．

【详解】解：设，原方程可变形为：，

∴，

解得，或1；

∴的值为或1．

故答案为：或1．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和换元法的运用，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

6．已知实数x，y满足，则的值是（    ）

A．1或 B．或2 C．2 D．1

【答案】C

【分析】令，则，整理为，根据，即可得出答案．

【详解】解：令，

∵，

∴

∴，

，

，

，

∴或，

解得：或（舍），

∴，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是将看做一个整体．

根的判别式

7．当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（    ）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

【答案】C

【分析】根据得，根据一元二次方程根的判别式和配方法得，即可得．

【详解】解：∵，∴，

∵，

∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，解题的关键是掌握这些知识点．

8．一元二次方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

【答案】C

【分析】计算判别式，判断即可．

【详解】∵一元二次方程，

∴，

故方程无实数根．

故选C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握计算根的判别式是解题的关键．

9．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】当时，一元二次方程有实数根．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，

∴，

解得；

故选：C．

【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．掌握相关结论是解题关键．

10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则c的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得，一元二次方程根的判别式，即可求解．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，

∴，解得：，故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．

根与系数之间的关系

11．已知m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（　　）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【分析】先根据方程根的定义和根与系数的关系可得，然后再对变形后整体代入即可解答．

【详解】解：∵m，n是关于x的方程的根，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义、根与系数的关系等知识点，由题意得到是解答本题的关键．

12．已知a、b是一元二次方程的两根，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据根与系数的关系得，，再通分和进行同分母的加法运算得到原式，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】解：根据根与系数的关系得，，

所以．

故选：A．

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．

13．已知是方程的两根，则代数式的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据是方程的两根，得出，，，然后对代数式变形，最后代入进行计算即可求解．

【详解】解：∵是方程的两根，

∴，，，

∴

，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．

14．已知、，满足等式：，则      ．

【答案】

【分析】根据题意可得出，为以为未知数的一元二次方程的两根，再利用根与系数的关系即可求解．

【详解】解：∵

∴，

∴

∵满足

∴，为以为未知数的一元二次方程的两根，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，得出，为以为未知数的一元二次方程的两根是解题的关键．

15．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　）

①；

②，；

③；

④关于的一元二次方程的两个根为，．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断．

【详解】解：根据根与系数的关系得，

∵，∴，

∴，所以①正确；

∵，，

∴，，所以②正确；

∵，

∴，

即，

∴，所以③错误；

∵，

∴方程化为，即，

∵方程可变形为，

∴或，

解得，，所以④正确．

故选：．

【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．

16.已知α，β是方程的两个根，，不解方程，利用根与系数的关系求的值．

【答案】

【分析】由题可得：，，则，，而，则，设，，求出及即可得出答案．

【详解】解：由题可得：，，

则，，

而，则，

设，，

，

，

∴，

即．

【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

17．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．

(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．

(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．

(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．

【答案】(1)；；(2)；(3)

【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案；

（2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得；

（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．

【详解】（1）解：，，

故答案为：；；

（2）∵，，且，

∴，可看作方程的两个根，

∴，，

∴，

∴的值为；

（3）∵，分别满足，，且，

∴，

∴和可看作方程的两根，

∴，，

∴

，

∴的值为．

【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．