第02讲 线段垂直平分线的性质和判定（知识解读+真题演练+课后巩固)-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

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第02讲 线段垂直平分线的性质和判定

1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定；
2. 能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．

知识点1 ：线段垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线

知识点2 ：线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

知识点3：线段的垂直平分线逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上



【题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【典例1】（2023•邵阳县二模）如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，且AB＝4，BC＝7，则△ABD的周长是（　　）


A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵AB＝4，BC＝7，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD
＝AB+BD+CD
＝AB+BC
＝4+7
＝11，
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故选：B．
【变式1-2】（2023春•新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D，
∴AD＝BD，
∵△BCD周长为8，AC＝5，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8，
∴BC＝8﹣5＝3，
故选：C．
【变式1-3】（2023春•新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D，
∴AD＝BD，
∵△BCD周长为8，AC＝5，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8，
∴BC＝8﹣5＝3，
故选：C．
【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【典例2】（2023春•青羊区期末）如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD＝25°，∠C＝35°，则∠B的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】D
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∵∠BAD＝25°，
∴∠B＝180°﹣25°﹣35°﹣35°＝85°，
故选：D．
【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】A
【解答】解：∵AO平分∠BAC，
∴，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝35°，
故选：A．
【变式2-2】（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（　　）

A．70° B．55° C．40° D．30°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵EF是边AB的垂直平分线，MN是边AC的垂直平分线，
∴FB＝FA，NC＝NA，
∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠FAB+∠NAC）＝110°﹣70°＝40°，
故选：C．
【变式2-3】（2022秋•青县期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠EBC的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．80°
【答案】A
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°；
故选：A．
【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【典例3】（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　）

A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
【变式3-1】（2022春•于洪区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】C
【解答】解：
根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，
所以EF上的点到M、N的距离相等，
即发射塔应该建在C处，
故选：C．
【变式3-2】（2022秋•天心区期中）在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰收的季节．为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（　　）

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】B
【解答】解：基站应该建立在B处，
故选：B．
【变式3-3】（2022秋•平城区校级期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）

A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【答案】A
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
【题型4 线段垂直平分线的性质的综合应用】
【典例4】（2022秋•宁乡市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数．

【答案】（1）见解析；
（2）75°．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∵BE＝AC，
∴AE＝AC，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝2∠B，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠C＝2∠B，
∵∠C＝70°，
∴∠B＝35°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣70°＝75°．

【变式4-1】（2022秋•天河区校级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20cm，AE＝5cm，求△ABC的周长．

【答案】30cm
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝20cm，
又∵AE＝5cm，
∴AC＝2AE＝2×5＝10（cm），
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝20+10＝30（cm）．
【变式4-2】（2022春•永丰县期中）如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．

【答案】（1）14cm；
（2）36°．
【解答】解：（1）∵DE为AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14（cm）；
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝2x，
∵∠C＝90°，
∴x+2x+2x＝90°，
解得：x＝18°，
则∠B＝2x＝36°．
【变式4-3】（2022秋•垣曲县期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
【题型5 线段垂直平分线的判定】
【典例5】（秋•南安市期末）（1）求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
（2）用（1）中的结论解决：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BE平分∠ABC，求证：点E在线段AB的垂直平分线上．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知：如图，QA＝QB．
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．
证明：过点Q作QM⊥AB，垂足为点M．则∠QMA＝∠QMB＝90°，

在Rt△QMA和Rt△QMB中，
∵QA＝QB，QM＝QM，
∴Rt△QMA≌Rt△QMB（HL），
∴AM＝BM，
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
（2）证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∴点E在线段AB的垂直平分线上．

【变式5】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．
【解析】证明：∵OP是角平分线，
∴∠AOP=∠BOP
∵PA⊥OM,PB⊥ON,
∴∠OAP=∠OBP=90°
∴在△AOP 和△BOP中

∴△AOP≌△BOP（AAS）
∴OA=OB
∴PO垂直平分AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
【题型6 线段垂直平分线的作法】
【典例6】（2022秋•杭州期中）如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．


【变式6-1】（2020•宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（　　）

A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线
【答案】A
【解答】解：如图：

A．∵直线l为线段FG的垂直平分线，
∴FO＝GO，l⊥FG，
∵EF＝GH，
∴EF+FO＝OG+GH，
即EO＝OH，
∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；
B．∵EO≠OQ，
∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；
C．∵FO≠OH，
∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；
D．∵l为直线，直线没有垂直平分线，
∴EH不能平分直线l，故此选项错误；
故选：A．
【变式6-2】（秋•丰台区期末）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵　　＝BA，　　＝CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（　　）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）图形如图所示：


（2）理由：连接BE，EC．
∵AB＝BE，EC＝CA，
∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线BC垂直平分线段AE，
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】
【典例7】（2022春•甘孜州期末）如图，已知△ABC​中，∠C＝90°，∠B＝30°​，以A​为圆心，任意长为半径画弧交边AB，AC​于点M​和N​，再分别以M、N​为圆心，大于​的长为半径画弧，两弧交于点P​，连结AP​并延长交BC​于点D．​
（1）求证：点D​在线段AB​的垂直平分线上；
（2）若△ACD​的面积为3，求△ADB​的面积．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）6．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°​，
∴∠CAB＝60°，
根据作图方法可知，AD​是∠CAB​的角平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝30°，​
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D​在线段AB​的垂直平分线上；
（2）在△ACD中，∠CAD＝30°，∠C＝90°，​
∴CD＝AD，​
∵AD＝BD，​
∴CD＝BD，
∴S△ABD＝2S△ACD＝6​．
【变式7】（2022秋•牡丹江期中）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）设直线DM、EN交于点O．
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10；
（2）①如图，点O在BC的垂直平分线上，
理由：连接AO，BO，CO，
∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AO＝BO，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上；
②∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO＝∠ANO＝90°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，
∴∠BOC＝2∠MON＝160°．


1．（2023•南宁一模）如图，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AC＝10，BC＝6，则△BCD的周长为（　　）

A．6 B．10 C．16 D．18
【答案】C
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵AC＝10，BC＝6，
∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝6+10＝16，
故选：C．
2．（2023•贵阳模拟）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（　　）

A．△ABC三条角平分线的交点
B．△ABC三条边的中线的交点
C．△ABC三条高的交点
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选：D．
3．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）

A．0 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2＞P1P2，
0＜P1P2＜5.6，

故选：B．
4．（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，已知AD＝
3cm，△ABE的周长为14cm，则△ABC的周长是（　　）

A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm
【答案】D
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AD＝3cm，
∴AC＝2AD＝6cm，AE＝CE，
∵△ABE的周长为14cm，
∴AB+BC＝C△ABE＝14cm，
∴C△ABC＝AB+AC+BC＝14+6＝20（cm），
故选：D．
5．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　　．

【答案】40°．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
6．（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P，

∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
连接OB，

∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案为：78°．
7．（2020•牡丹江）在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE垂直平分斜边AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA．
∵∠CAB＝∠B+30°，
∠CAB＝∠CAE+∠EAB，
∴∠CAE＝30°．
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝60°．
∴∠AEB＝120°


1．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）

A．5 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，
∴AG＝CG，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，
∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故选：B．
3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是（　　）
A．两条中线的交点
B．两条高的交点
C．两条角平线的交点
D．两条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解答】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（　　）

A．14 B．28 C．18 D．23
【答案】D
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴BE＝CE，BD＝CD，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+AD+BD＝AB+AC＝13，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
∴△ABC的周长AB+AC+BC＝13+10＝23，
故选：D．
5．温江进行河边公园改造，如图，江安河公园有三角形草坪（△ABC），现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则该树应种在（　　）

A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【解答】解：∵树到△ABC三个顶点的距离相等，
∴树选择△ABC三边的垂直平分线的交点．
故选：A．
6．如图所示，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为（　　）

A．90° B．60° C．86° D．43°
【答案】C
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝43°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝86°，
故选：C．
7．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足为点E、F，下面四个结论中：①∠AEF＝∠AFE；②AD垂直平分EF；③S△BFD：S△CED＝BF：CE；④EF∥BC，正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【解答】解：∵∠A的平分线交BC于D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，又∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE，①正确；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，又DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，②正确；
S△BFD：S△CED＝×BF×DF：×CE×DE＝BF：CE，③正确；
EF与BC不一定平行，④错误，
故选：A．
8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（　　）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【答案】A
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB垂直平分CD，
故选：A．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm，则AC＝（　　）

A．4cm B．5m C．6cm D．7cm
【答案】C
【解答】解：连接AD．
∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm，
∴AD＝BD＝12cm，∠B＝∠BAD＝15°；
又∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∴AC＝AD＝6cm．
故选：C．

10．在△ABC中，∠B＝60°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若AE＝BC，则∠A＝　40　°．
【答案】40．
【解答】解：如图，连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝2∠A，
∵AE＝BC，
∴BE＝BC，
∴∠C＝∠BEC＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+60°＝180°，
∴∠A＝40°，
故答案为：40．

11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．

（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠A＝36°，并且AB＝AC．求证：BC＝BE．

【答案】（1）9cm；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵AC＝15cm，△BCE的周长＝24cm
∴BC＝24﹣15＝9（cm）；
（2）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
由三角形的外角性质得，∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°，
∴∠BEC＝∠C，
∴BC＝BE．