专题02 线段垂直平分线的性质和判定（七大类型）（题型专练）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

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专题02 线段垂直平分线的性质和判定（七大类型）

【题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【题型4 线段垂直平分线的性质的综合应用】
【题型5 线段垂直平分线的判定】
【题型6 线段垂直平分线的作法】
【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】

【题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
1.（2023春•莲湖区期中）如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD．若AD＝3cm，AC＝9cm，则BD的长为（　　）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】A
【解答】解：∵AD＝3cm，AC＝9cm，
∴CD＝AC﹣AD＝6cm，
∵MN垂直平分BC，
∴BD＝CD＝6cm，
故选：A．
2.（2023春•罗湖区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为（　　）

A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】A
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝EB+EF+FC＝BC，
∵BC＝2，
∴△AEF的周长为2，
故选：A．
3．（2023•海东市二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，EF垂直平分AC，交BC于点E，交AC于点F，连接AE，若BD＝DE，△ABC的问长为16，AF＝3，则DC的长为（　　）


A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：∵△ABC的周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵EF垂直平分AC，AF＝3，
∴AC＝2AF＝6，EA＝EC，
∴AB+BC＝10，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC，
∴AB+BD＝EC+DE＝10，
∴DC＝5，
故选：B．
4．（2023春•长沙期中）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝6，则线段PB的长度为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【解答】因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA＝PB＝6，即PB的长度为6．故选：C．
5．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE＝AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为18cm，AC＝7cm，则DC的长为（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵△ABC周长18cm，AC＝7cm，
∴AB+BC＝11cm，
∴AB+BE+EC＝11cm，
即2DE+2EC＝11cm，
∴DE+EC＝5.5cm，
∴DC＝DE+EC＝5.5cm．
故选：C．
【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
6.（2023春•即墨区期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝50°，∠ABD＝26°，则∠ACF的度数为（　　）

A．66° B．52° C．46° D．42°
【答案】B
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝26°，∠ABC＝2∠ABD＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣52°＝78°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠CBD＝26°，
∴∠ACF＝78°﹣26°＝52°，
故选：B．
7.（2022秋•滑县校级期末）如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝48°，则∠BDC的度数为（　　）

A．48° B．96° C．90° D．84°
【答案】B
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝48°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝96°，
故选：B．
8.（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（　　）

A．70° B．55° C．40° D．30°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵EF是边AB的垂直平分线，MN是边AC的垂直平分线，
∴FB＝FA，NC＝NA，
∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠FAB+∠NAC）＝110°﹣70°＝40°，
故选：C．
9．（2023•灞桥区校级模拟）如图，点P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且M，N分别在PA，PC的垂直平分线上．若∠APC＝142°，则∠ABC的度数为（　　）

A．76° B．104° C．130° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵∠APC＝142°，
∴∠MPA+∠NPC＝180°﹣142°＝38°，
∵M，N分别在PA，PC的垂直平分线上，
∴MP＝MA，NP＝NC，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NCP＝∠NPC，
∵∠BMN＝∠MPA+∠MAP，∠BNM＝∠NCP+∠NPC，
∴∠BMN+∠BNM＝∠MPA+∠MAP+∠NCP+∠NPC＝76°，
∴∠ABC＝180°﹣76°＝104°，
故选：B．
10．（2022秋•福清市期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若∠B＝70°，∠BAD：∠BAC＝1：3，则∠C的度数是（　　）

A．22° B．40° C．44° D．45°
【答案】C
【解答】解：设∠BAD＝x°，
∵∠B＝70°，∠BAD：∠BAC＝1：3，
∴∠BAC+∠C＝110°，∠BAC＝3x°，∠DAC＝2x°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝2x°，
∴3x+2x＝110°，
解得x＝22°，∠C＝2x°＝44°，
故选：C．
11．（2022秋•屯留区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若∠A＝20°，∠ABD＝98°，则∠C的度数为（　　）

A．30° B．31° C．20° D．21°
【答案】B
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠C＝180°，∠A＝20°，∠ABD＝98°，
∴．
故选：B．
12．（2022秋•丰南区校级期末）如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点，若∠A＝65°，∠ACP＝22°，则∠ABP的度数是（　　）

A．31° B．22° C．43° D．32°
【答案】A
【解答】解：连接PA，
∵直线L为BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵直线PM为∠ABC的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABP，
设∠PBC＝x，则∠PCB＝∠ABP＝x，
∴x+x+x+65°+22°＝180°，
解得，x＝31°，
故选：A．

13．（2023•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，
∴AG＝CG，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，
∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故选：B．
【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
14．（2022秋•涟源市期末）如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（　　）

A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【答案】C
【解答】解：如上图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在AC，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：C．
15．（2022秋•宜兴市月考）兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三个角的角平分线的交点
【答案】C
【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．
故选：C．
16．（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　）

A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B
【题型4 线段垂直平分线的性质的综合应用】
17.（2023春•新城区期中）如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AD⊥BC，D为BE的中点．
（1）求证：AB＝CE．
（2）若∠C＝32°，求∠BAC的度数．

【答案】110°，110°，38．
【解答】（1）证明：如图，连接AE．

∵AD⊥BC，且D为线段BE的中点，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE．
∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∴AB＝CE．
（2）∵AE＝EC，∠C＝32°，
∴∠CAE＝∠C＝32°，
∴∠AEB＝64°．
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°．
18.（2023春•项城市月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝5，则△CMN的周长为 　5　；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

【答案】（1）5；
（2）40°．
【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，
∴MA＝MC，NB＝NC，
∴△CMN的周长＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB，
∵AB＝5，
∴△CMN的周长＝5，
故答案为：5；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣∠MFN＝110°，
∴∠AMD+∠BNE＝∠FMN+∠FNM＝110°，
∴∠A+∠B＝180°﹣（∠AMD+∠BNE）＝70°，
∵MA＝MC，NB＝NC，
∴∠A＝∠MCA，∠B＝∠NCB，
∴∠MCN＝180°﹣（∠A+∠B+∠MCA+∠NCB）＝40°．
19.（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数．

【答案】（1）证明见解析；
（2）75°．
【解答】（1）证明：∵EF是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∵AD⊥BC，D为CE的中点，
∴AD是EC的垂直平分线，
∴AE＝AC，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝AC，∠C＝70°，
∴∠AEC＝∠C＝70°，
∵BE＝AE，
∴∠B＝∠EAB＝∠AEC＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°．
20．（2022春•贵阳期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是12．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝45°，BE＝3，求△AEF的面积．

【答案】（1）12；（2）6．
【解答】解：（1）∵ME是边AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，
∴BE＝AE，FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12；
（2）∵∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝135°，
∵BE＝AE，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAF＝90°，
设AF＝x，则EF＝12﹣x﹣3＝9﹣x，
∵AE2+AF2＝EF2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
∴x＝4，
∴AF＝4，AE＝3，EF＝5，
∴△AEF的面积＝AE×AF＝×3×4＝6．
21．（2022秋•秦淮区月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC．
（1）若∠ADB＝48°，求∠A的度数；
（2）若AB＝5cm，△ABC与△ABD的周长只差为8cm，且△ADB的面积为10cm2，求△DBC的面积．

【答案】（1）∠A＝108°；
（2）△BCD的面积为16cm2．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠ABD＝48°，
∴∠ABD＝24°，
∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣24°﹣48°＝108°；
（2）∵DE垂直平分BC，
∴DA＝DC，DE⊥BC，
∵△ABC与△ABD的周长只差为8cm，
∴（AB+BC+AD+DC）﹣（AB+AD+BD）＝BC＝8cm，
过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DH，
∵AB＝5cm，△ADB的面积为10cm2，
∴AB•DH＝10，
∴DH＝DE＝＝4cm，
∴△ABC的面积＝10+BC•DE＝10+×8×4＝26（cm2），
∴△DBC得面积＝26﹣10＝16（cm2）．
答：△BCD的面积为16cm2．

22．（2022秋•浠水县期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠C的度数．

【答案】（1）证明见解析；
（2）70°．
【解答】（1）证明：连接AE，

∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C＝90°﹣20°＝70°．
【题型5 线段垂直平分线的判定】
23．（2022秋•武冈市期末）在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB+BD＝DE，求证：点C在线段AE垂直平分线上．

【答案】见解析．
【解答】证明：∵AD垂直平分BC，
∴BD＝DC，AB＝AC，
又∵AB+BD＝DE，
∴AC+DC＝DE．
又∵DE＝DC+CE，
∴AC＝CE，
∴点C在线段AE的垂直平分线上．
24．（2022秋•伊通县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．

【答案】（1）10；
（2）点O在边BC的垂直平分线上，理由见解析
【解答】解：（1）∵l1垂直平分AB，
∴DB＝DA，
同理EA＝EC，
∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝10；
（2）点O在边BC的垂直平分线上，
理由：连接AO，BO，CO，
∵l1与l2是AB，AC的垂直平分线，
∴AO＝BO，CO＝AO，
∴OB＝OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．

25．（2022春•市北区期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE＝CE，OE＝OE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC＝OD；
（2）∵△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
26．（2022秋•五华区校级期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．

【答案】见试题解答内容
【解答】证：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF．
27．（2022春•兰州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵EG垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵∠ACB＝90°，
∴EG∥AC，
∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴AE＝EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
28．（2022春•秦都区期中）如图，点D是BC的中点，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点，求证：DF是AB的垂直平分线．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：连接AD，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝DC，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD，
在△ADF与△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF，
∴∠AFD＝∠BFD，
∵∠AFD+∠BFD＝180°，
∴∠AFD＝∠BFD＝90°，
∴DF⊥AB，
∴DF是AB的垂直平分线．

29（2023春•秦都区期中）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：连接PQ，
在△BQP和△CRQ中，
，
∴△BQP≌△CRQ，
∴QP＝QR，
∴点Q在PR的垂直平分线上．

30．（2022•丰顺县校级开学）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直平分线上．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∵在△ABC中，∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠DBC，
∴DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上．
31．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∴∠C＝∠BAM，
∵AD平分∠MAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵BE平分∠ABC，
∴BF⊥AD，AF＝FD，
即线段BF垂直平分线段AD．
【题型6 线段垂直平分线的作法】
32．（2022秋•武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．
（1）作出边AC的垂直平分线DE；
（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；

（2）如图，连接CE，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠A＝∠ACE，
∵AE＝BC，
∴CE＝BC，
∴∠B＝∠CEB，
设∠A＝x，
则∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，
在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，
解得x＝20°，
即∠A＝20°．

33.（2022春•扶风县期末）已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N的距离分别相等（保留作图痕迹）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：点P就是所求的点．（2分）
如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分


34．（2022秋•西市区校级期中）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．

【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】
35．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵D是BC的中点
∴BD＝CD，
又∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BE＝CF，
∴AB﹣BE＝AC﹣CF，
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF．

36．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）∠PCD＝∠PDC吗？为什么？
（2）OP是CD的垂直平分线吗？为什么？

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠PCD＝∠PDC．
理由：∵OP是∠AOB的平分线，
且PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC；

（2）OP是CD的垂直平分线．
理由：∵∠OCP＝∠ODP＝90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
∵，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD，
由PC＝PD，OC＝OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，
从而OP是线段CD的垂直平分线．
37．已知△ABC中∠BAC＝120°，BC＝26，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与ABAC分别交于点D、G．
求：（1）∠EAF的度数．（2）求△AEF的周长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F
∴AE＝BE、CF＝AF，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠FAC
∴（∠B+∠C）＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣120°
＝60°
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAB﹣∠FAC
＝120°﹣（∠B+∠C）
＝120°﹣60°
＝60°
∴∠EAF＝60°

（2）∵AE＝BE、CF＝AF
∴△AEF的周长＝EA+EF+AF
＝BE+EF+FC
＝BC
＝26
∴△AEF的周长＝26
38．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝30°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）60°；
（2）见解析．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF＝30°，
∴∠FDC＝90°﹣30°＝60°；
（2）∠AED＝2∠B，
理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，
∴∠AED＝2∠B．
39．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE＝BF．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AC，
∴CE＝BF．
40．如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D．
（1）若AB＝3，AC＝8，求△ABD的周长．
（2）若△ABD的周长为13，△ABC的周长为20，求BC的长．

【答案】（1）11；
（2）7．
【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC＝11；
（2）∵△ABC的周长为20，
∴AB+BC+AC＝20，
∵△ABD的周长＝13，
∴AB+AC＝13，
∴BC＝20﹣13＝7．
41．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长14cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝8cm，
即2DE+2EC＝8cm，
∴DE+EC＝DC＝4cm．
42．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；

（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．