第03讲 全等三角形的综合应用（知识解读+真题演练+课后巩固)-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第03讲  全等三角形的综合应用

1．掌握判定两个三角形全等的四种方法，并能应用它们解决简单问题；

2．学会用全等的方法证明线段、角、面积相等；

3．在探索利用三角形全等解决问题的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理；

4．经历利用三角形全等解决问题的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程情感与态度鼓励学生敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣

知识点1：全等三角形的性质

对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

   (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

   (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

   (3)有公共边的，公共边常是对应边．

   (4)有公共角的，公共角常是对应角．

   (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

   (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

知识点2：全等三角形的判定方法

(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

知识点3：全等三角形的应用

运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

【题型1  利用三角形全等测量能到两端的距离】

【典例1】（2022秋•防城港期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，此时测得MB的长就是A，B两点间的距离，那么判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）

A．ASA B．SAS C．SSS D．HL

【变式1-1】（2022秋•新昌县期末）为了测出池塘两端A，B 的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA＝OC，OB＝OD，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道AB，小红是根据△OAB≌△OCD来判断AB＝DC的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【变式1-2】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△ADC的理由是（　　）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS

【变式1-3】（2022春•深圳期末）如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS

【题型2   利用三角形全等求两端的距离】

【典例2】（2022秋•泗水县期末）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　）

A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm

【变式2】（2022秋•亳州期末）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E处的俯角为α，小华站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为β，发现α与β互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米．

（1）求证：AF＝CE；

（2）求单元楼AB的高．

【题型3  利用三角形全等测量物体的内径】

【典例3】（2022秋•潍坊期末）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边

【变式3-1】（2022秋•泰山区校级月考）如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（　　）

A．AO＝CO B．BO＝DO 

C．AC＝BD D．AO＝CO且BO＝DO

【变式3-2】（2022秋•北京期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB≌△COD的依据是 　　．

【题型4利用三角形全等解决工程中的问题】

【典例4】（2022秋•如皋市校级期末）一块三角形玻璃不小心摔坏了，带上如图所示的玻璃碎片就能让玻璃店的师傅重新配一块与原来相同的三角形玻璃的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA

【变式4-1】（2022秋•曲靖期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【变式4-2】（2023•惠阳区校级开学）如图所示，小语同学为了测量一幢楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得PC与地面夹角∠DPC＝38°，测得PA与地面夹角∠APB＝52°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度都是9m，量得旗杆与楼之间的距离DB＝36m，则楼高AB＝（　　）

A．36m B．27m C．25m D．18m

【变式4-3】（2021秋•孟村县期末）如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1km，DC＝1km，村庄A和C，A和D间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3km，只有A和B之间由于间隔了一个小湖，无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座桥，测得AE＝1.2km，BF＝0.7km，则建造的桥长至少为（　　）

A．1.2km B．1.1km C．1km D．0.7km

【题型5  利用三角形全等解决面积问题】

【典例5】（2022秋•仙居县期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形ABCD），测量得：AD＝CD＝50cm，AB＝BC＝78cm，AC＝60cm，BD＝112cm，则此风筝的大小为（即四边形ABCD的面积） 　　cm2．

【变式5】（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．

（1）求证：△ABC≌△CDA；

（2）求草坪造型的面积．

1．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）

A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC

2．（2021•攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③

3．（2022•太原一模）“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，△ABC的周长为24cm，FC＝3cm．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（　　）

A．44cm B．45cm C．46cm D．48cm

4．（2022•东莞市校级一模）一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）

A．带其中的任意两块去都可以 

B．带1、4或2、3去就可以了 

C．带1、4或3、4去就可以了 

D．带1、2或2、4去就可以了

5．（2022•环江县模拟）如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长．其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

6．（2022•岳麓区校级模拟）如图，在测量一个小口圆形容器的壁厚时，李师傅用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中O是AD、CB的中点，由三角形全等的知识可知只要测量A、B的距离，即得C、D的距离，便能计算出圆形容器的壁厚．请问李师傅得到△AOB≌△COD的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．ASA D．HL

7．（2022•望花区模拟）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　　cm．

8．（2021•柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．

证明：在△DEC和△ABC中，

，

∴△DEC≌△ABC（SAS），

∴　　．

9．（2021•前郭县模拟）如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由．

1．（2022秋•常德期末）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　）

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS

2．（2022秋•大安市期末）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

3．（2022秋•金东区期末）如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带到玻璃店（　　）

A．① B．② 

C．③ D．①、②、③其中任一块

4．（2022秋•屯留区期末）2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．HL D．SSS

5．（2022秋•枣阳市期末）如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离时，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C．连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．可证明△EDC≌△BAC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△BAC的依据是（　　）

A．“边边边” B．“角边角” C．“角角边” D．“边角边”

6．（2021秋•临海市期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（　　）

A．HL B．ASA C．AAS D．SSS

7．（2021秋•孝昌县期末）下列选项中，不是依据三角形全等知识解决问题的是（　　）

A．利用尺规作图，作一个角等于已知角 

B．工人师傅用角尺平分任意角 

C．利用卡钳测量内槽的宽 

D．用放大镜观察蚂蚁的触角

8．（2022秋•杭州期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度相等，滑梯的高度BC＝6m，BE＝2m．则滑道AC的长度为 　　m．

9．（2022秋•上城区校级期中）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 　　．

10．（2022秋•万州区期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝15cm，AD＝2cm．

（1）试说明OE＝BD；

（2）求DE的长．

11．（2022秋•开封期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得哪条线段的长就是A、B两点的距离，请说明理由．

12．（2022秋•嘉峪关期末）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．

（1）求证：△ABP≌△PEF；

（2）求BE的长．

13．（2022秋•思明区期末）卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条AB，CD的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明．

已知：　．

求证：　　．

证明：　

　．

14．（2023•桑植县校级开学）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．

15．（2022春•榆林期中）1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸点Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他保持原来的观察姿态，一步一步后退，一直退到点B处，发现自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立的位置B点与O点之间的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．（注：AB⊥BQ，PO⊥BO，AB＝PO，点B、O、Q在一条直线上）