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【全套精品专题】通用版八年级上数学学案 等腰三角形（知识梳理+同步练习无答案）
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这是一份【全套精品专题】通用版八年级上数学学案 等腰三角形（知识梳理+同步练习无答案），共18页。
第二讲 等腰三角形
研真题 知考向
1.课程目标要求
授课内容
目标层级
1.等腰三角形的概念
理解
2.等腰三角形的判定与性质
理解并掌握
3.等边三角形的性质
理解并掌握
4.等边三角形的判定
掌握
5.含30°角的直角三角形
理解并掌握
2.实时考向
等腰三角形的两个性质是考试的难点与重点，需要重点掌握。等边三角形的性质是考试的常考点，等边三角形的判定一般出现在解答题中。
解重点 固根基
基
【知识点一】等腰三角形的定义
1.有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
2.等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.
题型一 分类讨论等腰三角形的存在性
例1.用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．
（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？
（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．
例2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.
变式1.（2018年星沙中学八上第一次月考）若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 以上都不对
变式2.已知△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为16，其中一条边长为4，则另外两边的长为（ ）
A．4，4
B．6，6
C．4，8
D．6，6或4，8
变式3.（2018年星沙中学八上第一次月考）已知等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
例3.【阅读】在等腰三角形ABC中，若∠A＝80°，求∠B的度数．
点点同学在思考时是这样分析的：∠A，∠B都可能是顶角或底角，因此需要进行分类．他认为画“树状图”可以帮我们不重复，不遗漏地分类（如图1），据此可求出∠B的度数．
【解答】由以上思路，可得∠B的度数为_________________；
【应用】将一个边长为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法．请你利用备用图画出三种可能的情形，使得拼成的等腰三角形腰长为13．
例4.用一根长度为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？
（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于4cm，请简单说明原因．
（3）若所围成的等腰三角形的腰长为，请求出的取值范围．
变式1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（ ）
A．40°
B．70°
C．40°或140°
D．70°或20°
变式2.（2019年师大附中八上第一次月考）如果等腰三角形的一个底角为，那么（ ）
A．不大于
B.
C.不大于
D．
变式3.（2019年郡维八上第一次月考）如图，中，，的垂直平分线交于点，垂足是，若的周长是7，，求和的长.
变式4、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝_____°，∠DEC＝_____°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【知识点二】等腰三角形的性质与判定
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，下列三个条件：
①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,
任意满足一个，可得到另外两个.
即①②，③；②①，③；③①，②.
2.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴．
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
4. “平行+角分线” 模型
如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD；
③AB=AC（△ABC是等腰三角形）
上述条件任意两个成立则第三个也成立.
即①②③；①③②；②③①.
题型二 等腰三角形性质与判定的运用
例5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.
例6.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.
变式1、（2019年西雅、雅实、雅洋八上第一次联考）下列判断错误的是( )
A．等腰三角形是轴对称图形 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形
C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
变式2.（2019年北雅第一次月考变式）如图，在中，，两点在上，是的平分线，，若，，则的周长是（ ）
A.
B.
C.
D.
变式3.如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式4.在平面直角坐标系xOy内，已知点P（﹣2，2），Q是y轴上一点，则使△OPQ为等腰三角形的点Q的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
图1 图2
变式5.如图2，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为_______．
变式6.（2019年北雅八上第一次月考）已知：中，, ，为边的中点, 分别是上的点，且,求证：为等腰直角三角形.
例7.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．
例8.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．
变式1.（2019年北雅八上第一次月考）如图3，等腰三角形的底边长为4,面积是16,腰的垂互平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A.6
B.8
C.10
D.12
变式2.如图4，在中，与的角平分线相交于点，过点作的平行线，分别交、于点、．若，，，则的周长是（ ）
A．14 B．15 C．17 D．23
图3 图4
变式3.如图，已知，，平分，平分，．求证：．
变式5.如图，在三角形中，，，分别是，，上的点，且．
（1）若，试判断与是否垂直，并说明理由；
（2）若平分，，求的度数．
【知识点三】等边三角形的性质
1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；
2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.
题型三 等边三角形性质的运用
例9.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为_________．
例10.如图5，在等边△ABC中，BD＝2DC，DE⊥BE，CE，AD相交于点P，则（ ）
A．AP＞AE＞EP B．AE＞AP＞EP C．AP＞EP＞AE D．EP＞AE＞AP
图5 图6 图7 图8
变式1.（2019年雅境八上第一次月考）如图6，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是 ．
变式2.（2019年雅实、西雅八上第一次联考）如图7，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且，则的度数为( )
A. B． C． D．无法确定
变式3.如图8，直线，将等边三角形如图放置若，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式4.（2018年长梅八上第一次月考）如图9，是等边三角形，平分，点在的延长线上，且，，则 ；
图9 图10
变式5.如图10，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，，，则________度．
例11.如图，等边三角形中，为上一点，为延长线上一点，交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，试求的长．
变式1.已知，为等边三角形，点为上的一个动点，点为延长线上一点，且．
（1）如图1，若点在边上，猜想线段与之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点在的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
变式2.在等边中，点是上的动点，点与点、不重合，点在的延长线上，且．
（1）如图1，若点是的中点，求证：；
（2）如图2，若点不是的中点时，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与数量关系，若成立，请给予证明．
【知识点四】等边三角形的判定
1.三条边都相等的三角形是等边三角形；
2.三个角都相等的三角形是等边三角形；
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
题型四 等边三角形的判定
例12.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
变式1.（2019年北雅第一次月考）下面几种三角形：①有两个角为的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的是（ ）
A.4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
例13.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．
变式1.如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
【知识点五】 含30°角的直角三角形
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
题型五 含30°角的直角三角形
例14.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
变式1.如图11，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.如图12，中，，，，点是边上的动点，则的长可能是（ ）
A．5 B．6.2 C．7.8 D．8
图11 图12 图13 图14
变式3.如图13，在中，，，的垂直平分线交于点，并交于点，若，则的长为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
变式4.（2019年湘一芙蓉二中第一次月考）如图,在中,，为中点，于，求线段的长度。
例15.如图14，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记，第2个等边三角形的长记为，以此类推，若OA1=3，则_________，__________.
变式1.如图5，在中，平分交于点，过作交于点，若刚好平分，且，则_________．
变式2.如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
（1）求证：；
（2）连接，请判断的形状，并说明理由．
勤练习 促掌握
1.（2018年长梅八上第一次月考）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2018年长梅八上第一次月考）已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为（ ）
A.
B.
C.
D. 或
3.(2019年一中双语八上第一次月考）下列能判定为等腰三角形的是（ ）
A. 、
B. 、
C. ，
D. ，周长为13
4.（2019年北雅八上第一次月考）如图1，已知为的高线，,以为底边作等腰,连接，.延长交于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A. ①③
B. ①②④
C. ①②③④
D. ②③④
图1 图2 图3
5.（2019年北雅八上第一次月考）如图2，已知为等边三角形，点分别在边上，且,与相交于点.则的度数为 .
6.（2019年青一变式第一次月考）如图3，已知△是等边三角形，点是上任意一点，、分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则的值为 .
7.（2019年北雅八上第一次月考）等腰三角形一腰上的高与腰之比1:2,则等腰三角形顶角的度数为 .
8.如图4，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD=_________．
图4 图5 图6
9.如图5所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF=___________．
10.如图6，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，∠EDC的度数为 ．
11.已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
12.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．
13.（2019年雅境八上第一次月考）在中，，，，且．
（1）如图1，，，垂足分别为点，，求证：
（2）如图2，如果，且两边分别交边，于点，，那么线段，，之间有怎样的数量关系？并给出证明．
14.（2019年北雅八上第一次月考）如图，点O是等边△ABC内一点, ∠AOB=110°， ∠AOB=.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
（1）试说明: △OCD是等边三角形；
（2）当时．试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？
第二讲 等腰三角形
研真题 知考向
1.课程目标要求
授课内容
目标层级
1.等腰三角形的概念
理解
2.等腰三角形的判定与性质
理解并掌握
3.等边三角形的性质
理解并掌握
4.等边三角形的判定
掌握
5.含30°角的直角三角形
理解并掌握
2.实时考向
等腰三角形的两个性质是考试的难点与重点，需要重点掌握。等边三角形的性质是考试的常考点，等边三角形的判定一般出现在解答题中。
解重点 固根基
基
【知识点一】等腰三角形的定义
1.有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
2.等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.
题型一 分类讨论等腰三角形的存在性
例1.用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．
（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？
（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．
例2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.
变式1.（2018年星沙中学八上第一次月考）若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 以上都不对
变式2.已知△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为16，其中一条边长为4，则另外两边的长为（ ）
A．4，4
B．6，6
C．4，8
D．6，6或4，8
变式3.（2018年星沙中学八上第一次月考）已知等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
例3.【阅读】在等腰三角形ABC中，若∠A＝80°，求∠B的度数．
点点同学在思考时是这样分析的：∠A，∠B都可能是顶角或底角，因此需要进行分类．他认为画“树状图”可以帮我们不重复，不遗漏地分类（如图1），据此可求出∠B的度数．
【解答】由以上思路，可得∠B的度数为_________________；
【应用】将一个边长为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法．请你利用备用图画出三种可能的情形，使得拼成的等腰三角形腰长为13．
例4.用一根长度为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？
（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于4cm，请简单说明原因．
（3）若所围成的等腰三角形的腰长为，请求出的取值范围．
变式1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（ ）
A．40°
B．70°
C．40°或140°
D．70°或20°
变式2.（2019年师大附中八上第一次月考）如果等腰三角形的一个底角为，那么（ ）
A．不大于
B.
C.不大于
D．
变式3.（2019年郡维八上第一次月考）如图，中，，的垂直平分线交于点，垂足是，若的周长是7，，求和的长.
变式4、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝_____°，∠DEC＝_____°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【知识点二】等腰三角形的性质与判定
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，下列三个条件：
①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,
任意满足一个，可得到另外两个.
即①②，③；②①，③；③①，②.
2.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴．
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
4. “平行+角分线” 模型
如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD；
③AB=AC（△ABC是等腰三角形）
上述条件任意两个成立则第三个也成立.
即①②③；①③②；②③①.
题型二 等腰三角形性质与判定的运用
例5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.
例6.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.
变式1、（2019年西雅、雅实、雅洋八上第一次联考）下列判断错误的是( )
A．等腰三角形是轴对称图形 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形
C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
变式2.（2019年北雅第一次月考变式）如图，在中，，两点在上，是的平分线，，若，，则的周长是（ ）
A.
B.
C.
D.
变式3.如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式4.在平面直角坐标系xOy内，已知点P（﹣2，2），Q是y轴上一点，则使△OPQ为等腰三角形的点Q的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
图1 图2
变式5.如图2，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为_______．
变式6.（2019年北雅八上第一次月考）已知：中，, ，为边的中点, 分别是上的点，且,求证：为等腰直角三角形.
例7.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．
例8.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．
变式1.（2019年北雅八上第一次月考）如图3，等腰三角形的底边长为4,面积是16,腰的垂互平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A.6
B.8
C.10
D.12
变式2.如图4，在中，与的角平分线相交于点，过点作的平行线，分别交、于点、．若，，，则的周长是（ ）
A．14 B．15 C．17 D．23
图3 图4
变式3.如图，已知，，平分，平分，．求证：．
变式5.如图，在三角形中，，，分别是，，上的点，且．
（1）若，试判断与是否垂直，并说明理由；
（2）若平分，，求的度数．
【知识点三】等边三角形的性质
1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；
2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.
题型三 等边三角形性质的运用
例9.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为_________．
例10.如图5，在等边△ABC中，BD＝2DC，DE⊥BE，CE，AD相交于点P，则（ ）
A．AP＞AE＞EP B．AE＞AP＞EP C．AP＞EP＞AE D．EP＞AE＞AP
图5 图6 图7 图8
变式1.（2019年雅境八上第一次月考）如图6，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是 ．
变式2.（2019年雅实、西雅八上第一次联考）如图7，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且，则的度数为( )
A. B． C． D．无法确定
变式3.如图8，直线，将等边三角形如图放置若，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式4.（2018年长梅八上第一次月考）如图9，是等边三角形，平分，点在的延长线上，且，，则 ；
图9 图10
变式5.如图10，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，，，则________度．
例11.如图，等边三角形中，为上一点，为延长线上一点，交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，试求的长．
变式1.已知，为等边三角形，点为上的一个动点，点为延长线上一点，且．
（1）如图1，若点在边上，猜想线段与之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点在的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
变式2.在等边中，点是上的动点，点与点、不重合，点在的延长线上，且．
（1）如图1，若点是的中点，求证：；
（2）如图2，若点不是的中点时，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与数量关系，若成立，请给予证明．
【知识点四】等边三角形的判定
1.三条边都相等的三角形是等边三角形；
2.三个角都相等的三角形是等边三角形；
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
题型四 等边三角形的判定
例12.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
变式1.（2019年北雅第一次月考）下面几种三角形：①有两个角为的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的是（ ）
A.4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
例13.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．
变式1.如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
【知识点五】 含30°角的直角三角形
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
题型五 含30°角的直角三角形
例14.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
变式1.如图11，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.如图12，中，，，，点是边上的动点，则的长可能是（ ）
A．5 B．6.2 C．7.8 D．8
图11 图12 图13 图14
变式3.如图13，在中，，，的垂直平分线交于点，并交于点，若，则的长为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
变式4.（2019年湘一芙蓉二中第一次月考）如图,在中,，为中点，于，求线段的长度。
例15.如图14，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记，第2个等边三角形的长记为，以此类推，若OA1=3，则_________，__________.
变式1.如图5，在中，平分交于点，过作交于点，若刚好平分，且，则_________．
变式2.如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
（1）求证：；
（2）连接，请判断的形状，并说明理由．
勤练习 促掌握
1.（2018年长梅八上第一次月考）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2018年长梅八上第一次月考）已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为（ ）
A.
B.
C.
D. 或
3.(2019年一中双语八上第一次月考）下列能判定为等腰三角形的是（ ）
A. 、
B. 、
C. ，
D. ，周长为13
4.（2019年北雅八上第一次月考）如图1，已知为的高线，,以为底边作等腰,连接，.延长交于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A. ①③
B. ①②④
C. ①②③④
D. ②③④
图1 图2 图3
5.（2019年北雅八上第一次月考）如图2，已知为等边三角形，点分别在边上，且,与相交于点.则的度数为 .
6.（2019年青一变式第一次月考）如图3，已知△是等边三角形，点是上任意一点，、分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则的值为 .
7.（2019年北雅八上第一次月考）等腰三角形一腰上的高与腰之比1:2,则等腰三角形顶角的度数为 .
8.如图4，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD=_________．
图4 图5 图6
9.如图5所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF=___________．
10.如图6，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，∠EDC的度数为 ．
11.已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
12.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．
13.（2019年雅境八上第一次月考）在中，，，，且．
（1）如图1，，，垂足分别为点，，求证：
（2）如图2，如果，且两边分别交边，于点，，那么线段，，之间有怎样的数量关系？并给出证明．
14.（2019年北雅八上第一次月考）如图，点O是等边△ABC内一点, ∠AOB=110°， ∠AOB=.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
（1）试说明: △OCD是等边三角形；
（2）当时．试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？
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