初中数学北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程第1课时教学设计及反思

教学目标

1.根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程.

2.理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.

3.把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式，体会转化的数学思想.

教学重难点

重点：利用配方法解一元二次方程.

难点：把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式.

教学过程

导入新课

试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.

(1)＝4;           (2)＝0;            (3)+1＝0.

解:根据平方根的意义，得（1）＝2,＝-2 ;（2）＝0 ;

（3）＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.

探究新知

思考：如果我们把＝4，＝0，+1＝0变形为＝p，各方程的解会是什么情形？

老师总结：一般地，对于方程＝p：

（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程＝p有两个不相等的实数根

， ；

（2）当p＝0 时，根据平方根的意义，方程＝p有两个相等的实数根＝0；

（3）当p<0 时，因为对任何实数x，都有≥0，所以方程＝p无实数根.

例1：利用直接开平方法解下列方程:

（1）;  (2)-900＝0;  (3)＝7; (4)2-18＝0.

解：(1) 直接开平方，得x＝±5,即＝5，＝-5.

（2）-900＝0，移项，得＝900，直接开平方，得x＝±30，

即＝30，＝-30.

（3）＝7，直接开平方，得x+2＝±，即＝-2+，＝-2-.

（4）2-18＝0，移项，得2＝18，则＝9，直接开平方，得1-3x＝±3, 即1-3x＝3或1-3x＝ -3，解得，.

注意：（1）采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2＝p或（mx＋n）2＝ p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根为x＝± 或mx＋n＝±.

（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正”“负”两种情况.  

做一做：填上适当的数，使下列等式成立.

（1）x2＋12x＋36＝(x＋6)2      (x＋6)2＝+12x＋36；

（2）x2―4x＋4＝(x―2)2        (x―2)2＝ x2―4x＋4；

（3）x2＋8x＋16＝(x＋4)2       (x＋4)2＝x2＋8x＋16；

（4）a2+2ab+b2＝( a+b )2          (a+b)2＝ a2+2ab+b2；

（5）a2-2ab+b2＝( a-b )2        (a-b)2＝ a2-2ab+b2.

问题：上面左侧等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？

老师总结：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.

对于形如 x2+ax+的式子如何配成完全平方式？

老师总结：.

将不是平方形式的方程，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

例2：用配方法解方程：x2＋8x―9＝0.

分析：先把它变成（x+m)2＝n的形式再用直接开平方法求解.

解：移项，得x2＋8x＝9.两边同时加上一次项系数8的一半的平方,得x2＋8x+＝9+，即（x+4)2＝25.两边开平方，得x+4＝±5，即x+4＝5或x+4＝-5，所以.

用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

(1)移 —— 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项.

(2)配 —— 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式.

(3)开 —— 如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x＋m＝±；当n<0时，原方程无解.

(4)解 —— 方程的解为x＝－m±.

即

用配方法解方程的基本思路:把方程化为（x+n)2＝p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解.

问题解决：

上节课梯子底部滑动问题：x2+12x-15＝0.（让学生仿照例2，独立解决）

解：x2+12x－15＝0，移项，得x2+12x＝15.两边同时加上一次项系数12的一半的平方，得x2+12x+＝15+，即(x+6)2＝51.两边开平方，得x+6＝±.所以x1＝―6，x2＝――6(不合实际).

注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性.

课堂练习

1.一元二次方程x2-16＝0的根是(　　)

A.x＝2　　　    B.x＝4　　　　C.x1＝2,x2＝2　　　　D.x1＝4,x2＝-4

2.一元二次方程x2-6x-6＝0配方后为　(　　)

A.(x-3)2＝15　　B.(x-3)2＝3　　C.(x+3)2＝15　   　D.(x+3)2＝3

3.用配方法解方程x2-3x-3＝0时，配方结果正确的是(  ) 

A.  B.  C.   D.

4.若一元二次方程配方后为，则b，k的值分别为（   ）           

A. 6，13    B.6，4     C.-6，4         D.-6，13

5.用配方法解方程:

(1)x2-2x＝4;              (2)x2+4x-1＝0.

参考答案

1.D 2.A 3.D 4.C

5.解：(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1＝5,即(x-1)2＝5，

所以x-1＝±,

所以原方程的解是x1＝1+，＝1-.

(2)移项，得x2+4x＝1.

配方,得x2+4x+4＝1+4，

即(x+2)2＝5.开方，得 x+2＝±.

所以x1＝-2+,x2＝-2-.

课堂小结

 1. 配方法：.

 2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

布置作业

课本习题2.3   知识技能　1    问题解决  2，3

板书设计

2　用配方法求解一元二次方程

第1课时　用配方法求解简单的一元二次方程

1.配方法：

.

2. 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

.

教学反思

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