初中数学北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程优秀ppt课件

课题名

2.2.2用配方法求解复杂一元二次方程

教学目标

1.进一步掌握配方法解一元二次方程的步骤，并能灵活解答．

2．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.

3.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，会用化归思想总结用配方法解一元二次方程的基本步骤.

教学重点

用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程.

教学难点

灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程.

教学准备

教师准备：熟悉教材和课件.

学生准备：复习完全平方公式和配方法.

教学过程

一、复习

问题1：用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤是什么？

步骤：

（1）将常数项移到方程的右边,使方程的左边只含二次项和一次项;

（2）两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）直接用开平方法求出它的解.

二、探究新知

问题2：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：

 ①  x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +18x +24 = 0.

问题3：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .

解：移项，得 x2 + 6x = -8 ,

   配方，得（x + 3）2 = 1.

  开平方, 得 x + 3 = ±1.

  解得x1 = -2 ,  x2= -4.

解方程： 3x2 +18x +24 = 0.

解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 .

        移项，得x2 + 6x = -8 ,

  配方, 得（x + 3）2 = 1.

  开平方, 得 x + 3 = ±1.

  解得x1 = -2 ,  x2= -4  .

利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤是什么？

用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程一般步骤大致概括如下：

(1)化二次项系数为1；

(2)配方，使原方程变为(x＋m)2－n＝0的形式；

(3)移项，使方程变为(x＋m)2＝n的形式．

(4)用直接开平方法解方程.

三、例题讲解

例2 ：解方程：3x2＋8x－3＝0.

解：两边同除以3，得x2＋x－1＝0.

配方，得配方，得x2＋x＋()2－()2－1＝0，

即(x＋)2－＝0.

移项，得(x＋)2＝.

两边开平方，得x＋＝±，

即x＋＝或x＋＝－.所以x1＝，x2＝－3.

问题4：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？

移项时需注意改变符号.

问题5：用配方法解一元二次方程的一般步骤.

①移项，二次项系数化为1；

②左边配成完全平方式；

③左边写成完全平方形式；

④降次；

⑤解一次方程.

归纳总结

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.

①当p>0时,则 x+n= ±√p 方程的两个根为

          x1=-n+√p ,x2=-n-√p

②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 

               x1=x2=-n.

③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.

做一做：一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h=15t - 5t2.

小球何时能达到10m高？

解：将 h = 10代入方程式中，得15t - 5t2 =10

两边同时除以-5，得 t2 - 3t = -2

配方，得

两边开平方，得

解得 t1=  2 ,  t2 =  1 .

所以在1s或2s时，小球可达10m高.

例3：试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值恒大于零.

解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1

=（k－2）2＋1

因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.

所以k2－4k＋5的值恒大于零.

四、过关练习

1.补全解方程2x2－4x－6＝0的过程．

移项，得____________________，

二次项系数化为1，得____________________，

配方，得____________________，

整理，得____________________，

开平方，得____________________，

解得x1＝________，x2＝________．

答案2x2－4x＝6  x2－2x＝3   x2－2x＋12＝3＋12

(x－1)2＝4   x－1＝±2    3   -1

2. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（      ）

   A. 1      B.1     C.1或2   D.1或-2

答案C

3.应用配方法求最值.

(1) 2x2 - 4x+5的最小值；  (2) -3x2 + 5x +1的最大值.

解：原式 = 2(x - 1)2 +3            

当x =1时有最小值3

解：原式= -3(x - 2)2 - 4   

当x =2时有最大值-4

4.读诗词解题：通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）

      大江东去浪淘尽，

      千古风流数人物。

      而立之年督东吴，

      早逝英年两位数。

      十位恰小个位三，

      个位平方与寿符。

      哪位学子算得快，

      多少年华属周瑜？

解：设个位数字为x，十位数字为(x-3)

x2=10(x-3)+x

解得：x1=6,   x2=5.

∴这个两位数为36或25，

∵周瑜30岁在东吴当都督，

∴周瑜去世的年龄为36岁.

五、课堂总结

本节课你学到了什么？

解一元二次方程：

1. 直接开平方法解形如（x + m）2 = n (n≥0)的方程
2. 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.

布置作业

教材第40页习题2.4第1、2题.

板书设计

2.2.2　用配方法求解复杂一元二次方程

用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：

(1)化二次项系数为1；

(2)配方，使原方程变为(x＋m)2－n＝0的形式；

(3)移项，使方程变为(x＋m)2＝n的形式；

(4)用直接开平方法解方程．

教学反思

基础较好的学生对于基础性的计算比较快，与此同时，班级中的有几名学生对于数据计算有懒惰的思想，速度慢，时间长，如果不能及时解决，这部分学生将落队，或者整节课堂冗长无味，因此如何调控教学进度成为教学中的一个难点。我的办法是老师准备好几个不同层次的习题，当大部分学生做完后，可以为他们提供更高层次的习题，继续引领他们的思维前进，而加强对基础薄弱的同学动手动脑的监督。