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初中数学人教版八年级下册20.2 数据的波动程度优秀同步达标检测题
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这是一份初中数学人教版八年级下册20.2 数据的波动程度优秀同步达标检测题，文件包含202-203数据的波动程度与课题学习原卷版docx、202-203数据的波动程度与课题学习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
20.2-20.3 数据的波动程度与课题学习
1. 了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．
2. 从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.
知识点01：极差、方差和标准差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值.
要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：
要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：
；标准差的数量单位与原数据一致.
知识点02：极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
知识点03：用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
精讲精练
【典例分析01】（2023•龙泉驿区模拟）在一次体育考试中，六名男生引体向上的成绩如表，对于这组数据，下列说法不正确的是（ ）
成绩（个次）
10
11
13
17
23
人数
2
1
1
1
1
A．极差是13 B．众数是10 C．中位数是15 D．平均数是14
【思路引导】分别计算该组数据的众数、平均数、极差及中位数后找到正确答案即可．
【规范解答】解：极差为23﹣10＝13，平均数＝＝14，众数是10，中位数是＝12，
故选：C．
【考点剖析】本题考查了极差、平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
【变式训练01】（2022•新吴区二模）受疫情影响，某地无法按原计划正常开学，在延迟开学期间该地区组织了在线教学活动．开学后，某校针对各班在线教学的个性化落实情况，通过初评决定从甲、乙、丙三个班中推荐一个作为在线教学先进班级，下表是这三个班的五项指标的考评得分表（单位：分）：
班级
课程设置
课程质量
在线答疑
作业情况
学生满意度
甲班
10
10
6
10
7
乙班
10
8
8
9
8
丙班
9
10
8
7
9
根据统计表中的信息解答下列问题：
（1）①请确定如下的“五项指标的考评得分分析表”中的a、b、c的值；
班级
平均分
众数
中位数
甲班
8.6
10
a
乙班
8.6
b
8
丙班
c
9
9
②甲、乙、丙三个班在线教学活动“学生满意度”考评度考评得分的极差为 2 分．
（2）如果学校把“课程设置”、“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“学生满意度”这五项指标得分按照2：2：3：1：2的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？
【思路引导】（1）根据中位数、众数、平均数的概念解答即可；
（2）根据极差的概念解答即可；
（3）根据加权平均数的计算公式求解即可．
【规范解答】解：（1）①按照从小到大的顺序排列为6，7，10，10，10，中位数a＝10，
8出现的次数最多，众数b＝8，
平均数c＝（9+10+8+7+9）÷5＝8.6；
②甲、乙、丙三个班在线教学活动“学生满意度”考评度考评得分的极差为9﹣7＝2（分）；
（2）甲：10×20%+10×20%+6×30%+10×10%+7×20%＝8.2（分）；
乙：10×20%+8×20%+8×30%+9×10%+8×20%＝8.5（分）；
丙：9×20%+10×20%+8×30%+7×10%+9×20%＝8.7（分）．
故推荐丙班级为网上教学先进班级．
故答案为：2．
【考点剖析】本题考查极差、平均数、众数和中位数，平均数表示一组数据的平均程度．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
【变式训练02】（2021春•长寿区期末）某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行统计调查，并绘制了统计表及统计图，如图所示：
（1）这50名学生每人一周内的零花钱数额的平均数是 12 元/人；众数是 15 元；中位数是 12.5 元，学生每人一周内的零花钱数额的极差为 15 ．
（2）据统计该校的1800人中，每人每周的零花钱有75%在学校超市消费，试估计该校学生每周在学校超市消费的零花钱总金额为多少元？
【思路引导】（1）根据加权平均数的计算公式计算可得，再利用中位数、极差以及众数的定义分别得出答案；
（2）用平均数乘以总人数，再乘以75%即可得．
【规范解答】解：（1）平均数是×（5×10+10×15+15×20+20×5）＝12（元），
众数是：15元，中位数是：第25，26个数据的平均数为：12.5元，
学生每人一周内的零花钱数额的极差为：20﹣5＝15（元）；
故答案为：12；15，12.5，15
（2）1800×12×75%＝16200（元），
答：估计该校学生每周在学校超市消费的零花钱总金额为16200元．
【考点剖析】此题考查了条形统计图以及用样本估计总体，正确理解相关概念是解本题的关键．
【变式训练03】（2023•宜阳县二模）菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项．每四年颁发一次，颁发给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖．得奖者须在该年元旦前未满四十岁．它是根据加拿大数学家约翰•查尔斯•菲尔兹的要求设立的，被视为数学界的诺贝尔奖．从1936年至2022年，共有64位数学家获得菲尔兹奖，其中有两位华人（丘成桐、陶哲轩）．
下列数据是截止2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38
36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36
33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37
35 39 37 37 39 34 31 37 39 35 37 38
（1）上面这64个数据的中位数是 36.5 ，众数是 37 ；
（2）菲尔兹奖得主获奖时年龄的极差是 12 ；
（3）求这组数据的平均数．
【思路引导】（1）将这组数据从小到大排列后取最中间两位数的平均数即可求得中位数，找到出现次数最多那个数就是众数；
（2）利用极差的定义求得最大值与最小值的差即可；
（3）利用求平均数公式求得平均值即可．
【规范解答】解：（1）∵将这组数据从小到大排列后处于最中间的两个数分别是36，37，
∴中位数＝，
∵37出现次数最多，
∴众数是37，
故答案为：36.5，37；
（2）极差＝40﹣28＝12，
故答案为：12；
（3）≈35.6．
【考点剖析】本题考查了中位数，众数，极差及平均数等知识点，熟练掌握其知识点是解决此题的关键．
【典例分析02】（2023•北仑区二模）学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
96
98
95
98
方差
2
0.4
0.4
1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【思路引导】先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
【规范解答】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
∴应从乙和丁同学中选，
∵乙同学的方差比丁同学的小，
∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．
故选：B．
【考点剖析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【变式训练04】（2023•建邺区一模）在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是20，20，30，40，40（单位：元），后来每人都追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【思路引导】根据方差的意义求解即可．
【规范解答】解：根据题意知，后来每人都追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，平均数、中位数均增加了10，众数改变为30和50，
而数据的波动幅度不变，即方差不变，
故选：D．
【考点剖析】本题主要考查方差、平均数、众数和中位数，解题的关键是掌握方差的意义．
【变式训练05】（2023•开州区模拟）已知第一组数据：3、3、3、3的方差为；第二组数据：2、4、6、8的方差为；第三组数据：11、12、13、14的方差为；则、、的大小关系为 ．（用“＞”连接）
【思路引导】由题目所给数据先计算出各组平均数，再计算出、和，最后比较即可．
【规范解答】解：第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点剖析】本题考查求平均数，求方差，掌握求平均数和求方差的公式是解题关键．
【变式训练06】（2023春•鄞州区期中）争创全国文明城市——从我做起．某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七八年级学生进行文明礼仪知识测试，两个年级均有300名学生，从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，满分100分，整理分析如下：
七年级：99，98，98，98，95，93，91，90，89，79；
八年级：99，99，99，91，96，90，93，87，91，85．
整理分析上面的数据，得到如下表格：
年级/统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93
94
a
33.7
八年级
93
b
99
23.4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝ 98 ，b＝ 92 ；
（2）根据统计结果， 八 年级的成绩更整齐；
（3）七年级小齐同学和八年级小钟同学成绩均为93分，根据上面统计情况估计 小钟 同学的成绩在本年级的排名更靠前；
（4）如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是 平均数 ；
（5）若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有多少人？
【思路引导】（1）利用众数和中位数的意义可得a与b的值；
（2）比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案；
（3）利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可；
（4）根据平均数的定义可得到平均数比原来少1分，根据众数和中位数的定义可判断都不变；
（5）用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可．
【规范解答】解：（1）七年级的众数为a＝98，
八年级成绩按由小到大排列为：85，87，90，91，91，93，96，99，99，99，
所以八年级的成绩的中位数为b＝＝92；
故答案为：98，92；
（2）因为33.7＞23.4，即八年级的方差比七年级的方差小，
所以八年级的成绩更整齐；
故答案为：八；
（3）七年级和八年级的中位数分别为94和92，
所以小钟同学的成绩在本年级的排名更靠前；
故答案为：小钟；
（4）将“89”误写成了“79”，这时七年级数据的所有数的和少了10分，所以平均数为92分，众数和中位数不变；
故答案为：平均数；
（5）估计两个年级获奖的共有300×+300×＝270（人），
故答案为：270．
【考点剖析】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【典例分析03】（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：
包裹编号
Ⅰ号产品重量/吨
Ⅱ号产品重量/吨
包裹的重量/吨
A
5
1
6
B
3
2
5
C
2
3
5
D
4
3
7
E
3
5
8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 ABC （或ABE或AD或ACD或BCD或ACE） （写出要装运包裹的编号）；
（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案 ACE （写出要装运包裹的编号）．
【思路引导】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；
（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．
【规范解答】解：（1）选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2＝10（吨），总重6+5+5＝16＜19.5（吨），符合要求；
选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19＜19.5（吨），符合要求；
选择AD时，装运的1号产品重量为：5+4＝9（吨），总重6+7＝13＜19.5 （吨），符合要求；
选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4＝11（吨），总重6+5+7＝18＜19.5（吨），符合要求；
选择BCD时，装运的1号产品重量为：3+2+4＝9（吨），总重5+5+7＝17＜19.5（吨），符合要求；
选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3＝9（吨），总重7+5+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；
选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3＝10（吨），总重5+7+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；
选择ACE时，装运的I号产品重量为5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19（吨），符合要求，
综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD或ACE．
故答案为：ABC （或ABE或AD或ACD或BCD或ACE）；
（2）选择ABC时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+2+3＝6（吨）；
选择ABE时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+2+5＝8（吨）；
选择AD时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+3＝4 （吨）；
选择ACD时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+3+3＝7 （吨）；
选择BCD时，装运的Ⅱ号产品重量为：2+3+3＝8 （吨）；
选择ACE时，Ⅰ产品重量：5+2+3＝10 且9≤10≤11；Ⅱ产品重量：1+3+5＝9，
故答案为：ACE．
【考点剖析】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．
【变式训练07】（2021春•自贡期末）为统计了解某市4万名学生平均每天读书的时间，有以下步骤：①得出结论，提出建议；②分析数据；③从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；④利用统计图表将收集的数据整理和表示，请您对以上步骤进行合理排序 ③④②① ．（只填序号）
【思路引导】根据调查的一般步骤，得出结论．
【规范解答】解：调查的一般步骤：先随机抽样，再收集整理数据，然后分析数据，最后得出结论．
故答案为：③④②①．
【考点剖析】本题考查了调查收集数据的过程与方法，掌握调查的一般步骤是解决本题的关键．
【变式训练08】（2022春•广平县校级月考）已知某校共有七，八，九三个年级，每个年级有4个班，每个班的人数在20～30之间，为了解该校学生家庭的教育消费情况，现设计了如下的调查方案．
方案一：给全校每个班都发一份问卷，由班长填写完成；
方案二：把问卷发送到随机抽取的七年级某个班的家长微信群里，通过网络提交完成：
方案三：给每个班学号分别为1，5，10，15，20的同学各发一份问卷，填写完成．以上哪种调查方案能较好的获得该校学生家庭的教育消费情况，并说明其他两个调查方案的不足之处．
【思路引导】在随机抽取样本时，不要偏向总体中的某些个体，选取的样本既要有随机性，又要有代表性，且数量不能太少；结合以上条件试着判断三个调查方案是否合理．
【规范解答】解：方案三的调查方案能较好地获得该校学生家庭的教育消费情况．
方案一的调查方案的不足之处：所抽取的对象数量太少；
方案二的调查方案的不足之处：所抽取的样本的代表性不够好．
【考点剖析】本题考查了调查收集数据的过程与方法，正确理解抽样调查的随机性是解题的关键．
【变式训练09】（2022春•永年区月考）为了考察4名篮球运动员投篮的命中率，让每名运动员投篮10次．记录员记下这4名运动员投篮命中次数如下：
甲：；乙：；丙：；丁：.请将数据整理后填写表．
甲
乙
丙
丁
命中次数
9
6
8
10
命中率
90%
60%
80%
100%
【思路引导】根据记录员记下这4名运动员投篮命中次数，将数据整理后填表即可．
【规范解答】解：由题意可知，
甲命中9次，命中率为×100%＝90%，
乙命中6次，命中率为×100%＝60%，
丙命中8次，命中率为×100%＝80%，
丁命中10次，命中率为100%，
数据整理如下表：
【考点剖析】本题考查了调查收集数据的过程与方法，解决本题的关键是掌握调查数据的方法．
【典例分析04】（2022春•荆门期末）每过一年，大家都会年长一岁，某班所有同学的年龄的平均数，众数，中位数，方差这四个统计量中，今年较去年不会发生改变的量是 方差 ．
【思路引导】今年较去年，所有数据均增加1，但数据的波动幅度没有变化，据此求解即可．
【规范解答】解：每过一年，该班所有同学的年龄均增加1，
所以这组数据的平均数、中位数和众数均增加，而数据的波动幅度没有变化，
所以今年较去年不会发生改变的是方差，
故答案为：方差．
【考点剖析】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
【变式训练10】（2022春•通州区期末）寒假期间，滑雪冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目的40次的训练测试，每次测试成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分五档，甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示：
结合图中数据，请你从平均数、众数、中位数、方差中选择一方面评论一下两位同学的滑雪成绩 从平均数看甲成绩好 ．
【思路引导】平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
【规范解答】解：从平均数来分析：
甲的平均数为＝2.9，
乙的平均数为＝2.675，
2.9＞2.675，
所以甲成绩好．
故答案为：从平均数看甲成绩好．
【考点剖析】本题考查了统计的有关知识，要熟练掌握众数、方差、平均数和中位数的求法，以及根据这些统计量来判断选手的成绩情况．
【变式训练11】（2023春•温州期中）某工艺品厂草编车间共有16名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表：
日均生产能力（件）
10
11
12
13
14
16
人数
1
2
6
4
2
1
（1）这16名工人日均生产件数的平均数＝ 12.5 件，众数＝ 12 件，中位数＝ 12 件；
（2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，应选择什么统计量作为日生产件数的定额？
【思路引导】（1）平均数＝加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数就是中间两个数的平均数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；
（2）分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．
【规范解答】解：（1）由表格可得，
平均数为：×（10+11×2+12×6+13×4+14×2+16）＝12.5（件），
12出现的次数最多，故众数是12，
16名工人日均生产件数从小到大排列，排在中间的数分别为12、12，故中位数是＝12（件）；
故答案为：12.5，12，12；
（2）当定额为13个时，有13人达标，3人获奖，不利于提高工人的积极性，
当定额为12个时，有9人达标，7人获奖，利于提高大多数工人的积极性，
∴定额为12个时，有利于提高大多数工人的积极性，
故应选择中位数作为日生产件数的定额．
【考点剖析】本题考查了统计量的选择，平均数、众数、中位数的意义，掌握平均数、众数、中位数的定义是关键．
【变式训练12】（2023春•滨江区校级期中）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：
“滴滴”网约车司机收入的频数分布表：
月收入
4千元
5千元
9千元
11千元
人数（个）
4
3
2
1
根据以上信息，整理分析数据如表：
平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“滴滴”
6
4
6.2
“美团”
6
1.2
（1）填表：在表格的空白处填入相应的数据；
（2）杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的权权选择哪家公司？
【思路引导】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【规范解答】解：（1）“美团”的平均月收入为4×10%+5×20%+6×40%+7×20%+8×10%＝6，众数为6，
“滴滴”网约车司机收入的中位数为＝5，
∴在表格的空白处填入相应的数据：
平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“滴滴”
6
5
4
6.2
“美团”
6
6
6
1.2
（2）选“美团”，理由如下：
因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定．
【考点剖析】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
一．选择题（共9小题）
1．（2023•克州一模）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：由表格知，乙的方差最小，
所以乙运动员发挥最稳定，
故选：B．
2．（2022春•朝阳区校级月考）甲、乙两班举行电脑打字输入比赛，参赛学生每分钟输入字的个数统计结果如表：
班级
参赛人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
某同学分析上表后得出如下结论：
（1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；
（3）甲班成绩的波动比乙班小．
上述结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）
解：∵甲＝乙，
∴（1）正确；
∵乙的中位数为151，甲的中位数为149，
∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（2）正确；
∵S2甲＞S2乙，
∴甲班成绩的波动比乙班大，（3）错误；
故选：D．
3．（2022•鼓楼区校级一模）一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（ ）
A．前一组数据的中位数是200
B．前一组数据的众数是200
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去200
解：A．前一组数据的中位数是200，正确，此选项不符合题意；
B．前一组数据的众数是200，正确，此选项不符合题意；
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200，正确，此选项不符合题意；
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差，此选项符合题意；
故选：D．
4．（2021•长安区二模）若某一样本的方差为s2＝|（5﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（x﹣7）2+（y﹣7）2|，样本容量为5，则下列说法：
①当x＝9时，y＝6；
②该样本的平均数为7；
③x，y的平均数是7；
④该样本的方差与x，y的值无关．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
解：∵s2＝[（5﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（x﹣7）2+（y﹣7）2]，
∴这组数据为5、7、8、x、y，且这组数据的平均数为7，
∴5+7+8+x+y＝35，
∴x+y＝15，
①当x＝9时，y＝6，此说法正确；
②这组数据的平均数为7，故此说法正确；
③x、y的平均数为＝7.5，故此说法错误；
④该样本的方差与x，y的值有关，故此说法错误；
故选：D．
5．（2022春•右玉县期末）已知两组数据x1，x2，x3和x1+1，x2+1，x3+1，则这两组数据没有改变大小的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
解：∵数据x1，x2，x3，把每个数据都加1，得到一组新数据x1+1，x2+1，x3+1，
∴对比这两组数据的统计量不变的是方差．
故选：D．
6．（2022•阜新二模）13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：D．
7．（2021春•孝义市期末）2021年4月23日是第26个世界读书日．为迎接第26个世界读书日的到来，某校举办读书分享大赛活动，最终有13名同学进入决赛（他们决赛的成绩各不相同），比赛将评出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名．某参赛同学知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他需要知道这13名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
解：∵进入决赛的13名学生所得分数互不相同，共有1+2+3＝6个奖项，
∴这13名同学所得分数的中位数低于获奖的学生中的最低分，
∴某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数，
如果这名参赛选手的分数大于中位数，则他能获奖，
如果这名参赛选手的分数小于或等于中位数，则他不能获奖．
故选：A．
8．（2021•洪泽区校级三模）一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：
尺寸（码）
35
36
37
38
39
销售量（双）
2
4
11
7
3
这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数，
所以影响鞋店决策的统计量是众数，
故选：B．
9．（2021•平阴县二模）为庆祝建党100周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
10．（2023•白云区一模）现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是170cm，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，则这两个合唱队的队员身高较齐整的是 乙 大队．（填“甲”、“乙”中的一个）
解：现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为170cm，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，且S甲2＞S乙2，
则两个队的队员的身高较整齐的是乙，
故答案为：乙．
11．（2023•开州区模拟）已知第一组数据：3、3、3、3的方差为；第二组数据：2、4、6、8的方差为；第三组数据：11、12、13、14的方差为；则、、的大小关系为 ．（用“＞”连接）
解：第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（2022春•乐清市校级期中）甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示，统计两人成绩的方差为S，S，则S ＜ S（填“＞”或“＜”）．
解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差大，即S甲2＜S乙2．
故答案为：＜．
13．（2021秋•开江县期末）某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，则该班50人的数学测试成绩的方差 变小 （填“变小”、“不变”、“变大”）．
解：∵小颖的成绩和其他49人的平均数相同，都是92分，
∴该班50人的测试成绩的平均分为92分，方差变小，
故答案为：变小．
14．（2021春•饶平县校级期末）为了解某市4万名学生平均每天读书的时间，请你运用所学的统计知识，将统计的主要步骤进行排序：①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；②分析数据；③得出结论，提出建议；④利用统计图表将收集的数据整理和表示．合理的排序是 ①④②③ ．（只填序号）
解：统计的主要步骤依次为：
①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；
④利用统计图表将收集的数据整理和表示；
②分析数据；
③得出结论；
故答案为：①④②③．
15．（2020春•五莲县期末）在某校举行的“人人崇尚美，个个奉献爱”的演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一位同学想知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的 中位数 （填“平均数”“中位数”或“众数”）
解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故答案为：中位数．
三．解答题（共9小题）
16．（2023春•东阳市期中）某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为100分．现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中a＝ 77.5 ；b＝ 85 ．
（2）求出乙得分的方差．
（3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
平均（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
甲
75
a
b
93.75
乙
75
75
80，75，70
S乙2
解：（1）甲的成绩从小到大排列为：60，65，65，75，80，85，85，85，
∴甲的中位数a＝（75+80）＝77.5，
∵85出现了3次，出现的次数最多，
∴众数b是85，
故答案为：77.5，85；
（2）乙的方差为：×[2×（75﹣75）2+2×（80﹣75）2+2×（70﹣75）2+（85﹣75）2+（65﹣75）2]＝37.5；
（3）应选甲参赛较好（答案不唯一），
理由：①从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定；
②从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
17．（2023春•上城区期中）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
80
100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）若A校的方差为70分2，计算B校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
解：（1）A校平均数为：×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；
B校中位数80（分）．
填表如下：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
80
100
故答案为：85；85；80．
（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．
（3）B校的方差＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．
∴＜，
因此，A校代表队选手成绩较为稳定．
18．（2023春•余杭区校级期中）刚刚举行的九年级体育模拟中，甲、乙两位同学在进行投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，9，6，7；乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
（1）b＝ 9 ，c＝ 9 ；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；
（3）如果你是体育老师，请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好？（请说明理由）
解：（1）∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9．
∴b＝9．
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9．
∴c＝9．
故答案为：9；9．
（2）乙的平均数a＝＝8，
甲的方差d＝×[（9﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]＝1.6．
（3）选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，但甲的方差d＝1.6＜乙的方差4.4
∴在平均数相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
19．（2023春•下城区校级期中）八年级两个班各选派10名学生参加“垃圾分类知识竞赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100；
八（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99．
通过整理，得到数据分析表如下
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
100
94
93
b
c
八（2）班
99
95
a
93
8.4
（1）求表中a，b，c的值；
（2）依据数据分析表，有同学认为最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好，但也有同学认为（2）班的成绩更好，请你写出两条支持八（2）班成绩更好的理由．
解：八（2）班成绩共10个数据，从小到大排列后，95、96处于之间，所以（95+96）÷2＝95.5，是中位数，
八班成绩共10个数据，其中93出现三次，出现次数最多，众数是93，
八（1）班的方差＝[（（88﹣94）2+（91﹣91）2）+（92﹣94）2+3（93﹣94）2+（94﹣94）2+2（98﹣94）2+（100﹣94）2]＝12，
答：表中a＝93，b＝95.5，c＝12．
（2）八2班的平均分高于八（1）班，因此八（2）班成绩较好；
八（2）班的方差比八（1）班的小，因此八（2）班比八（1）班稳定．
20．（2023•沙坪坝区模拟）某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
92
b
c
52
九年级（2）班
92
94
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ 40 ，b＝ 94 ，c＝ 96 ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
解：（1）∵九年级（2）班C组占的百分比为×100%＝30%，
∴a%＝100%﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40，
∵（1）班10名学生测试成绩中，第5和6位置的数都是92和96，
∴b＝＝94，
∵（1）班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，
∴众数c＝96；
故答案为：40，94，96；
（2）这次比赛中，九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，理由：
∵九年级（2）班的方差50.4小于九年级（1）班的方差52，
∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定；
（3）120×＝78（人），
答：估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的九年级（2）班学生人数是78人．
21．（2022春•五常市期末）城东中学七年级举行跳绳比赛，要求与每班选出5名学生参加，在规定时间每人跳绳不低于150次为优秀，冠、亚军在甲、乙两班中产生，如表是这两个班的5名学生的比赛数据（单位：次）
1号
2号
3号
4号
5号
平均次数
方差
甲班
150
148
160
139
153
150
46.8
乙班
139
150
145
169
147
a
103.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出表中a的值和甲、乙两班的优秀率；
（2）写出两班比赛数据的中位数；
（3）你认为冠军奖应发给那个班？简要说明理由．
解：（1）a＝（139+150+145+169+147）÷5＝150，
甲的优秀率为：3÷5×100%＝60%，
乙的优秀率为：2÷5×100%＝40%；
（2）甲的中位数是150，乙的中位数是147；
（3）冠军奖应发给甲班，
因为甲的优秀率高于乙，说明甲的优秀人数多，
甲的中位数大于乙的中位数，说明甲的一般水平高，
甲的方差小于乙的方差，说明甲比较稳定．
22．（2021春•海淀区校级期末）为了从甲乙两名选手中选拔一名参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下两个统计图表：
平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
7
2.8
0
乙
7
7.5
5.4
1
（1）请补全上述图表；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？请说明你的理由．
解：（1）甲的成绩为：9，6，7，6，3，7，7，8，8，9；
乙的成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
将甲成绩按照从小到大顺序排列得：3，6，6，7，7，7，8，8，9，9，则甲的中位数为7，
方差为[（3﹣7）2+2×（6﹣7）2+3×（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+2×（9﹣7）2]＝2.8；
将乙成绩按照从小到大顺序排列得：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，则乙的中位数为7.5，
乙的平均数为×（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）＝7；
甲、乙射击成绩统计表：
平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
7
2.8
0
乙
7
7.5
5.4
1
（2）由甲的方差小于乙的方差，得到甲胜出．
故答案为：7；2.8；7；7.5．
23．（2022春•东莞市校级期中）某工厂车间共有10名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据制成如下统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）10名工人的日均生产件数的众数是 13 ，10名工人的日均生产件数的中位数是 12 ；
（2）计算10名工人的日均生产件数的平均数；
（3）若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由．
解：（1）∵13出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是13件；
把这些数从小到大排列为：8，8，8，10，12，12，13，13，13，13，最中间的数是第5、6个数的平均数，则中位数是＝12（件）；
故答案为：13；12；
（2）由统计图可得，
平均数为：（8×3+10+12×2+13×4）÷10＝11（件）；
（3）由题意可得，60%×10＝6（人），
中位数恰好是6人，所以若要使占60%的工人都能完成任务，应选中位数作为日生产件数的定额．
24．（2021春•思茅区期末）4月23日是世界图书日，某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．校文学社为了解同学课外阅读情况，抽样调查了部分同学每周用于课外阅读的时间，过程如下：
（1）数据收集：从全校随机抽取20名同学，调查每周用于课外阅读的时间，数据如表：（单位：min）
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
（2）整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数
3
5
8
a
（3）分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
b
c
得出结论：
（1）a＝ 4 ，b＝ 81 ，c＝ 81 ．
（2）如果该校现有学生3000人，估计等级为“B”的同学有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估算该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
解：（1）80×20﹣30﹣60﹣81﹣50﹣40﹣110﹣130﹣146﹣90﹣100﹣60﹣81﹣120﹣140﹣70﹣81﹣10﹣20﹣100＝81，
分段统计各组的频数可得，C等级的5人，A等级的有4人，
从小到大排列处在中间的两个数都是81，因此中位数是81，出现次数最多的数是81，共出现4次，因此众数是81，
故答案为：4，81，81；
（2）3000×＝1200（人），
答：该校2000名学生中等级为B的大约有1200人；
（3）选择“平均数”，80×52÷160＝26（本），
答：该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读26本课外书．
2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
20.2-20.3 数据的波动程度与课题学习
1. 了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．
2. 从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.
知识点01：极差、方差和标准差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值.
要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：
要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：
；标准差的数量单位与原数据一致.
知识点02：极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
知识点03：用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
精讲精练
【典例分析01】（2023•龙泉驿区模拟）在一次体育考试中，六名男生引体向上的成绩如表，对于这组数据，下列说法不正确的是（ ）
成绩（个次）
10
11
13
17
23
人数
2
1
1
1
1
A．极差是13 B．众数是10 C．中位数是15 D．平均数是14
【思路引导】分别计算该组数据的众数、平均数、极差及中位数后找到正确答案即可．
【规范解答】解：极差为23﹣10＝13，平均数＝＝14，众数是10，中位数是＝12，
故选：C．
【考点剖析】本题考查了极差、平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
【变式训练01】（2022•新吴区二模）受疫情影响，某地无法按原计划正常开学，在延迟开学期间该地区组织了在线教学活动．开学后，某校针对各班在线教学的个性化落实情况，通过初评决定从甲、乙、丙三个班中推荐一个作为在线教学先进班级，下表是这三个班的五项指标的考评得分表（单位：分）：
班级
课程设置
课程质量
在线答疑
作业情况
学生满意度
甲班
10
10
6
10
7
乙班
10
8
8
9
8
丙班
9
10
8
7
9
根据统计表中的信息解答下列问题：
（1）①请确定如下的“五项指标的考评得分分析表”中的a、b、c的值；
班级
平均分
众数
中位数
甲班
8.6
10
a
乙班
8.6
b
8
丙班
c
9
9
②甲、乙、丙三个班在线教学活动“学生满意度”考评度考评得分的极差为 2 分．
（2）如果学校把“课程设置”、“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“学生满意度”这五项指标得分按照2：2：3：1：2的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？
【思路引导】（1）根据中位数、众数、平均数的概念解答即可；
（2）根据极差的概念解答即可；
（3）根据加权平均数的计算公式求解即可．
【规范解答】解：（1）①按照从小到大的顺序排列为6，7，10，10，10，中位数a＝10，
8出现的次数最多，众数b＝8，
平均数c＝（9+10+8+7+9）÷5＝8.6；
②甲、乙、丙三个班在线教学活动“学生满意度”考评度考评得分的极差为9﹣7＝2（分）；
（2）甲：10×20%+10×20%+6×30%+10×10%+7×20%＝8.2（分）；
乙：10×20%+8×20%+8×30%+9×10%+8×20%＝8.5（分）；
丙：9×20%+10×20%+8×30%+7×10%+9×20%＝8.7（分）．
故推荐丙班级为网上教学先进班级．
故答案为：2．
【考点剖析】本题考查极差、平均数、众数和中位数，平均数表示一组数据的平均程度．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
【变式训练02】（2021春•长寿区期末）某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行统计调查，并绘制了统计表及统计图，如图所示：
（1）这50名学生每人一周内的零花钱数额的平均数是 12 元/人；众数是 15 元；中位数是 12.5 元，学生每人一周内的零花钱数额的极差为 15 ．
（2）据统计该校的1800人中，每人每周的零花钱有75%在学校超市消费，试估计该校学生每周在学校超市消费的零花钱总金额为多少元？
【思路引导】（1）根据加权平均数的计算公式计算可得，再利用中位数、极差以及众数的定义分别得出答案；
（2）用平均数乘以总人数，再乘以75%即可得．
【规范解答】解：（1）平均数是×（5×10+10×15+15×20+20×5）＝12（元），
众数是：15元，中位数是：第25，26个数据的平均数为：12.5元，
学生每人一周内的零花钱数额的极差为：20﹣5＝15（元）；
故答案为：12；15，12.5，15
（2）1800×12×75%＝16200（元），
答：估计该校学生每周在学校超市消费的零花钱总金额为16200元．
【考点剖析】此题考查了条形统计图以及用样本估计总体，正确理解相关概念是解本题的关键．
【变式训练03】（2023•宜阳县二模）菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项．每四年颁发一次，颁发给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖．得奖者须在该年元旦前未满四十岁．它是根据加拿大数学家约翰•查尔斯•菲尔兹的要求设立的，被视为数学界的诺贝尔奖．从1936年至2022年，共有64位数学家获得菲尔兹奖，其中有两位华人（丘成桐、陶哲轩）．
下列数据是截止2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38
36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36
33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37
35 39 37 37 39 34 31 37 39 35 37 38
（1）上面这64个数据的中位数是 36.5 ，众数是 37 ；
（2）菲尔兹奖得主获奖时年龄的极差是 12 ；
（3）求这组数据的平均数．
【思路引导】（1）将这组数据从小到大排列后取最中间两位数的平均数即可求得中位数，找到出现次数最多那个数就是众数；
（2）利用极差的定义求得最大值与最小值的差即可；
（3）利用求平均数公式求得平均值即可．
【规范解答】解：（1）∵将这组数据从小到大排列后处于最中间的两个数分别是36，37，
∴中位数＝，
∵37出现次数最多，
∴众数是37，
故答案为：36.5，37；
（2）极差＝40﹣28＝12，
故答案为：12；
（3）≈35.6．
【考点剖析】本题考查了中位数，众数，极差及平均数等知识点，熟练掌握其知识点是解决此题的关键．
【典例分析02】（2023•北仑区二模）学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
96
98
95
98
方差
2
0.4
0.4
1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【思路引导】先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
【规范解答】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
∴应从乙和丁同学中选，
∵乙同学的方差比丁同学的小，
∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．
故选：B．
【考点剖析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【变式训练04】（2023•建邺区一模）在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是20，20，30，40，40（单位：元），后来每人都追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【思路引导】根据方差的意义求解即可．
【规范解答】解：根据题意知，后来每人都追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，平均数、中位数均增加了10，众数改变为30和50，
而数据的波动幅度不变，即方差不变，
故选：D．
【考点剖析】本题主要考查方差、平均数、众数和中位数，解题的关键是掌握方差的意义．
【变式训练05】（2023•开州区模拟）已知第一组数据：3、3、3、3的方差为；第二组数据：2、4、6、8的方差为；第三组数据：11、12、13、14的方差为；则、、的大小关系为 ．（用“＞”连接）
【思路引导】由题目所给数据先计算出各组平均数，再计算出、和，最后比较即可．
【规范解答】解：第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点剖析】本题考查求平均数，求方差，掌握求平均数和求方差的公式是解题关键．
【变式训练06】（2023春•鄞州区期中）争创全国文明城市——从我做起．某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七八年级学生进行文明礼仪知识测试，两个年级均有300名学生，从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，满分100分，整理分析如下：
七年级：99，98，98，98，95，93，91，90，89，79；
八年级：99，99，99，91，96，90，93，87，91，85．
整理分析上面的数据，得到如下表格：
年级/统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93
94
a
33.7
八年级
93
b
99
23.4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝ 98 ，b＝ 92 ；
（2）根据统计结果， 八 年级的成绩更整齐；
（3）七年级小齐同学和八年级小钟同学成绩均为93分，根据上面统计情况估计 小钟 同学的成绩在本年级的排名更靠前；
（4）如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是 平均数 ；
（5）若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有多少人？
【思路引导】（1）利用众数和中位数的意义可得a与b的值；
（2）比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案；
（3）利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可；
（4）根据平均数的定义可得到平均数比原来少1分，根据众数和中位数的定义可判断都不变；
（5）用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可．
【规范解答】解：（1）七年级的众数为a＝98，
八年级成绩按由小到大排列为：85，87，90，91，91，93，96，99，99，99，
所以八年级的成绩的中位数为b＝＝92；
故答案为：98，92；
（2）因为33.7＞23.4，即八年级的方差比七年级的方差小，
所以八年级的成绩更整齐；
故答案为：八；
（3）七年级和八年级的中位数分别为94和92，
所以小钟同学的成绩在本年级的排名更靠前；
故答案为：小钟；
（4）将“89”误写成了“79”，这时七年级数据的所有数的和少了10分，所以平均数为92分，众数和中位数不变；
故答案为：平均数；
（5）估计两个年级获奖的共有300×+300×＝270（人），
故答案为：270．
【考点剖析】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【典例分析03】（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：
包裹编号
Ⅰ号产品重量/吨
Ⅱ号产品重量/吨
包裹的重量/吨
A
5
1
6
B
3
2
5
C
2
3
5
D
4
3
7
E
3
5
8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 ABC （或ABE或AD或ACD或BCD或ACE） （写出要装运包裹的编号）；
（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案 ACE （写出要装运包裹的编号）．
【思路引导】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；
（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．
【规范解答】解：（1）选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2＝10（吨），总重6+5+5＝16＜19.5（吨），符合要求；
选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19＜19.5（吨），符合要求；
选择AD时，装运的1号产品重量为：5+4＝9（吨），总重6+7＝13＜19.5 （吨），符合要求；
选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4＝11（吨），总重6+5+7＝18＜19.5（吨），符合要求；
选择BCD时，装运的1号产品重量为：3+2+4＝9（吨），总重5+5+7＝17＜19.5（吨），符合要求；
选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3＝9（吨），总重7+5+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；
选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3＝10（吨），总重5+7+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；
选择ACE时，装运的I号产品重量为5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19（吨），符合要求，
综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD或ACE．
故答案为：ABC （或ABE或AD或ACD或BCD或ACE）；
（2）选择ABC时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+2+3＝6（吨）；
选择ABE时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+2+5＝8（吨）；
选择AD时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+3＝4 （吨）；
选择ACD时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+3+3＝7 （吨）；
选择BCD时，装运的Ⅱ号产品重量为：2+3+3＝8 （吨）；
选择ACE时，Ⅰ产品重量：5+2+3＝10 且9≤10≤11；Ⅱ产品重量：1+3+5＝9，
故答案为：ACE．
【考点剖析】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．
【变式训练07】（2021春•自贡期末）为统计了解某市4万名学生平均每天读书的时间，有以下步骤：①得出结论，提出建议；②分析数据；③从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；④利用统计图表将收集的数据整理和表示，请您对以上步骤进行合理排序 ③④②① ．（只填序号）
【思路引导】根据调查的一般步骤，得出结论．
【规范解答】解：调查的一般步骤：先随机抽样，再收集整理数据，然后分析数据，最后得出结论．
故答案为：③④②①．
【考点剖析】本题考查了调查收集数据的过程与方法，掌握调查的一般步骤是解决本题的关键．
【变式训练08】（2022春•广平县校级月考）已知某校共有七，八，九三个年级，每个年级有4个班，每个班的人数在20～30之间，为了解该校学生家庭的教育消费情况，现设计了如下的调查方案．
方案一：给全校每个班都发一份问卷，由班长填写完成；
方案二：把问卷发送到随机抽取的七年级某个班的家长微信群里，通过网络提交完成：
方案三：给每个班学号分别为1，5，10，15，20的同学各发一份问卷，填写完成．以上哪种调查方案能较好的获得该校学生家庭的教育消费情况，并说明其他两个调查方案的不足之处．
【思路引导】在随机抽取样本时，不要偏向总体中的某些个体，选取的样本既要有随机性，又要有代表性，且数量不能太少；结合以上条件试着判断三个调查方案是否合理．
【规范解答】解：方案三的调查方案能较好地获得该校学生家庭的教育消费情况．
方案一的调查方案的不足之处：所抽取的对象数量太少；
方案二的调查方案的不足之处：所抽取的样本的代表性不够好．
【考点剖析】本题考查了调查收集数据的过程与方法，正确理解抽样调查的随机性是解题的关键．
【变式训练09】（2022春•永年区月考）为了考察4名篮球运动员投篮的命中率，让每名运动员投篮10次．记录员记下这4名运动员投篮命中次数如下：
甲：；乙：；丙：；丁：.请将数据整理后填写表．
甲
乙
丙
丁
命中次数
9
6
8
10
命中率
90%
60%
80%
100%
【思路引导】根据记录员记下这4名运动员投篮命中次数，将数据整理后填表即可．
【规范解答】解：由题意可知，
甲命中9次，命中率为×100%＝90%，
乙命中6次，命中率为×100%＝60%，
丙命中8次，命中率为×100%＝80%，
丁命中10次，命中率为100%，
数据整理如下表：
【考点剖析】本题考查了调查收集数据的过程与方法，解决本题的关键是掌握调查数据的方法．
【典例分析04】（2022春•荆门期末）每过一年，大家都会年长一岁，某班所有同学的年龄的平均数，众数，中位数，方差这四个统计量中，今年较去年不会发生改变的量是 方差 ．
【思路引导】今年较去年，所有数据均增加1，但数据的波动幅度没有变化，据此求解即可．
【规范解答】解：每过一年，该班所有同学的年龄均增加1，
所以这组数据的平均数、中位数和众数均增加，而数据的波动幅度没有变化，
所以今年较去年不会发生改变的是方差，
故答案为：方差．
【考点剖析】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
【变式训练10】（2022春•通州区期末）寒假期间，滑雪冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目的40次的训练测试，每次测试成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分五档，甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示：
结合图中数据，请你从平均数、众数、中位数、方差中选择一方面评论一下两位同学的滑雪成绩 从平均数看甲成绩好 ．
【思路引导】平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
【规范解答】解：从平均数来分析：
甲的平均数为＝2.9，
乙的平均数为＝2.675，
2.9＞2.675，
所以甲成绩好．
故答案为：从平均数看甲成绩好．
【考点剖析】本题考查了统计的有关知识，要熟练掌握众数、方差、平均数和中位数的求法，以及根据这些统计量来判断选手的成绩情况．
【变式训练11】（2023春•温州期中）某工艺品厂草编车间共有16名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表：
日均生产能力（件）
10
11
12
13
14
16
人数
1
2
6
4
2
1
（1）这16名工人日均生产件数的平均数＝ 12.5 件，众数＝ 12 件，中位数＝ 12 件；
（2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，应选择什么统计量作为日生产件数的定额？
【思路引导】（1）平均数＝加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数就是中间两个数的平均数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；
（2）分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．
【规范解答】解：（1）由表格可得，
平均数为：×（10+11×2+12×6+13×4+14×2+16）＝12.5（件），
12出现的次数最多，故众数是12，
16名工人日均生产件数从小到大排列，排在中间的数分别为12、12，故中位数是＝12（件）；
故答案为：12.5，12，12；
（2）当定额为13个时，有13人达标，3人获奖，不利于提高工人的积极性，
当定额为12个时，有9人达标，7人获奖，利于提高大多数工人的积极性，
∴定额为12个时，有利于提高大多数工人的积极性，
故应选择中位数作为日生产件数的定额．
【考点剖析】本题考查了统计量的选择，平均数、众数、中位数的意义，掌握平均数、众数、中位数的定义是关键．
【变式训练12】（2023春•滨江区校级期中）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：
“滴滴”网约车司机收入的频数分布表：
月收入
4千元
5千元
9千元
11千元
人数（个）
4
3
2
1
根据以上信息，整理分析数据如表：
平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“滴滴”
6
4
6.2
“美团”
6
1.2
（1）填表：在表格的空白处填入相应的数据；
（2）杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的权权选择哪家公司？
【思路引导】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【规范解答】解：（1）“美团”的平均月收入为4×10%+5×20%+6×40%+7×20%+8×10%＝6，众数为6，
“滴滴”网约车司机收入的中位数为＝5，
∴在表格的空白处填入相应的数据：
平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“滴滴”
6
5
4
6.2
“美团”
6
6
6
1.2
（2）选“美团”，理由如下：
因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定．
【考点剖析】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
一．选择题（共9小题）
1．（2023•克州一模）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：由表格知，乙的方差最小，
所以乙运动员发挥最稳定，
故选：B．
2．（2022春•朝阳区校级月考）甲、乙两班举行电脑打字输入比赛，参赛学生每分钟输入字的个数统计结果如表：
班级
参赛人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
某同学分析上表后得出如下结论：
（1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；
（3）甲班成绩的波动比乙班小．
上述结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）
解：∵甲＝乙，
∴（1）正确；
∵乙的中位数为151，甲的中位数为149，
∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（2）正确；
∵S2甲＞S2乙，
∴甲班成绩的波动比乙班大，（3）错误；
故选：D．
3．（2022•鼓楼区校级一模）一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（ ）
A．前一组数据的中位数是200
B．前一组数据的众数是200
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去200
解：A．前一组数据的中位数是200，正确，此选项不符合题意；
B．前一组数据的众数是200，正确，此选项不符合题意；
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200，正确，此选项不符合题意；
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差，此选项符合题意；
故选：D．
4．（2021•长安区二模）若某一样本的方差为s2＝|（5﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（x﹣7）2+（y﹣7）2|，样本容量为5，则下列说法：
①当x＝9时，y＝6；
②该样本的平均数为7；
③x，y的平均数是7；
④该样本的方差与x，y的值无关．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
解：∵s2＝[（5﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（x﹣7）2+（y﹣7）2]，
∴这组数据为5、7、8、x、y，且这组数据的平均数为7，
∴5+7+8+x+y＝35，
∴x+y＝15，
①当x＝9时，y＝6，此说法正确；
②这组数据的平均数为7，故此说法正确；
③x、y的平均数为＝7.5，故此说法错误；
④该样本的方差与x，y的值有关，故此说法错误；
故选：D．
5．（2022春•右玉县期末）已知两组数据x1，x2，x3和x1+1，x2+1，x3+1，则这两组数据没有改变大小的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
解：∵数据x1，x2，x3，把每个数据都加1，得到一组新数据x1+1，x2+1，x3+1，
∴对比这两组数据的统计量不变的是方差．
故选：D．
6．（2022•阜新二模）13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：D．
7．（2021春•孝义市期末）2021年4月23日是第26个世界读书日．为迎接第26个世界读书日的到来，某校举办读书分享大赛活动，最终有13名同学进入决赛（他们决赛的成绩各不相同），比赛将评出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名．某参赛同学知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他需要知道这13名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
解：∵进入决赛的13名学生所得分数互不相同，共有1+2+3＝6个奖项，
∴这13名同学所得分数的中位数低于获奖的学生中的最低分，
∴某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数，
如果这名参赛选手的分数大于中位数，则他能获奖，
如果这名参赛选手的分数小于或等于中位数，则他不能获奖．
故选：A．
8．（2021•洪泽区校级三模）一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：
尺寸（码）
35
36
37
38
39
销售量（双）
2
4
11
7
3
这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数，
所以影响鞋店决策的统计量是众数，
故选：B．
9．（2021•平阴县二模）为庆祝建党100周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
10．（2023•白云区一模）现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是170cm，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，则这两个合唱队的队员身高较齐整的是 乙 大队．（填“甲”、“乙”中的一个）
解：现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为170cm，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，且S甲2＞S乙2，
则两个队的队员的身高较整齐的是乙，
故答案为：乙．
11．（2023•开州区模拟）已知第一组数据：3、3、3、3的方差为；第二组数据：2、4、6、8的方差为；第三组数据：11、12、13、14的方差为；则、、的大小关系为 ．（用“＞”连接）
解：第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（2022春•乐清市校级期中）甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示，统计两人成绩的方差为S，S，则S ＜ S（填“＞”或“＜”）．
解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差大，即S甲2＜S乙2．
故答案为：＜．
13．（2021秋•开江县期末）某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，则该班50人的数学测试成绩的方差 变小 （填“变小”、“不变”、“变大”）．
解：∵小颖的成绩和其他49人的平均数相同，都是92分，
∴该班50人的测试成绩的平均分为92分，方差变小，
故答案为：变小．
14．（2021春•饶平县校级期末）为了解某市4万名学生平均每天读书的时间，请你运用所学的统计知识，将统计的主要步骤进行排序：①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；②分析数据；③得出结论，提出建议；④利用统计图表将收集的数据整理和表示．合理的排序是 ①④②③ ．（只填序号）
解：统计的主要步骤依次为：
①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；
④利用统计图表将收集的数据整理和表示；
②分析数据；
③得出结论；
故答案为：①④②③．
15．（2020春•五莲县期末）在某校举行的“人人崇尚美，个个奉献爱”的演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一位同学想知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的 中位数 （填“平均数”“中位数”或“众数”）
解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故答案为：中位数．
三．解答题（共9小题）
16．（2023春•东阳市期中）某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为100分．现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中a＝ 77.5 ；b＝ 85 ．
（2）求出乙得分的方差．
（3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
平均（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
甲
75
a
b
93.75
乙
75
75
80，75，70
S乙2
解：（1）甲的成绩从小到大排列为：60，65，65，75，80，85，85，85，
∴甲的中位数a＝（75+80）＝77.5，
∵85出现了3次，出现的次数最多，
∴众数b是85，
故答案为：77.5，85；
（2）乙的方差为：×[2×（75﹣75）2+2×（80﹣75）2+2×（70﹣75）2+（85﹣75）2+（65﹣75）2]＝37.5；
（3）应选甲参赛较好（答案不唯一），
理由：①从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定；
②从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
17．（2023春•上城区期中）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
80
100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）若A校的方差为70分2，计算B校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
解：（1）A校平均数为：×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；
B校中位数80（分）．
填表如下：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
80
100
故答案为：85；85；80．
（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．
（3）B校的方差＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．
∴＜，
因此，A校代表队选手成绩较为稳定．
18．（2023春•余杭区校级期中）刚刚举行的九年级体育模拟中，甲、乙两位同学在进行投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，9，6，7；乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
（1）b＝ 9 ，c＝ 9 ；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；
（3）如果你是体育老师，请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好？（请说明理由）
解：（1）∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9．
∴b＝9．
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9．
∴c＝9．
故答案为：9；9．
（2）乙的平均数a＝＝8，
甲的方差d＝×[（9﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]＝1.6．
（3）选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，但甲的方差d＝1.6＜乙的方差4.4
∴在平均数相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
19．（2023春•下城区校级期中）八年级两个班各选派10名学生参加“垃圾分类知识竞赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100；
八（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99．
通过整理，得到数据分析表如下
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
100
94
93
b
c
八（2）班
99
95
a
93
8.4
（1）求表中a，b，c的值；
（2）依据数据分析表，有同学认为最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好，但也有同学认为（2）班的成绩更好，请你写出两条支持八（2）班成绩更好的理由．
解：八（2）班成绩共10个数据，从小到大排列后，95、96处于之间，所以（95+96）÷2＝95.5，是中位数，
八班成绩共10个数据，其中93出现三次，出现次数最多，众数是93，
八（1）班的方差＝[（（88﹣94）2+（91﹣91）2）+（92﹣94）2+3（93﹣94）2+（94﹣94）2+2（98﹣94）2+（100﹣94）2]＝12，
答：表中a＝93，b＝95.5，c＝12．
（2）八2班的平均分高于八（1）班，因此八（2）班成绩较好；
八（2）班的方差比八（1）班的小，因此八（2）班比八（1）班稳定．
20．（2023•沙坪坝区模拟）某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
92
b
c
52
九年级（2）班
92
94
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ 40 ，b＝ 94 ，c＝ 96 ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
解：（1）∵九年级（2）班C组占的百分比为×100%＝30%，
∴a%＝100%﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40，
∵（1）班10名学生测试成绩中，第5和6位置的数都是92和96，
∴b＝＝94，
∵（1）班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，
∴众数c＝96；
故答案为：40，94，96；
（2）这次比赛中，九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，理由：
∵九年级（2）班的方差50.4小于九年级（1）班的方差52，
∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定；
（3）120×＝78（人），
答：估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的九年级（2）班学生人数是78人．
21．（2022春•五常市期末）城东中学七年级举行跳绳比赛，要求与每班选出5名学生参加，在规定时间每人跳绳不低于150次为优秀，冠、亚军在甲、乙两班中产生，如表是这两个班的5名学生的比赛数据（单位：次）
1号
2号
3号
4号
5号
平均次数
方差
甲班
150
148
160
139
153
150
46.8
乙班
139
150
145
169
147
a
103.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出表中a的值和甲、乙两班的优秀率；
（2）写出两班比赛数据的中位数；
（3）你认为冠军奖应发给那个班？简要说明理由．
解：（1）a＝（139+150+145+169+147）÷5＝150，
甲的优秀率为：3÷5×100%＝60%，
乙的优秀率为：2÷5×100%＝40%；
（2）甲的中位数是150，乙的中位数是147；
（3）冠军奖应发给甲班，
因为甲的优秀率高于乙，说明甲的优秀人数多，
甲的中位数大于乙的中位数，说明甲的一般水平高，
甲的方差小于乙的方差，说明甲比较稳定．
22．（2021春•海淀区校级期末）为了从甲乙两名选手中选拔一名参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下两个统计图表：
平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
7
2.8
0
乙
7
7.5
5.4
1
（1）请补全上述图表；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？请说明你的理由．
解：（1）甲的成绩为：9，6，7，6，3，7，7，8，8，9；
乙的成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
将甲成绩按照从小到大顺序排列得：3，6，6，7，7，7，8，8，9，9，则甲的中位数为7，
方差为[（3﹣7）2+2×（6﹣7）2+3×（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+2×（9﹣7）2]＝2.8；
将乙成绩按照从小到大顺序排列得：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，则乙的中位数为7.5，
乙的平均数为×（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）＝7；
甲、乙射击成绩统计表：
平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
7
2.8
0
乙
7
7.5
5.4
1
（2）由甲的方差小于乙的方差，得到甲胜出．
故答案为：7；2.8；7；7.5．
23．（2022春•东莞市校级期中）某工厂车间共有10名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据制成如下统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）10名工人的日均生产件数的众数是 13 ，10名工人的日均生产件数的中位数是 12 ；
（2）计算10名工人的日均生产件数的平均数；
（3）若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由．
解：（1）∵13出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是13件；
把这些数从小到大排列为：8，8，8，10，12，12，13，13，13，13，最中间的数是第5、6个数的平均数，则中位数是＝12（件）；
故答案为：13；12；
（2）由统计图可得，
平均数为：（8×3+10+12×2+13×4）÷10＝11（件）；
（3）由题意可得，60%×10＝6（人），
中位数恰好是6人，所以若要使占60%的工人都能完成任务，应选中位数作为日生产件数的定额．
24．（2021春•思茅区期末）4月23日是世界图书日，某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．校文学社为了解同学课外阅读情况，抽样调查了部分同学每周用于课外阅读的时间，过程如下：
（1）数据收集：从全校随机抽取20名同学，调查每周用于课外阅读的时间，数据如表：（单位：min）
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
（2）整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数
3
5
8
a
（3）分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
b
c
得出结论：
（1）a＝ 4 ，b＝ 81 ，c＝ 81 ．
（2）如果该校现有学生3000人，估计等级为“B”的同学有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估算该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
解：（1）80×20﹣30﹣60﹣81﹣50﹣40﹣110﹣130﹣146﹣90﹣100﹣60﹣81﹣120﹣140﹣70﹣81﹣10﹣20﹣100＝81，
分段统计各组的频数可得，C等级的5人，A等级的有4人，
从小到大排列处在中间的两个数都是81，因此中位数是81，出现次数最多的数是81，共出现4次，因此众数是81，
故答案为：4，81，81；
（2）3000×＝1200（人），
答：该校2000名学生中等级为B的大约有1200人；
（3）选择“平均数”，80×52÷160＝26（本），
答：该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读26本课外书．
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