人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式精品学案设计

2.3　直线的交点坐标与距离公式（1）

【学习目标】

1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．

3.掌握两点间距离公式并会应用.

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P70～74，思考并完成以下问题

1．怎样求两条直线的交点坐标？

2．怎样通过两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系？

3．两点间距离公式是什么？

二、课前小测

1．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(　　)

A．(1,2)        B．(2,1)         C．(1,1)       D．(2,2)

2．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(　　)

A．直角三角形   B．等腰三角形

C．等边三角形  D．等腰直角三角形

3．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________．

三、新知探究

一、两条直线的交点

直线方程：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.

前提条件：两直线组成的方程组：有唯一解.

结论：两直线相交，交点坐标为(x0，y0)．

二、两点间的距离公式

四、题型突破

题型一 两直线交点问题

[例1]　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．

反思感悟

求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解法：

(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．

(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．

跟踪训练

1．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．

题型二　两点间距离公式

[例2]　(1)已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；

(2)已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为7，求x的值．

反思感悟

若已知两点的坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P1P2|＝.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题．

跟踪训练

2．已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形．

题型三　直线恒过定点问题

[例3]　求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．

反思感悟

解决过定点问题常用的三种方法

(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标．

(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．

(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．

跟踪训练

3．已知直线λ：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．

题型四　对称问题

1、点关于点对称

[例4]　(1)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

2、点关于线对称

(2)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　)

A．(－2,1)　　　　　　　 B．(－2,5)

C．(2，－5)  D．(4，－3)

3、线关于点对称

(3)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)

A．3x－2y＋2＝0   B．2x＋3y＋7＝0

C．3x－2y－12＝0  D．2x＋3y＋8＝0

4、线关于线对称

(4)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．

反思感悟

有关对称问题的两种主要类型

(1)中心对称：

①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

(2)轴对称：

①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，

则有

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

跟踪训练

4．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．

(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．

五、达标检测

1．从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为________．

2．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．

3．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．

六、本课小结

1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．

2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．

3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.

参考答案

课前小测

1．答案：A

2．答案：B

3．答案：1或－5

题型突破

[例1] 解析：

解法一　由方程组

解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．

∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1.

故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.

解法二　∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.

跟踪训练

1．解析：

解法一　由方程组得即P(0,2)．

∵l⊥l3∴kl＝－，

∴直线l的方程为y－2＝－x，

即4x＋3y－6＝0.

解法二　∵直线l过直线l1和l2的交点，

∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.

∵l与l3垂直，

∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，

∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.

[例2]　解析：

(1)设点P的坐标为(x,0)，则有

|PA|＝＝，

|PB|＝＝.

由|PA|＝|PB|，

得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，

解得x＝－.

故所求点P的坐标为.

|PA|＝

＝.

(2)由|MN|＝7，

得|MN|＝＝7，

即x2－4x－45＝0，

解得x1＝9或x2＝－5.

故所求x的值为9或－5.

跟踪训练

2．证明：∵|AB|＝＝2，

|AC|＝＝2，

|BC|＝＝2，

∴|AC|＝|BC|.

又∵点A，B，C不共线，

∴△ABC是等腰三角形．

[例3] 证明：

证法一　(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，

故l1与l2的交点为P(－3,3)．

将点P(－3,3)代入方程左边，

得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，

∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．

∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．

证法二　(分离参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，

整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.

则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．

由方程组得

∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．

跟踪训练

3．解析：

(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a，

所以不论a取何值，直线l恒过定点A，

又点A在第一象限，

所以不论a取何值，直线l恒过第一象限．

(2)令x＝0，y＝，

由题意，≤0，解得a≥3.

所以a的取值范围为[3，＋∞)．

[例4]　(1)解析：

设l1与l的交点为A(a,8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，

代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，

所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

(2) 解析：

设对称点坐标为Q(a，b)，

解得即Q(－2,5)．

答案：B

(3) 解析：

由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，

则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.

在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，

关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，

则点(－1，－2)必在所求直线上，

∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.

∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.

答案：D

(4) 解析：在直线m上取一点，如M(2,0)，

则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设对称点为M′(a，b)，则

解得M′.

设直线m与直线l的交点为N，则由

得N(4,3)．

又∵m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

跟踪训练

4．解析：

(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，则

解得故A′(－2,8)．

因为P为直线l上的一点，

则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，

解得

故所求的点P的坐标为(－2,3)．

(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，

则||PB|－|PA||≤|AB|，

当且仅当A，B，P三点共线时，

||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，

点P即是直线AB与直线l的交点，

又直线AB的方程为y＝x－2，

解得

故所求的点P的坐标为(12,10)．

达标检测

1．解析：由题意得，射出的光线方程为y－3＝(x－2)，

即x－2y＋4＝0，与y轴交点为(0,2)，

又(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，

∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)．

故方程为＝，即x＋2y－4＝0.

答案：x＋2y－4＝0

2．解析：由方程组⇒

∴两直线的交点坐标为.

∵此交点在第四象限，

∴⇒－＜m＜2.

即m的取值范围是.

3．解析：由方程组得

∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行，

∴直线l的斜率k＝－3.

∴根据点斜式有y－＝－3，

即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.