高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式优质学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式优质学案及答案，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(重点).
3.掌握两点间距离公式并会应用(难点)．
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合
【自主学习】
一．两条直线的交点
1.两直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l1，l2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
点A在直线l1上

直线l1与l2的交点是A

2.两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个

零个
直线l1与l2的位置关系

重合

二．两点间的距离
1.公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ .
解读：当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|；当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
2.文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.
思考1：平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？


思考2：式子的几何意义是什么？

　　
【小试牛刀】
1.思辨解析(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(　 　)
(2)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(　 　)
(3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.(　 　)
(4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.(　 　)
2．已知A(－2，3)，B(－2，－3)，则|AB|＝________．
【经典例题】
题型一　两条直线的交点问题
1.求相交直线的交点坐标
求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.
2.过两直线交点的直线系方程的设法
经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数，在此方程中，无论λ取什么实数，都不能表示直线l2.
3.过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
例1 求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．
【跟踪训练】1 (1)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k＝________；
(2)求经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程.



题型二　两点间距离公式的应用
点拨：1.计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ ；
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
2.用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数计算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
注意：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．　　　　
例2 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．



【跟踪训练】2 (1)已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
(2)已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.





题型三　直线过定点问题
例3 (1)不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________．
(2)无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标.


【跟踪训练】3
已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．







【当堂达标】
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　)
A．(－1，) B．(，1) C．(1，) D．(－1，－)
2.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是(　　)
A.x2－y2＝1 B. x2＋y2＝0 C.＝1 D.＝0
3.若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－1，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
4.已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，则x＝________．
5.不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________．
6.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．




















【参考答案】
【自主学习】
A1a＋B1b＋C1＝0 相交 无数个 平行 (x2-x1)2+(y2-y1)2 .
思考1：无关．在计算公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果．
思考2：式子＝表示平面上的点(x，y)到原点的距离。
【小试牛刀】
1.√ × × ×
2.6
【经典例题】
例1解：法一(方程组法)：解方程组得所以两直线的交点坐标为(－1，0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.
法二(直线系法)：设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0，①
又直线l的斜率为3，所以－＝3，解得λ＝，
将λ＝代入①，整理得3x－y＋3＝0.
【跟踪训练】1 (1)在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝，将(0，)代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
(2)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0．
∵点P(1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0．
∴λ＝．
∴所求方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，
即x＋y－1＝0．
例2 解: 方法1：∵|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法2：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
∴kAC·kAB＝－1．∴AC⊥AB．
又|AC|＝＝，
|AB|＝＝，
∴|AC|＝|AB|．∴△ABC是等腰直角三角形．
【跟踪训练】2 解：(1)设P(x,0)，|PA|＝，|PB|＝，
∵|PA|＝|PB|，即，解得x＝1，∴P(1,0)，
∴|PA|＝＝2.
(2)证明：建立如图所示的平面直角坐标系，

设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，
所以|AC|＝ ＝ ，
|BD|＝ ＝ .
故|AC|＝|BD|.

例3 （1）(9，－4) 解析　直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
∵对任意m该方程恒成立，∴解得故直线恒过定点(9，－4)．
（2）解　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴∴∴点P的坐标为(7,3).
【跟踪训练】3 解：(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a，
所以不论a取何值，直线l恒过定点A，
又点A在第一象限，
所以不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)令x＝0，y＝，
由题意，≤0，解得a≥3.
所以a的取值范围为[3，＋∞).
【当堂达标】
1. B解析：由得
2.C 解析：由两点间的距离公式得：＝1.
3. B 解析：联立直线方程解得
∵直线的交点在第一象限，∴解不等式组可得－1 4. 9或－5 解析：由|MN|＝7，得|MN|＝ ＝7，
即x2－4x－45＝0，解得x＝9或x＝－5.故所求x的值为9或－5.
5. (0，1) 解析：由直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0变形为m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，
令解得∴该直线过定点(0，1)．
6.解：∵点B在直线l1上，∴设B(x0，6－2x0)．
∵|AB|＝5，∴ ＝5，
整理，得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
∴点B的坐标为(1，4)或(5，－4)．
∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.