北师大版 (2019)必修 第一册2.1 函数概念教案设计

《函数的概念》教学设计

1．在实际问题中找出变量之间的对应关系，深刻理解函数的概念．

2．会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．

3．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．

4．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．

重点：函数的概念以及构成函数的三要素．

难点：函数概念的形成及理解．

一、新课导入

初中阶段我们都学过哪些函数呢？初中时函数的概念是如何定义的？

初中阶段学习过一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数．

初中函数定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．

二、新知探究

活动1：通过生活实例，探究函数概念． 

实例1：一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标． 炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律是           

实例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积几年的变化情况．

实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

通过这三个实例，请同学们思考以下问题．

问题1：从炮弹发射到炮弹落地的时间内，时间t和高度h分别对应的集合是什么？是否存在某一时间t没有高度h与之相对应？是否有两个或多个高度与之相对应？

答案：炮弹飞行时间的变化范围是数集，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集，对应关系 ．从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应．

问题2：从1979-2001年，年份和臭氧空洞面积所对应的集合分别是什么？是否存在某一年份没有面积与之对应？有两个或多个面积与之相对应？

答案：年份对应的数集，臭氧空洞面积所对应的数集，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应．

问题3：从1991-2001年，年份和恩格尔系数所对应的集合分别是什么？是否存在某一时间没有恩格尔系数与之相对应？是否有两个或多个恩格尔系数与之相对应？

答案： 年份对应的集合A={1991，1992，1993，1994，1995，1996，1997，1998，1999，2000，2001}

恩格尔系数所对应的集合

B={53．8，52．9，50．1，49．9，48．6，46．4，44．5，41．9，39．2，37．9}

设计意图：通过三个问题的提问，着重向学生渗透集合与对应的观点，这样再用集合与对应的观点描述函数是显得不突兀．

追问：以上三个实例中变量的对应关系有什么共同点呢？

答案：(1)都有两个非空数集A，B；(2)两个数集间都有一种确定的对应关系；

(3)    对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应．

追问：你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？请各小组合作探究．

答案：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作，．其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合称为函数的值域．

活动2：小组讨论，准确把握函数概念．

问题4：请同学们观察下面两种数集的对应关系，判断它们能否构成函数？

答案：第一个图中不是函数关系，出现了“一对多”不满足对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应这个条件．

第二个图中不是函数关系，因为在集合A中“4”在集合B中没有元素与之对应，在集合A中出现了元素剩余．

第三个图中是函数关系，虽然在集合A中出现了“多对一”的情况，但是符合函数定义．

第四个图中是“一对一”函数关系．

特别注意：对应关系可以“一对一”，“多对一”，但不能“一对多”．

问题5：函数y与是同一个函数吗？

答案：函数y与是同一个函数，虽然它们的解析式看着不同，但它们表示的函数结果都是一样的，在这里，函数概念强调了数与数之间的对应关系，并且对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程．

三、应用举例

例1 下面各组的两个函数是否为同一个函数？

（1）;          （2）;

（3）;           （4）;

答案：(1)因为的定义域是R，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；

(2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；

(3)因为的定义域是，的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；

(4)和虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数．

例2 求下面函数的定义域．

（1）y;         （2）y;         （3）y;

答案：（1）为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，即，解得．

所以函数y的定义域是；

（2）为使函数有意义，只需解析式中分式的被开方数非负，且分式的分母不为零．即解得

所以函数y定义域是；

   （3）为使函数有意义，只需解析式中分式的被开方数非负，即解得x．所以函数y的定义域是=．

四、课堂练习

1．求下列函数的函数值．

（1）已知，求　　   （2）已知，求；

（3) 已知，求．

答案：（1）因为，所以．

(2)    因为，所以．

(3)    已知，所以．

1．(1)函数和是同一个函数吗？为什么？

（2）函数和是同一个函数吗？为什么？

答案：(1)函数和不是同一个函数，因为定义域不同，函数的定义域是R函数的定义域是．

(2)函数和不是同一个函数，它们虽然定义域相同都是，但解析式不同．

    五、课堂小结

1．函数的概念：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作，．其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合称为函数的值域．

函数的三要素：定义域、对应法则、值域．

2．判断两个函数是否是同一个函数的步骤：

第1步，判断两函数的定义域是否相同；

第2步，判断两函数的对应关系是否相同．

六、布置作业

教材第53页练习1，2题．